Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 21 )

471.  *Пусть – евклидово линейное пространство, а O – ортогональный оператор этого пространства имеет инвариантное подпространство . Верно ли, что – ортогональное дополнение также инвариантно относительно ?

472.  *Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а O – ортогональный оператор этого пространства имеет инвариантное подпространство . Верно ли, что – ортогональное дополнение также инвариантно относительно ?

473.  Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, O (– центральная симметрия ). Найдите эндоморфизм, сопряженный .

474.  Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, O (– ортогональное отражение относительно векторной прямой (одномерного подпространства) ). Найдите эндоморфизм, сопряженный .

475.  Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, O (– ортогональное проектирование на векторную прямую ). Найдите эндоморфизм, сопряженный .

476.  *Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, O (– поворот на угол). Найдите эндоморфизм, сопряженный .

477.  Векторная плоскость рассматривается со стандартным скалярным произведением, (– гомотетия с коэффициентом ). Найдите эндоморфизм, сопряженный .

478.  *Пусть – евклидово линейное пространство, а . Его подпространство инвариантно относительно . Верно ли, что – ортогональное дополнение инвариантно относительно сопряженного эндоморфизма ?

479.  *Пусть – конечномерное евклидово линейное пространство, а . Его подпространство инвариантно относительно . Верно ли, что – ортогональное дополнение инвариантно относительно сопряженного эндоморфизма ?

480.  *Пусть – евклидово линейное пространство, а для отображения существует отображение такое, что для любых векторов . Докажите, что .

481.  Пусть – евклидово линейное пространство, и является самосопряженным оператором с простым спектром. Сколько различных (не гомотетичных) базисов можно составить его собственных векторов?

482.  Пусть – евклидово линейное пространство, , а – его сопряженный оператор. Найдите и сравните их характеристические многочлены и , сравните собственные значения и .

483.  Можно ли по характеристическому уравнению линейного оператора найти собственные значения сопряженного ему линейного оператора?

484.  Может ли быть вырожденным самосопряженный оператор на линейном пространстве?

485.  Почему матрица самосопряженного оператора S в ортонормированном базисе евклидова линейного пространства симметрическая?

486.  Базис конечномерного линейного евклидова пространства не является ортонормированным относительно скалярного произведения . и имеет матрицей относительно . Укажите матрицу сопряженного эндоморфизма.