Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 18 )

388.  **Докажите, что квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве положительно определена тогда и только тогда, когда найдется невырожденная верхняя треугольная матрица такая, что .

389.  *Матрица квадратичной формы на линейном пространстве относительно некоторого базиса имеет все главные миноры нулевыми. Означает ли это, что данная квадратичная форма вырожденная? Нулевая?

390.  Матрица невырожденной квадратичной формы на конечномерном линейном пространстве имеет определитель, равный 1. Может ли она в другом базисе иметь отрицательный определитель?

391.  Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве отрицательно определена и имеет определитель, равный . Может ли при переходе к другому базису в качестве матрицы данной квадратичной формы получить матрицу с положительным определителем?

392.  Матрица квадратичной формы на конечномерном линейном пространстве имеет главный минор порядка равный . Можно ли в другом базисе этого линейного пространства получить матрицу данной квадратичной формы с положительным главным минором порядка ?

393.  Квадратичная форма на конечномерном линейном пространстве отрицательно определена, может ли в некотором базисе ее матрица иметь все главные миноры отрицательными?

394.  Квадратичная форма отрицательно определена на конечномерном линейном пространстве и имеет канонический вид. Может ли ее матрица в каноническом базисе иметь положительные диагональные элементы?

395.  Квадратичная форма положительно определена на конечномерном линейном пространстве и приведена к каноническому виду. Может ли ее матрица в каноническом базисе иметь отрицательные диагональные элементы?

396.  Сколько канонических базисов может иметь квадратичная форма, определенная на трехмерном линейном пространстве (базисов, в которых квадратичная форма имеет канонический вид)?

397.  *Сколько нормальных базисов может иметь квадратичная форма, определенная на трехмерном линейном пространстве (базисов, в которых квадратичная форма имеет нормальный вид)?

398.  Квадратичная форма задана на вещественном линейном пространстве . Определите условия (необходимые и достаточные), при которых найдется ненулевой вектор такой, что .

399.  Можно ли для произвольной квадратичной формы на конечномерном вещественном линейном пространстве выбрать базис, в котором ее матрица была бы диагональной?

400.  Изменяется ли и как именно ранг квадратичной формы при замене базиса линейного пространства, на котором она определена?

401.  Квадратичная форма определена на линейном пространстве . Является ли подпространством множество всех векторов, на котором квадратичная форма принимает нулевое значение?

402.  Квадратичная форма определена на линейном пространстве . Является ли подпространством множество всех векторов, на котором квадратичная форма принимает неотрицательные значения?

403.  Квадратичная форма на -мерном линейном пространстве отрицательно определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и сигнатуру.

404.  Квадратичная форма на -мерном линейном пространстве положительно определена. Укажите ее положительный и отрицательный индексы, ранг и сигнатуру.

7. Скалярное произведение. Евклидово линейное пространство

405.  Определить, является ли скалярным произведением на трехмерном линейном пространстве функционал вида: где векторы и заданы своими координатами и, соответственно, относительно некоторого базиса этого пространства.

406.  Определить, является ли скалярным произведением на двумерном линейном пространстве функционал вида: где векторы и заданы своими координатами и, соответственно, относительно некоторого базиса этого пространства.

407.  Является ли билинейная форма на линейном пространстве всех непрерывных на отрезке функций скалярным произведением?

408.  *Является ли билинейная форма на линейном пространстве всех интегрируемых на отрезке функций скалярным произведением?

409.  Пусть – линейные формы на линейном пространстве . Определим для любых . Может ли билинейная форма – быть скалярным произведением на ? При каких условиях?

410.  *Определите какое-либо скалярное произведение на линейном пространстве матриц M.

411.  Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных вещественных матриц одного порядка функционал вида , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц .

412.  *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал вида , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц .

413.  *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц (– матрица, комплексно сопряженная к матрице ).

414.  *Определите, является ли скалярным произведением на линейном пространстве квадратных комплексных матриц одного порядка функционал , где – след (сумма всех диагональных элементов) произведения матриц , а – матрица, транспонированная к матрице, комплексно сопряженной матрице .