Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 15 )

322.  * и , где V, а – векторное произведение. Определите, является ли автоморфизмом линейного пространства V.

323.  * и , где V, а – векторное произведение. Найдите матрицу относительно базиса . Существует ли базис, в котором матрица этого отображения диагональная?

324.  * и , где V, а – векторное произведение. Найдите собственные векторы и собственные подпространства .

325.  Какие собственные векторы имеет , если относительно некоторого базиса его матрица ?

326.  *Пусть , где – вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом его подпространстве, инвариантном относительно , этот оператор имеет собственный вектор?

327.  Пусть , где – конечномерное вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом его подпространстве, инвариантном относительно , этот оператор всегда имеет собственный вектор?

328.  Пусть , где – конечномерное вещественное линейное пространство. Верно ли, что в любом подпространстве нечетной размерности, инвариантном относительно , этот оператор всегда имеет собственный вектор?

329.  . Верно ли, что если имеет собственным вектором , то он является собственным вектором линейного оператора ?

330.  . Верно ли, что если имеет собственным вектором вектор , то этот вектор – собственный вектор линейного оператора ?

331.  . Верно ли, что если вектор – собственный вектор , то этот вектор – собственный вектор и для линейного оператора ?

332.  * и относительно некоторого базиса имеют матрицы и, соответственно, . Верно ли, что характеристические многочлены эндоморфизмов и совпадают?

333.  * и относительно некоторого базиса имеют матрицы и, соответственно, . Верно ли, что, если один из операторов невырожденный (автоморфизм), например, , то характеристические многочлены эндоморфизмов и совпадают?

334.  Пусть , и имеет собственный вектор , – дополнительное к подпространство . Является ли инвариантным подпространством относительно ?

5. Линейные формы на линейных пространствах

335.  Линейное пространство четырехмерно, какова размерность его сопряженного (двойственного) пространства ?

336.  Пусть – линейное пространство многочленов от одной переменной степени не выше , а – его сопряженное пространство, . Отображение сопоставляет каждому многочлену его значение в точке . Линейно ли это отображение?

337.  *Пусть – попарно различные точки вещественной прямой, – линейное пространство многочленов от одной переменной степени не выше , а – его сопряженное линейное пространство. , , причем для любого многочлена , по определению, . Образуют ли линейные формы базис в пространстве ?

338.  *Докажите, что для фиксированного (свободного) вектора V и такого, что отображение V, если , где – скалярное произведение. Найдите матрицу этого отображения относительно ортонормированного базиса , если в этом базисе вектор имеет координаты