Физика (стр. 11 )

 

Рис. 3.2.1

Этот рисунок не является зримым изображением волны. Это график зависимости для фиксированного момента времени . Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны, при этом , где – скорость волны, – период колебаний. Если учесть, что ( – частота колебаний), то .

3.2.2. Уравнение волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию координат и времени в трехмерном пространстве: . Эта функция должна быть периодической как относительно координат, так и относительно времени.

В случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси , волновые поверхности – плоскости, перпендикулярные оси , все точки которых колеблются одинаково. Значит, смещение зависит только от и : . Для точек плоскости колебания имеют вид: (колебания предполагаются гармоническими, – амплитуда колебаний). Для того чтобы пройти путь от плоскости до плоскости , волне потребуется время , где – скорость волны. Следовательно, колебания частиц в плоскости будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости :

.

Фиксированное значение фазы определяет связь между временем и тем местом , в котором фаза имеет фиксированное значение. Продифференцировав выражение для фазы, получим: , откуда . Таким образом, в уравнении волны есть скорость перемещения фазы. Ее называют фазовой скоростью.

При распространении волны против направления оси ее уравнение будет иметь вид:

.

Действительно, продифференцировав фиксированное значение фазы, получим: . Следовательно, волна распространяется в сторону, противоположную направлению оси .

Введем величину, называемую волновым числом: . Используя это выражение, уравнение плоской волны можно записать в виде: . Уравнение волны, распространяющейся в сторону, противоположную направлению оси , отличается только знаком при члене .

Если волна распространяется в поглощающей энергию среде, то по мере удаления от источника будет наблюдаться затухание волны. Как показывает опыт, амплитуда в этом случае убывает по экспоненциальному закону

Если рассматривать волны от реального источника на расстояниях, значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной среде волна, порождаемая точечным источником, будет сферической. Пусть фаза колебаний источника равна . Тогда точки, лежащие на волновой поверхности радиуса , будут колебаться с фазой , так как для того, чтобы пройти расстояние волне потребуется время . Амплитуда даже в не поглощающей энергию среде будет убывать с расстоянием от источника по закону , и уравнение сферической волны будет иметь вид:

,

где – постоянная величина, численно равная амплитуде на расстоянии от источника, равном единице.

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных:

или ,

где .

Уравнение волны является решением волнового уравнения, в чем можно убедиться простой подстановкой.

3.2.3. Энергия, переносимая волной

Рассмотрим плоскую продольную волну, распространяющуюся в некоторой среде в направлении оси :

и выделим в этой среде элементарный объем , настолько малый, что скорость движения и деформацию можно считать одинаковыми во всех точках. Этот объем обладает кинетической энергией , где – плотность среды, и потенциальной энергией упругой деформации . (Здесь – модуль Юнга; – относительное удлинение). Можно доказать, что модуль Юнга равен , и выражение для потенциальной энергии принимает вид: . Полная энергия выделенного объема равна:

.

Разделив эту энергию на объем, получим плотность энергии: . Подставив в это выражение значения скорости смещения и деформации , полученные дифференцированием уравнения волны, будем иметь: . Плотность энергии изменяется со временем. Но среднее по времени значение квадрата синуса равно 0.5. Отсюда .

Итак, волна переносит с собой энергию. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность . Из этого выражения следует: единица измерения потока энергии – ватт.