Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 12 )

254.  Докажите, что, если , то образ эндоморфизма – подпространство, инвариантное относительно .

255.  Верно ли, что для любого любое подпространство инвариантно?

256.  Верно ли, что для любого любое подпространство линейного пространства , содержащее инвариантно?

257.  **Для произвольного какое из утверждений верно: , или ?

258.  **Для произвольного какое из утверждений верно: , или ?

259.  **Верно ли, что равенство имеет место для любого (– произвольное конечномерное линейное пространство)?

260.  **Верно ли, что равенство имеет место для любого (– произвольное линейное пространство)?

261.  *Может ли для эндоморфизма выполняться ?

262.  **Пусть . Докажите, что тогда и только тогда, когда .

263.  *, как изменится матрица этого линейного оператора, если в базисе , относительно которого она задана, изменить порядок векторов на противоположный?

264.  *, как изменится матрица этого линейного оператора, если каждый вектор базиса , относительно которого она задана, умножить на число ?

265.  Матрица линейного оператора скалярная в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

266.  Матрица линейного оператора диагональная в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

267.  Матрица линейного оператора симметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

268.  Матрица линейного оператора кососимметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в любом другом базисе этого пространства?

269.  Пусть и . Какова матрица в базисе этого пространства , если векторы , а ?

270.  **Пусть и . Существует ли базис в , относительно которого матрица диагональная?

271.  *Является ли невырожденным (обратимым) эндоморфизм линейного пространства интегрируемых по Риману функций на отрезке , где , ?

272.  Укажите все собственные подпространства эндоморфизма M, если (отображение сопоставляет любой матрице ее транспонированную матрицу).

273.  * и обратим, т. е. существует . Является ли эндоморфизмом линейного пространства ?

274.  Докажите, что если и подпространства и инвариантны относительно , то подпространство также инвариантно относительно .

275.  Докажите, что если и подпространства и инвариантны относительно , то подпространство также инвариантно относительно .

276.  * (т. е. и существует ). Верно ли, что если – подпространство , инвариантное относительно , то подпространство инвариантно относительно ?