Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 6 )

103.  Является ли подпространством линейного пространства пересечение двух его подпространств?

104.  Является ли подпространством линейного пространства объединение двух его любых подпространств?

105.  Может ли быть объединение двух подпространств линейного пространства быть его подпространством?

106.  В координатном линейном пространстве KM рассматривается подмножество всех векторов-столбцов таких, что сумма всех его элементов – нулевая. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространстве K?

107.  В координатном линейном пространстве K=M рассматривается подмножество всех векторов-столбцов, у которых имеется сумма двух элементов равная единице. Является ли это подмножество подпространством в линейном пространстве K?

108.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество всех вырожденных матриц. Является ли такое подмножество подпространством линейного пространства M?

109.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество GL всех невырожденных матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространства M?

110.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество S всех симметрических матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространства M?

111.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество K всех кососимметрических матриц. Является ли K подпространством линейного пространства M?

112.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество D всех диагональных матриц. Является ли это подмножество подпространством линейного пространства M?

113.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество всех матриц с нулевой суммой элементов главной диагонали. Является ли такое подмножество подпространством линейного пространства M?

114.  В линейном пространстве квадратных матриц одного порядка M рассматривается подмножество всех матриц со всеми нулевыми элементами главной диагонали. Является ли это подмножество подпространством линейного пространства M?

115.  Какова размерность линейного пространства матриц M?

116.  Какова размерность линейного пространства квадратных матриц M?

117.  Какова размерность подпространства S линейного пространства квадратных матриц M, состоящего из всех симметрических матриц?

118.  Какова размерность подпространства K линейного пространства матриц M, состоящего из всех кососимметрических матриц?

119.  Докажите, что любое конечное пересечение подпространств линейного пространства есть его подпространство.

120.  Докажите, что сумма подпространств любого линейного пространства есть его подпространство.

121.  Докажите, что линейная оболочка любой конечной системы векторов линейного пространства есть его подпространство.

122.  Пусть – линейная оболочка системы векторов , координаты которых в некотором базисе -мерного линейного пространства известны. Как задать это подпространство системой линейных уравнений?

123.  Подпространство конечномерного линейного пространства задано некоторой системой линейных уравнений. Как найти какой-либо базис этого подпространства?

124.  Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как задать системой линейных уравнений пересечение этих подпространств?

125.  Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как найти базис пересечения этих подпространств?

126.  *Каждое из двух подпространств линейного пространства задано системой линейных уравнений, как задать системой линейных уравнений сумму этих подпространств?

127.  Каждое из двух подпространств конечномерного линейного пространства задано системой линейных уравнений. Как найти базис суммы этих подпространств?

128.  В линейном пространстве имеется вектор , где и , причем и , где и – подпространства . Может ли в этом случае сумма подпространств быть прямой?

129.  В линейном пространстве имеется вектор , где и , причем , где и – подпространства . Может ли в этом случае сумма подпространств быть прямой?

130.  Верно ли, что линейное пространство , если существует вектор такой, что его разложение единственно, где , , а и – подпространства ?

131.  Верно ли, что если в линейном пространстве для одного вектора единственно разложение такое, что и , где и – подпространства , то каждый вектор этого пространства имеет единственное разложение на векторные слагаемые, принадлежащие подпространствам и, соответственно, ?