Физика (стр. 37 )

Решение. В силу соотношения неопределенностей Гейзенберга произведение неопределенностей координаты и составляющей импульса не может быть меньше постоянной Планка : . Но , где – масса электрона. Отсюда .

4.2.3. Общие положения квантовой механики

Обнаружение волновых свойств микрочастиц свидетельствовало о том, что классическая механика не может дать правильного описания поведения подобных частиц. В связи с этим возникла необходимость создать механику микрочастиц, которая учитывала бы и их волновые свойства. Новая механика, созданная Шредингером, Гейзенбергом, Дираком и другими, получила название волновой, или квантовой, механики.

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Это дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными коэффициентами. Подобно тому, как уравнения динамики Ньютона не могут быть получены теоретически, а представляют собой обобщение большого числа опытных данных, уравнение Шредингера также нельзя вывести из каких-либо известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем обстоятельством, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными данными.

Состояние частицы описывается в квантовой механике так называемой волновой функцией, которую обычно обозначают буквой . Она является функцией координат и времени. Уравнение Шредингера выглядит следующим образом:

.

Здесь – мнимая единица; – постоянная Планка; – масса частицы; – оператор Лапласа; – потенциальная энергия частицы.

Для того чтобы уяснить физический смысл волновой функции, необходимо сравнить дифракционные картины для световых волн и микрочастиц. В результате наложения дифрагирующих световых волн друг на друга в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. Интенсивность света по волновым представлениям пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. В соответствии с квантовой теорией интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Следовательно, число фотонов в данной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны.

Дифракционная картина от наложения потоков микрочастиц также характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц, рассеянных или отраженных по различным направлениям – в одних направлениях наблюдается большее число частиц, чем в других. Максимумы в распределении числа частиц соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Значит, дифракционная картина для микрочастиц проявляет статистическую (вероятностную) закономерность, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Вообще вероятностный подход к описанию микрочастиц является важнейшей отличительной особенностью квантовой теории. Логично было бы предположить, что вероятность W обнаружения микрочастицы в той или иной точке пространства изменяется по волновому закону, т. е. считать волны де Бройля волнами вероятности. Однако это было бы неверно, так как тогда вероятность обнаружить частицу в некоторых точках пространства была бы отрицательна (). По предложению немецкого физика Борна стали считать, что по волновому закону изменяется не сама вероятность, а некоторая функция, названная амплитудой вероятности. При этом вероятность принимается пропорциональной квадрату амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности является функцией координат и времени; она часто называется волновой функцией и обозначается обычно . Значит, можно положить ~.

Таким образом, в квантовой механике состояние микрочастиц имеет вероятностный характер и описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции, которая является основным носителем информации об их корпускулярных и волновых свойствах. Вероятность нахождения частицы в объеме равна . Вероятность найти частицу в конечном объеме выразится интегралом: . В бесконечных пределах этот интеграл равен единице.

Уравнение Шредингера решено (т. е. найдены аналитические выражения функции , описывающей состояния микрочастиц) в некоторых частных случаях, в том числе рассчитан спектр излучения атома водорода, причем результаты полностью совпали с результатами теории Бора. Однако Бору пришлось вводить специальные предположения (постулаты), а в квантовой механике использовалось одно общее предположение, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Так же как и постулаты Бора, решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней: (рис. 4.2.3).

 

Рис. 4.2.3

Минимальной энергией электрон обладает, находясь в основном состоянии . По мере возрастания растет энергия электрона и при имеем . При электрон оторван от атома: атом ионизован. Энергия ионизации атома водорода равна: . Число определяет энергетические уровни электрона в атоме и называется главным квантовым числом.

Решение уравнения Шредингера приводит к выводу, что момент импульса электрона (его называют механическим орбитальным моментом) может принимать только дискретные значения, определяемые выражением . Величина называется орбитальным квантовым числом и при заданном принимает значения . Таким образом, орбитальное квантовое число определяет момент импульса электрона в атоме.

Так же как и постулаты Бора, решение уравнения Шредингера приводит к тому, что момент импульса электрона (а это величина векторная) может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция на направление внешнего магнитного поля принимает дискретные значения, кратные : . Величина называется магнитным квантовым числом и при заданном может принимать значения: т. е. всего значений. Магнитное квантовое число определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление.

Число электронов, находящихся в состоянии, определяемом главным квантовым числом и отличающихся значениями и , нетрудно подсчитать. При заданном орбитальное квантовое число может изменяться от 0 до , а каждому соответствует значений магнитного квантового числа . Таким образом, число различных состояний, соответствующих данному , равно .