Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 19 )

415.  Определите, является ли скалярным произведением отображение , заданное на линейном пространстве дифференцируемых и интегрируемых на отрезке функций формулой: .

416.  Докажите, что любая ортогональная система векторов евклидова линейного пространства линейно независима.

417.  Напишите неравенство Коши-Буняковского-Шварца для линейного пространства со скалярным произведением: .

418.  *Докажите, что векторы и евклидова линейного пространства коллинеарны тогда и только тогда, когда .

419.  Докажите, что для любых векторов и евклидова линейного пространства имеет место неравенство: .

420.  Определите, для каких векторов и евклидова линейного пространства имеет место равенство: ..

421.  Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

422.  Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

423.  Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

424.  Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на трехмерном пространстве?

425.  *Определите, может ли матрица быть матрицей скалярного произведения на четырехмерном пространстве?

426.  Определите, может ли быть первой строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

427.  Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

428.  Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

429.  Определите, может ли быть третьей строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

430.  Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

431.  Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

432.  Определите, может ли быть второй строкой матрицы скалярного произведения на трехмерном пространстве относительно его некоторого базиса?

433.  *Докажите, что система векторов евклидова линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы Грама положителен.

434.  **Пусть и – две системы векторов в -мерном евклидовом линейном пространстве , причем система линейно зависима. Найдите определитель матрицы , где .

435.  **Пусть и – две системы векторов в -мерном евклидовом линейном пространстве , причем система векторов линейно зависима, а матрица , где , вырожденная. Верно ли, что система векторов линейно зависимая?

436.  **Пусть и – две системы векторов в -мерном евклидовом линейном пространстве , причем система векторов линейно зависима. Верно ли, что матрица , где , вырождена тогда и только тогда, когда одна из систем векторов или линейно зависима?

437.  **Пусть и – две системы векторов в -мерном евклидовом линейном пространстве , причем система векторов линейно зависима. Матрица , где и , вырожденная. Верно ли, что одна из систем векторов или линейно зависимая?

438.  Докажите, что ортогональное дополнение любого непустого подмножества евклидова линейного пространства есть подпространство .

439.  *Докажите, что, если два подпространства евклидова линейного пространства ортогональны, то их пересечение состоит только из нулевого вектора.

440.  Верно ли, что, если пересечение двух подпространств евклидова линейного пространства состоит только из нулевого вектора, то эти подпространства ортогональны?

441.  *Пусть и – подпространства евклидова линейного пространства , а и – их ортогональные дополнения, соответственно. Можно ли и как через них выразить – ортогональное дополнение к подпространству ?