Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 23 )

503.  Может ли , где – двумерное евклидово линейное пространство, быть одновременно и ортогональным и самосопряженным?

504.  *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть ортогональным? В случае положительного ответа приведите примеры.

505.  *Среди ортогональных операторов O укажите все самосопряженные или докажите, что таких не существует.

506.  *Может ли самосопряженный оператор на линейном пространстве быть вырожденным? В случае положительного ответа приведите примеры.

507.  Всегда ли самосопряженный оператор линейного пространства является его автоморфизмом

508.  Если – самосопряженные операторы линейного евклидова пространства , т. е. S. Верно ли, что оператор тоже самосопряженный?

509.  Докажите, что операция сопряжения линейного оператора в евклидовом линейном пространстве обладает свойством: .

510.  **Образует ли множество всех самосопряженных операторов на евклидовом линейном пространстве S группу относительно операции их композиции?

511.  *Верно ли для любого O, что ?

512.  *Верно ли, что для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве выполняется ?

513.  *Верно ли, что для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве выполняется ?

514.  Верно ли, что если S – самосопряженный оператор евклидова линейного пространства имеет инвариантное подпространство , то его ортогональное дополнение также инвариантно относительно ?

515.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве утверждение ?

516.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве утверждение ?

517.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве утверждение ?

518.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве утверждение ?

519.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве , что самосопряженный линейный оператор?

520.  *Верно ли для любого линейного оператора , где – евклидово линейное пространство, что самосопряженный линейный оператор?

521.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве , что ортогональный линейный оператор?

522.  *Верно ли для любого линейного оператора на евклидовом линейном пространстве , что ортогональный линейный оператор?

523.  **Верно ли для любого линейного оператора евклидова линейного пространства утверждение: если уравнение имеет решение, то всякое его решение удовлетворяет уравнению ?

524.  Пусть , а – конечномерное евклидово линейное пространство и в некотором базисе имеет матрицей симметрическую матрицу . Верно ли, что S – самосопряженный на пространстве ?

525.  Как связаны между собой собственные значения линейных операторов и , если эти операторы действуют в унитарном линейном пространстве?

526.  Верно ли, что оператор , где – евклидово линейное пространство, всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности )?

527.  *, где – унитарное линейное пространство. Верно ли, что этот оператор всегда имеет инвариантное гиперподпространство (подпространство размерности )?

528.  **Верно ли, что для любого линейного оператора -мерного евклидова линейного пространства найдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

529.  **Верно ли, что для любого линейного оператора -мерного унитарного линейного пространства найдется базис, в котором матрица этого оператора треугольная (верхняя треугольная)?

530.  Верно ли, что для любого самосопряженного линейного оператора в конечномерном евклидовом линейном пространстве имеет место равенство: ?