Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 20 )

442.  *Пусть и – подпространства евклидова линейного пространства , а и – их ортогональные дополнения, соответственно. Можно ли и как через них выразить – ортогональное дополнение к подпространству ?

443.  Каким должен быть базис евклидова линейного пространства , чтобы скалярное произведение на нем имело стандартный вид?

444.  Существует ли ортогональная матрица с нулевым определителем? С отрицательным определителем?

445.  Существует ли ортогональная матрица, отличная от единичной, чтобы все ее элементы были бы неотрицательны?

446.  Сумма квадратов элементов строки матрицы равна . Может ли эта строка быть строкой ортогональной матрицы?

447.  Может ли нулевая строка быть строкой ортогональной матрицы?

448.  **Существует ли ортогональная матрица, все элементы которой были бы равны по модулю? В случае положительного ответа приведите пример такой матрицы и укажите, чему равно это число для матрицы порядка .

449.  и – ортогональные матрицы. Будут ли ортогональными матрицы и ?

450.  Ортогональна ли матрица , если ортогональна, т. е. O?

451.  *Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка O группу относительно операции их умножения?

452.  Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с положительным определителем SO группу относительно операции умножения (подгруппу O)?

453.  Образует ли множество всех ортогональных матриц одного порядка с отрицательным определителем группу относительно операции умножения (подгруппу O)?

454.  Образует ли множество всех унитарных матриц одного порядка U группу относительно операции их умножения?

8. Линейные операторы на евклидовых линейных пространствах

455.  Почему матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе евклидова линейного пространства ортогональная?

456.  Может ли матрица ортогонального оператора на конечномерном евклидовом линейном пространстве , быть не ортогональной в каком-либо его базисе?

457.  Может ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства быть вырожденным?

458.  Является ли ортогональный эндоморфизм линейного пространства его автоморфизмом

459.  Если – ортогональные автоморфизмы линейного евклидова пространства , т. е. O, то ортогонален ли автоморфизм ?

460.  **Образует ли множество всех ортогональных эндоморфизмов O евклидова линейного пространства группу относительно операции их композиции?

461.  Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли автоморфизмом (поворот векторной плоскости на угол )?

462.  Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли эндоморфизмом (центральная симметрия векторной плоскости )?

463.  Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Ортогонален ли автоморфизмом (ортогональное отражение векторной плоскости относительно векторной прямой (одномерного подпространства) )?

464.  Линейное пространство рассматривается со стандартным скалярным произведением. Являются ли ортогональным эндоморфизмом – ортогональное проектирование векторной плоскости на векторную прямую ?

465.  Является ли ортогональное проектирование евклидова линейного пространства на его любое нетривиальное подпространство ортогональным линейным оператором?

466.  ** – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства , т. е. O и все элементы его матрицы в ортонормированном базисе этого пространства равны по модулю. Можно ли указать значение этой абсолютной величины?

467.  – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства , т. е. O. Является ли его матрица относительно любого базиса этого пространства ортогональной?

468.  – ортогональный оператор конечномерного евклидова линейного пространства , т. е. O. Является ли он автоморфизмом (обратимым эндоморфизмом) этого линейного пространства ?

469.  Может ли число быть собственным значением ортогонального линейного оператора O евклидова линейного пространства ?

470.  Может ли число быть собственным значением ортогонального линейного оператора O евклидова линейного пространства ?