Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 24 )

531.  *Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора в евклидовом линейном пространстве имеет место равенство: ?

532.  *Пусть евклидово линейное пространство . Докажите, что проектирование этого пространства на подпространство параллельно подпространству является самосопряженным тогда и только тогда, когда эти подпространства ортогональные.

533.  Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов?

534.  Может ли самосопряженное преобразование линейного евклидова пространства иметь неортогональный базис из его собственных векторов при условии, что все его собственные значения различные?

535.  **Пусть S самосопряженные операторы евклидова линейного пространства с матрицами и , соответственно, относительно некоторого ортонормированного базиса , причем, матрица положительно определена. Докажите, что все корни характеристического уравнения вещественные.

536.  **Пусть S самосопряженные операторы евклидова линейного пространства с матрицами и , соответственно, относительно некоторого ортонормированного базиса , причем, матрица положительно определена. Докажите, что в линейном пространстве существует базис , в котором матрица оператора диагональная.

537.  **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе иметь вид: ?

538.  **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором ортонормированном базисе иметь вид: ?

539.  **Может ли матрица самосопряженного линейного оператора линейного евклидова пространства в некотором базисе иметь вид: ?

540.  **Пусть линейный оператор на линейном пространстве такой, что в есть базис из собственных векторов с вещественными собственными значениями. Можно ли в этом задать скалярное произведение так, что относительно этого скалярного произведения оператор будет самосопряженным?

541.  Докажите, что всякое линейный оператор на унитарном линейном пространстве можно представить в виде суммы: , где и – эрмитовы операторы на этом пространстве.

542.  Может ли линейный оператор унитарного линейного пространства быть одновременно и унитарным, и эрмитовым?

543.  Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

544.  Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

545.  Найдите полярное разложение линейного оператора на евклидовом линейном пространстве, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе имеет вид: .

546.  Является ли разложение полярным разложением ()?

9. Квадратичные формы на евклидовых линейных пространствах

547.  Верно ли, что квадратичная форма положительно определена на конечномерном линейном пространстве тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее матрицы положительны?

548.  Верно ли, что квадратичная форма отрицательно определена на конечномерном линейном пространстве тогда и только тогда, когда все характеристические числа ее матрицы отрицательны?

549.  Можно ли привести одновременно к нормальному виду пару квадратичных форм, если известно, что одна из них отрицательно определена?

550.  В каких случаях две квадратичных формы на конечномерном линейном пространстве можно привести одновременно к каноническому виду?

551.  **В каких случаях две квадратичных формы на линейном пространстве можно привести одновременно к каноническому виду?

552.  *Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм на линейном пространстве есть положительно определенная. Можно ли эти две квадратичные формы одновременно привести к каноническому виду?

553.  *Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм на линейном пространстве есть положительно определенная. Можно ли указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации одновременно имеют канонический вид?

554.  Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм на линейном пространстве есть отрицательно определенная. Можно ли эти квадратичные формы одновременно (в одном и том же базисе) привести к каноническому виду?

555.  Известно, что среди всех линейных комбинаций двух квадратичных форм на линейном пространстве есть отрицательно определенная. Можно ли указать такой базис, в котором все такие линейные комбинации одновременно (в одном и том же базисе) имеют канонический вид?