Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 3 )

38.  Пусть строки матрицы M линейно зависимы, а система линейных уравнений имеет ненулевое решение. Следует ли из этого, что ?

39.  Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравнений несовместна, то хотя бы одна из систем или также не имеет решений?

40.  Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравнений совместна, то каждая из систем и совместна?

41.  Пусть M, а M, M. Верно ли, что если системы линейных уравнений и совместны, то и система совместна?

42.  *Пусть M, а M, M. Верно ли, что если система линейных уравнений несовместна, то хотя бы одна из систем или также несовместна?

43.  **Пусть M, а M. Верно ли, что если система линейных уравнений несовместна, а система совместна, то существует M, при котором система уравнений несовместна?

44.  Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

45.  Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

46.  Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

47.  Могут ли векторы составлять фундаментальную систему решений какой-либо системы линейных однородных уравнений?

48.  Известно, что векторы составляют фундаментальную система решений некоторой системы линейных однородных уравнений, верно ли, что – фундаментальная система решений той системы линейных уравнений?

49.  Известно, что векторы составляют фундаментальную систему решений некоторой системы линейных однородных уравнений. Верно ли, что – фундаментальная система решений той же системы линейных уравнений?

50.  Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений с переменными и – столбец такой, что произведение определено. Верно ли, что есть также решение этой системы уравнений?

51.  *Пусть – матрица фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений. Можно ли через матрицу выразить любую из матриц ФСР этой системы линейных уравнений?

52.  **Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений . Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений ?

53.  *Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений . Какова фундаментальная матрица системы линейных однородных уравнений ?

54.  **Пусть – однородная система линейных уравнений, причем число ее переменных больше ранга ее матрицы . Докажите, что в этом случае найдется такая фундаментальная матрица ее системы решений , что –, где – единичная матрица.

55.  *Пусть – матрица фундаментальной системы решений линейной однородной системы уравнений с переменными . Определите ранг матрицы .