Физика (стр. 7 )

Рис. 3.1.4

Решение. По условию выходящий из призмы луч идет под углом 90º к перпендикуляру, восстановленному в точке выхода луча (рис. 3.1.4): = 90º. Этот угол является углом преломления для луча, падающего под углом из стекла на границу раздела стекло – воздух. По закону преломления света: . Отсюда . Здесь – показатели преломления стекла и воздуха соответственно. В четырехугольнике сумма всех углов равна 360º ; углы при вершинах и прямые, значит, угол при вершине С равен 180º – P = 120º . Из треугольника имеем: . Применяя закон преломления для первой грани призмы, получаем:

.

3.1.3. Принцип Ферма

В основу геометрической оптики может быть положен принцип, установленный французским математиком Ферма, из которого вытекают законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. Принцип Ферма гласит: «Свет распространяется по такому пути, для прохождения которого ему требуется минимальное время».

Для прохождения участка пути (рис. 3.1.5) свету требуется время , где – скорость света в данной точке среды. Поскольку , то . Отсюда время, затрачиваемое светом на прохождение пути от точки 1 до точки 2, равно . Имеющая размерность длины величина называется оптической длиной пути. В однородной среде и . Используя это, получаем: , т. е. свет распространяется по такому пути, оптическая длина которого минимальна.

 

Рис. 3.1.5

Из принципа Ферма вытекает обратимость световых лучей. Действительно, оптический путь, который минимален в случае распространения света из точки 1 в точку 2, окажется минимальным и в случае распространения света в обратном направлении.

Получим с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света. Пусть свет попадает из точки в точку , отразившись от поверхности (рис. 3.1.6). Среда, в которой проходит луч, однородна. Поэтому минимальность оптического пути сводится к минимальности его геометрической длины.

 

Рис. 3.1.6

Геометрическая длина произвольно взятого пути равна (вспомогательная точка является зеркальным отражением точки). Из рис. 3.1.6 видно, что наименьшей длиной обладает путь луча, отразившегося в точке , для которой угол падения равен углу отражения.

Теперь найдем точку, в которой должен преломиться луч, распространяясь от А к В, чтобы оптическая длина пути была минимальна (рис. 3.1.7). Для произвольного луча оптическая длина пути равна:

.

Рис. 3.1.7

Чтобы найти минимальное значение, продифференцируем по и приравняем производную нулю:

.

Но и . Таким образом, или .

3.1.4. Тонкая линза

Как уже говорилось, геометрическая оптика может лишь служить первым приближением при изучении распространения света. Однако, оставаясь приближенным методом, она позволяет разобрать основные явления, связанные с прохождением света через оптические системы, и поэтому является основой теории оптических приборов.

Основной деталью оптических приборов является линза, представляющая собой прозрачное тело, ограниченное двумя поверхностями, обычно сферическими, реже цилиндрическими. Изготавливаются линзы из стекла, кварца, пластмассы и т. п. По форме различают линзы двояковыпуклые, плосковыпуклые, двояковогнутые, плосковогнутые, выпукловогнутые, вогнутовыпуклые. Линза называется тонкой, если расстояние между ограничивающими поверхностями значительно меньше радиусов поверхностей, ограничивающих линзу.

 

Рис. 3.1.8

Прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы, называется главной оптической осью. У всякой линзы существует точка, называемая оптическим центром линзы, лежащая на главной оптической оси и обладающая тем свойством, что световые лучи проходят через нее, не преломляясь. Считают, что оптический центр О тонких двояковыпуклых и двояковогнутых линз совпадает с их геометрическим центром (рис. 3.1.8); оптический центр плосковыпуклых и плосковогнутых линз лежит на пересечении главной оптической оси со сферической поверхностью. Соотношение, связывающее радиусы кривизны поверхностей линзы с расстояниями от линзы до предмета и его изображения, – так называемую формулу линзы – можно получить, опираясь на принцип Ферма. Рассмотрим две траектории светового луча – прямую, соединяющую точки и , и траекторию, проходящую через край линзы, т. е. лучи АОВ и АСВ. В силу принципа Ферма времена прохождения света по этим траекториям равны. Время прохождения света по траектории АОВ , где – относительный показатель преломления ( и – абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света по траектории АСВ равно:

.

Так как ,

.

Рассмотрим параксиальные (приосевые) лучи, т. е. лучи, образующие с оптической осью малые углы. Все лучи параксиального пучка, исходящего из точки А, пересекают ось в одной и той же точке . Тогда и

Аналогично . Подставив эти выражения в равенство времен, получим:

.

Так как последнее равенство можно представить в виде . Выразим величины и через радиусы ограничивающих линзу поверхностей: