Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 17 )

360.  *Каждой билинейной форме на конечномерном линейном пространстве сопоставляется ее матрица относительно базиса , и таким образом определено отображение B M. Является ли отображение изоморфизмом линейных пространств B и M?

361.  *Матрица билинейной формы на некотором линейном пространстве симметрическая в некотором базисе . Будет ли она обладать таким же свойством в другом базисе этого линейного пространства?

362.  Изменится ли матрица билинейной формы на двумерном линейном пространстве, если от базиса этого пространства перейти к другому его базису с матрицей перехода ?

363.  Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе поменять местами первых два вектора?

364.  Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе поменять местами первый и последний векторы?

365.  Изменится ли и каким образом матрица билинейной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе первый вектор умножить на 2?

366.  Как изменяется матрица билинейной формы, определенной на конечномерном линейном пространстве, если от его базиса перейти к другому его базису с матрицей перехода ?

367.  Изменяется ли и как именно ранг билинейной формы при замене базиса линейного пространства, на котором она определена?

368.  *Как изменится матрица билинейной формы , определенной на конечномерном линейном пространстве, если в его базисе сделать циклическую перестановку векторов?

369.  *Как изменится матрица билинейной формы , определенной на конечномерном линейном пространстве, если все векторы его базиса умножить на число ?

370.  Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве имеет в некотором базисе своей матрицей диагональную матрицу. Верно ли, что в любом другом базисе ее матрица также диагональная?

371.  Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве имеет в некотором базисе своей матрицей диагональную матрицу. Верно ли, что в любом другом базисе ее матрица симметрическая?

372.  Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы положительные. Является ли эта квадратичная форма положительно определенной на этом пространстве?

373.  Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы неотрицательные. Является ли эта квадратичная форма положительно определенной на этом пространстве?

374.  Билинейная форма на конечномерном линейном пространстве такова, что в некотором базисе ее матрица диагональная и все ее элементы отрицательные. Является ли эта квадратичная форма отрицательно определенной на этом пространстве?

375.  Изменится ли и каким образом матрица квадратичной формы , определенной на трехмерном линейном пространстве, если в его базисе поменять местами первый и последний векторы?

376.  Как изменяется матрица квадратичной формы, определенной на конечномерном линейном пространстве, если от его базиса а перейти к другому его базису с матрицей перехода ?

377.  Как изменится матрица квадратичной формы , определенной на конечномерном линейном пространстве, если в его базисе сделать циклическую перестановку векторов?

378.  Определите положительный индекс инерции квадратичной формы: ?

379.  Определите положительный индекс инерции квадратичной формы: ?

380.  Определите, является ли положительно определенной на линейном пространстве квадратичная форма ?

381.  Определите, является ли положительно определенной на линейном пространстве квадратичная форма ?

382.  Определите, является ли положительно определенной на линейном пространстве квадратичная форма ?

383.  Определите, является ли отрицательно определенной на трехмерном линейном пространстве квадратичная форма ?

384.  Определите, является ли отрицательно определенной на линейном пространстве квадратичная форма ?

385.  Определите, является ли отрицательно определенной на линейном пространстве квадратичная форма ?

386.  *Квадратичная форма на конечномерном вещественном -мерном линейном пространстве задана в нормальном виде: , причем . Определите наибольшую размерность подпространства , на котором тождественно равна .

387.  **Квадратичная форма на линейном пространстве положительно определена и относительно некоторого базиса имеет матрицей матрицу . Верно ли, что квадратичная форма с матрицей относительно этого же базиса тоже положительно определена?