Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 16 )

339.  *В координатном линейном пространстве KM задан базис . Найдите двойственный ему базис в сопряженном пространстве K.

340.  **В координатном линейном пространстве KM задан базис . Найдите двойственный ему базис в сопряженном пространстве K.

341.  **Пусть и – базисы линейного пространства с матрицей перехода , а и – двойственные им базисы сопряженного пространства . Найдите матрицу перехода .

342.  **Линейная форма задана на так, что , разложите линейную форму в линейную комбинацию форм , где , где .

6. Билинейные и квадратичные формы на линейных пространствах

343.  Является ли билинейной формой отображение такое, что , где – множество всех непрерывных функций на отрезке ?

344.  Является ли билинейной формой отображение такое, что , где – множество всех функций, интегрируемых на отрезке ?

345.  Билинейная форма задана на линейном пространстве . Определите, является ли подпространством этого линейного пространства множество его векторов .

346.  Билинейная форма задана на линейном пространстве . Определите, является ли подпространством этого линейного пространства множество его векторов .

347.  *Билинейная форма задана на линейном пространстве . Определите наибольшую размерность подпространства этого линейного пространства.

348.  Может ли одна и та же квадратичная форма порождаться разными билинейными формами?

349.  Может ли одна и та же квадратичная форма порождаться разными симметрическими билинейными формами?

350.  Можно ли по квадратичной форме восстановить порождающую ее билинейную форму? Восстановить порождающую ее симметрическую билинейную форму?

351.  Докажите, что билинейную форму на конечномерном линейном пространстве можно привести к диагональному виду, если она симметричная.

352.  *Докажите, что билинейную форму на конечномерном линейном пространстве нельзя привести к диагональному виду, если она несимметричная.

353.  Верно ли, что квадратичная форма положительно определена на конечномерном линейном пространстве тогда и только тогда, когда ее значения на базисных векторах любого базиса этого пространства положительны?

354.  Пусть – линейные формы на линейном пространстве . Определим для любых . Докажите, что – билинейная форма на .

355.  Пусть – линейные формы на линейном пространстве . Определим для любых . Определите условия, при которых эта билинейная форма симметрична.

356.  *Пусть – линейные формы на линейном пространстве с матрицами и, соответственно, относительно некоторого базиса в . Относительно этого же базиса найдите матрицу билинейной формы , где для любых .

357.  Пусть – линейные формы на линейном пространстве с матрицами и, соответственно, . некоторого базиса в . Определите условия, при которых билинейная форма где симметрична. для любых .

358.  *Определим сумму билинейных форм и произведение скаляра на билинейную форму, положив для любых , , и . Является ли множество всех билинейных форм B на линейном пространстве с такими операциями линейным пространством?

359.  *Каждой билинейной форме на линейном пространстве сопоставляется ее матрица относительно некоторого базиса . Таким образом определено отображение B M. Докажите, что это отображение биективно.