Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 13 )

277.  *Верно ли, что, если , то и имеют одни и те же инвариантные подпространства в линейном пространстве ?

278.  Как меняется с изменением базиса линейного пространства характеристический многочлен и характеристическое уравнение эндоморфизма ?

279.  Как изменяются собственные значения с изменением базиса в линейном пространстве ?

280.  Докажите, что может иметь не более собственных значений.

281.  Может ли автоморфизм иметь нулевое собственное значение?

282.  и имеет одно из собственных значений, равное . Может ли этот эндоморфизм быть автоморфизмом линейного пространства ?

283.  **, где – конечномерное вещественное линейное пространство, причем удовлетворяет условию , т. е. для любого выполняется . Определите его собственные значения.

284.  **, где – конечномерное вещественное линейное пространство, причем удовлетворяет условию , т. е. для любого выполняется . Определите его собственные значения.

285.  *Может ли быть сумма двух собственных векторов с различными собственными значениями быть собственным вектором того же эндоморфизма?

286.  Пусть векторы и – собственные с собственными значениями и, соответственно, . Могут ли быть коллинеарными векторы и , если ?

287.  Какие собственные векторы имеет линейный эндоморфизм , если относительно некоторого базиса матрица ?

288.  *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равными . Означает ли это, что он является нулевым эндоморфизмом, т. е. для любого ?

289.  *Эндоморфизм трехмерного линейного пространства имеет все собственные значения, равные 1. Означает ли это, что он является тождественным эндоморфизмом, т. е. для любого ?

290.  Докажите, что собственные векторы эндоморфизма с различными собственными значениями линейно независимы.

291.  имеет различных собственных значений. Докажите, что из собственных векторов с этими собственными значениями составить базис . Какова в этом базисе матрица эндоморфизма ?

292.  Может ли эндоморфизм линейного пространства иметь единственный собственный вектор?

293.  Верно ли, что всякий эндоморфизм вещественного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?

294.  Верно ли, что всякий эндоморфизм комплексного линейного пространства обязательно имеет собственные векторы (хотя бы один)?

295.  Какова должна быть размерность конечномерного вещественного линейного пространства, чтобы любой его эндоморфизм имел бы, по крайней мере, один собственный вектор?

296.  Укажите возможное наибольшее число собственных значений линейного оператора ?

297.  Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно независимых собственных векторов линейного оператора ?

298.  Укажите возможное наибольшее и наименьшее число линейно независимых собственных направлений линейного оператора ?

299.  Пусть , а и – его различные собственные значения. Докажите, что .

300.  Существует ли , где – вещественное линейное пространство, для которого нет базиса, в котором его матрица была бы диагональной?

301.  Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства , инвариантного относительно , имеется хотя бы один собственный вектор?

302.  Верно ли, что в любом подпространстве линейного пространства , инвариантного относительно , имеется хотя бы один собственный вектор?

303.  Докажите, что является автоморфизмом тогда и только тогда, когда характеристическое уравнение не имеет нулевых корней.

304.  **Верно ли, что, если линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств и подпространство инвариантно относительно эндоморфизма , то подпространство также инвариантно относительно ?

305.  *Верно ли, что, если линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств и подпространство инвариантно относительно эндоморфизма , то подпространство также инвариантно относительно ?