Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 7 )

132.  В пятимерном линейном пространстве рассматриваются шесть различных нетривиальных подпространств. Может ли их сумма быть прямой?

133.  Какое максимальное число подпространств в пятимерном линейном пространстве можно выбрать, чтобы их сумма могла быть прямой?

134.  В девятимерном линейном пространстве заданы два подпространства размерности 6 и 5. Каковы наибольшие и наименьшие значения размерностей суммы и пересечения этих подпространств?

135.  *Докажите, что всякое подпространство конечномерного линейного пространства также конечномерно, причем, если подпространство , то ≤.

136.  Докажите, что если размерность подпространства линейного пространства равна , то оно совпадает с , т. е. .

137.  *В линейном пространстве квадратных матриц M рассматривается его подпространство S всех симметрических матриц того же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

138.  *В линейном пространстве квадратных матриц M рассматривается его подпространство K всех кососимметрических матриц того же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

139.  *В линейном пространстве квадратных матриц M рассматривается его подпространство всех диагональных матриц D того же порядка. Найдите его дополнительное подпространство.

140.  Всякое ли подпространство конечномерного линейного пространства имеет в нем дополнительное подпространство?

141.  **Всякое ли подпространство линейного пространства (не обязательно конечномерного) имеет в нем дополнительное подпространство?

142.  **В линейном пространстве всех функций, непрерывных на заданном отрезке с естественными операциями сложения и умножения на число выделяется подпространство таких функций, что . Можно ли в линейном пространстве указать его дополнительное подпространство?

143.  **В линейном пространстве всех функций, непрерывных на заданном отрезке с естественными операциями сложения и умножения на число выделяется подпространство таких функций, что и . Можно ли в указать дополнительное подпространство к ?

144.  Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

145.  Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

146.  Может ли матрица быть матрицей перехода от базиса к базису в некотором линейном пространстве?

147.  Если – матрица перехода от базиса к базису , то как связаны координаты (координатные столбцы) одного и того же вектора и в этих двух базисах?

148.  Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – скалярная?

149.  Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – верхняя треугольная?

150.  Как взаимно расположены два базиса линейного пространства, если матрица перехода – нижняя треугольная?

151.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе поменять местами первый и второй базисные векторы?

152.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе сделать циклическую перестановку его векторов?

153.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в первом базисе изменить порядок его векторов на противоположный?

154.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор первого базиса умножить на 2?

155.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому вектору первого базиса прибавить его второй вектор?

156.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе поменять местами первый и второй базисные векторы?

157.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе сделать циклическую перестановку его векторов?

158.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если во втором базисе изменить порядок его векторов на противоположный?

159.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если первый вектор второго базиса умножить на 2?

160.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если к первому вектору второго базиса прибавить его второй вектор?

161.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов изменить порядок его векторов на противоположный?

162.  Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов первый вектор умножить на 2?

163.  *Как изменится матрица перехода от базиса к базису, если в каждом из базисов все векторы вектор умножить на 2?

164.  Докажите, что для матриц перехода от базиса к базису имеет место соотношение: .

165.  Докажите, что матриц перехода от базиса к базису имеет место соотношение .

166.  Докажите, что свойство конечномерных линейных пространств «быть одинаково ориентированными» есть отношение эквивалентности на множестве всех конечномерных пространств одинаковых размерностей.

3. Линейные отображения линейных пространств

167.  Является ли проектирование (например, ортогональное) линейного пространства всех свободных (геометрических) векторов V на его одномерное подпространство (свободных векторов, параллельных некоторой прямой) V линейным отображением? В случае положительного ответа укажите его ядро и образ.

168.  Докажите, что дифференцирование , где – пространство многочленов степени не выше от переменной . Найдите ядро и образ .

169.  Докажите, что интегрирование , где – пространство многочленов степени не выше от переменной , а . Найдите ядро и образ .