Физика (стр. 27 )

 

Рис. 3.4.2

(Пояснение: энергия, излученная абсолютно черным телом с единицы поверхности в единицу времени в диапазоне частот от до , может быть записана следующим образом:

.

Так как , то . Знак минус указывает только на то, что с ростом частоты длина волны убывает. Используя это, получаем: . Это соотношение позволяет переходить от к .)

Немецкий физик Вин, воспользовавшись законами термодинамики и электромагнитной теорией света, показал, что зависимость длины волны , соответствующей максимуму энергетической светимости абсолютно черного тела , определяется выражением , которое носит название закона смещения Вина. Название обусловлено тем, что данное выражение показывает смещение положения максимума функции с возрастанием температуры в область коротких длин волн.

Пример 1. Железный шар диаметром , нагретый до температуры, 1227º остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до ? При расчете принять, что отношение энергетических светимостей железа и абсолютно черного тела – . Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение. Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на равно: . Здесь – плотность железа, – теплоемкость железа, – радиус шара. С другой стороны, . Здесь – спектральная плотность энергетической светимости железа, – площадь поверхности шара, – время излучения. Значит, . Приравнивая два выражения для , получаем: . Интегрируя это выражение по времени от до и по температуре от до , будем иметь:

Пример 2. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась от до . Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела?

Решение. В соответствии с законом Вина , где . Находим :

По закону Стефана–Больцмана . Отсюда

.

Формула Релея–Джинса. Еще одна попытка получить выражение для спектральной плотности энергетической светимости с позиции классической физики была предпринята английскими учеными Релеем и Джинсом. Они использовали теорему классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы и получили выражение: (здесь – средняя энергия частиц, колеблющихся с частотой ). Формула Релея–Джинса удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными лишь при больших длинах волн и резко расходится с опытом для малых длин волн (рис. 3.4.3).

 

Рис. 3.4.3

Формула Планка. Вывод формулы Релея–Джинса с классической точки зрения является безупречным. Поэтому расхождение этой формулы с опытом указывает на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической статистической физики и электродинамики.

В 1900 году немецкому физику Максу Планку удалось найти вид универсальной функции Кирхгофа, точно соответствующий опытным данным. Для этого ему пришлось сделать предположение, совершенно чуждое классическим представлениям, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций энергии (квантов), величина которых пропорциональна частоте излучения: . Коэффициент пропорциональности получил впоследствии название постоянной Планка. Определенное из опыта значение постоянной Планка равно: .

Таким образом, согласно Планку, световая волна переносит энергию только в количествах, кратных величине кванта энергии данного излучения. При этих условиях спектральная плотность энергетической светимости абсолютно черного тела (универсальная функция Кирхгофа) выражается формулой: . Эта зависимость блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения абсолютно черного тела. Из формулы Планка можно получить закон Стефана–Больцмана и закон Вина. Поскольку

,

вводя переменную , имеем: . После этого выражение для примет вид:

,

где , так как . Подстановка значений дает значение для постоянной Стефана–Больцмана, хорошо согласующееся с экспериментальными данными.

Закон Вина также получается путем несложных преобразований: , беря производную от этого выражения, получаем:

.

Приравняв эту производную нулю, найдем значение , при котором достигает максимума. Для этого вводим переменную и получаем уравнение: . Уравнение можно решить последовательными приближениями, что даст значение , откуда