Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 10 )

217.  *, как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базисов и умножить на 2?

218.  *, как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базиса умножить на 2, а все векторы базиса поделить на 2?

219.  *, как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если все векторы базиса умножить на 2, а все векторы базиса умножить на 4?

220.  , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в базисе к первому базисному вектору прибавить второй базисный вектор?

221.  , как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в базисе к первому базисному вектору прибавить второй базисный вектор?

222.  *, как изменится матрица гомоморфизма относительно базисов и в линейных пространствах и, соответственно, , если в каждом из базисов и к первому базисному вектору прибавить второй базисный вектор этого базиса?

223.  Докажите, что ⊞, если отображения , а ⊞– их сумма, т. е. ⊞ для любого .

224.  Докажите, что если отображение , то ⊡ при любом , где ⊡ для любого .

225.  *Докажите, что является линейным пространством относительно естественных операций сложения и гомоморфизмов и умножения их на число (см. задачи 218 и 217).

4. Эндоморфизмы линейных пространств

226.  Докажите, что если отображения , то .

227.  **Докажите, что является линейной алгеброй относительно естественных операций сложения эндоморфизмов, умножения их на скаляр и умножения эндоморфизмов.

228.  Докажите, что для фиксированного (свободного) вектора V и такого, что отображение , если,, где – векторное произведение. Найдите ядро и образ . Определите, сюръективно ли это отображение? Инъективно? Является ли автоморфизмом V?

229.  *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех дифференцируемых функций на отрезке ? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

230.  *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

231.  *Является ли дифференцирование эндоморфизмом линейного пространства линейного пространства дифференцируемых функций на отрезке ? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

232.  Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

233.  Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства всех многочленов степени не выше ? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

234.  *Является ли интегрирование эндоморфизмом линейного пространства интегрируемых по Риману функций на отрезке , где , . В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.