Физика (стр. 18 )

Принцип Гюйгенса–Френеля. Френель, позаимствовав из принципа Гюйгенса представление о вторичных волнах, применил к ним законы интерференции, т. е. правило построения огибающей заменено расчетом взаимной интерференции вторичных волн. Такой расчет приводит к тем же результатам, что и правило Гюйгенса. Френель вложил в принцип Гюйгенса более глубокое физическое содержание.

Пусть, например, волна распространяется в однородном пространстве по определенному направлению. Любая точка, до которой дойдет волна, становится источником вторичных волн, разбегающихся во все стороны. Может показаться, что благодаря этому первоначальное направление распространения изменится и световая волна рассеется во все стороны. Однако если учесть, по Френелю, взаимную интерференцию вторичных волн, то окажется, что в боковых направлениях вторичные волны взаимно уничтожают друг друга и лишь в первоначальном направлении взаимно усиливаются. Поэтому свет распространяется лишь в первоначальном направлении. Это подтверждает прямолинейность распространения света в однородной среде.

Однако, если среда неоднородна (например, в воздухе расположены препятствия, зеркала, линзы и т. п.), то свет распространяется в такой среде не прямолинейно, а рассеивается в стороны, отклоняется, преломляется и т. д. Принцип Гюйгенса–Френеля позволил не только истолковать с волновой точки зрения основные законы геометрической оптики: закон прямолинейного распространения света, закон отражения света и закон преломления света, – но и рассмотреть, как протекают оптические явления при условиях, когда законы геометрической оптики нарушаются.

Метод зон Френеля. В общем случае расчет интерференции вторичных волн довольно сложный и громоздкий, однако в некоторых случаях нахождение амплитуды результирующего колебания осуществляется несложно. Френель решил задачу о прямолинейном распространении света, использовав прием, получивший название метода зон Френеля. Суть метода в следующем. Пусть имеется точечный источник . Световая волна от этого источника – сферическая. Возьмем произвольный фронт этой волны. Каждый участок волновой поверхности является источником вторичных волн, т. е. фиктивным источником света. Разобьем волновую поверхность на кольцевые зоны так, чтобы расстояния от краев каждой зоны до точки наблюдения отличались на половину длины волны (рис. 3.3.14). Тогда свет от каждой пары соседних зон будет приходить в точку в противофазе: колебания, возбуждаемые такими зонами в точке , будут ослаблять друг друга. Амплитуда результирующего колебания в точке будет равна:

.

Здесь – амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке 1-й, 2-й, …., -й зонами.

 

Рис. 3.3.14

Площади и радиусы зон Френеля. Вычислим площади зон Френеля. Внешняя граница -й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высотой и площадью (рис. 3.3.15). Площадь -й зоны можно представить в виде: . Здесь справа стоит разность площадей сферических сегментов. Из рис. 3.3.15 видно:

.

(Здесь – радиус волновой поверхности, – радиус внешней границы -й зоны.) Преобразуя, получаем:

.

 

Рис. 3.3.15

Отсюда . Для не слишком больших , имея ввиду малость , можно пренебречь . Тогда . Площадь сферического сегмента ( – радиус сферы, – высота сегмента). Значит, в нашем случае , а площадь -й зоны: . Это выражение не зависит от , значит, при не слишком больших площади зон Френеля примерно одинаковы.

Можно найти и радиусы зон. При не слишком больших высота сегмента , тогда из выражения для получаем: . Подставив сюда выражение для , находим выражение для радиуса внешней границы -й зоны: .

Пример 5. Перед диафрагмой с круглым отверстием радиусом поместили точечный источник света . Найти расстояние от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии . Расстояние от источника света до диафрагмы .

Решение.

.

Пример 6. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии от точечного источника монохроматического света . Между экраном и источником света на одинаковом расстоянии помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным?

Решение. Пусть в отверстии диафрагмы укладывается зон Френеля. Тогда радиус k-той зоны есть одновременно радиус отверстия, равный . Наименьшая освещенность центра колец, наблюдаемых на экране, соответствует двум зонам . По данным задачи находим .

Расчет амплитуды колебания. Несложно рассчитать, что количество таких зон на полусфере очень велико (порядка 106) Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке тем меньше, чем больше угол между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку , т. е. действие зон постепенно убывает от центральной к периферическим (см. рис. 3.3.14). Кроме этого, интенсивность излучения в направлении точки уменьшается с ростом и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки . Поэтому можно записать Учитывая, что количество зон очень велико, можно принять, что амплитуда колебания от любой зоны равна полусумме амплитуд колебаний, возбуждаемых в точке соседними с ней зонами . При таком допущении суммарную амплитуду можно записать в виде: