Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 4 )

56.  Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

57.  Определите размерность пространства решений линейного уравнения: .

58.  Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

59.  Определите размерность пространства решений системы линейных уравнений: .

60.  Докажите, что если две совместные системы линейных уравнений эквивалентны, то их ранги равны.

61.  *Докажите «альтернативу Фредгольма»: система линейных уравнений либо совместна при любом столбце свободных членов, либо ее сопряженная однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение.

62.  *Пусть присоединение одного уравнения к системе линейных уравнений не меняет множества решений. Докажите, что в этом случае присоединяемое уравнение есть линейная комбинация уравнений исходной системы уравнений.

63.  **Для совместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений: . Будет ли она тоже совместна?

64.  **Для несовместной системы линейных уравнений составлена система линейных уравнений: . Будет ли она совместна?

65.  **Пусть M и M и система линейных уравнений имеет решение при любом M. Следует ли из этого, что ?

66.  **Пусть M и M и система линейных уравнений имеет не более одного решения при каждом M. Следует ли из этого, что ?

67.  **Пусть M и M и система линейных уравнений имеет не более одного решения при каждом M. Следует ли из этого, что ?

68.  Пусть M и существует такой вектор , что и . Верно ли, что из этого следует, что ?

69.  Пусть M и существует такой ненулевой вектор , что и . Верно ли, что из этого следует, что ?

70.  Пусть M и существует такой ненулевой вектор , что и . Верно ли, что из этого следует, что ?

71.  Пусть M и система линейных уравнений имеет только нулевое решение. Следует ли из этого, что ?

72.  Пусть M, а M – решения систем линейных уравнений и, соответственно, , причем любой вектор представим в виде ,. Следует ли из этого что ?

73.  Запишите решение матричного уравнения при условии, что матрицы и квадратные и невырожденные (обратимые).

2. Линейные пространства

74.  Докажите, что в линейном пространстве «правый» нейтральный элемент является и «левым» нейтральным элементом.

75.  Докажите, что в линейном пространстве «правый» противоположный данному элементу является и «левым» элементом, противоположным данному элементу.

76.  Докажите, что в линейном пространстве нейтральный элемент и элемент, противоположный данному элементу, определяются единственным образом.

77.  Докажите, что множество всех решений системы линейных однородных уравнений есть линейное пространство.

78.  Является ли множество всех решений системы линейных неоднородных уравнений линейным пространством?

79.  *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из одного элемента?

80.  *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из двух элементов?

81.  *Можно ли задать структуру линейного пространства на множестве, состоящем из конечного числа (более одного) элементов?

82.  Докажите, что множество всех матриц одного порядка M с естественными операциями их сложения и умножения на число есть линейное пространство.

83.  В множестве квадратных матриц третьего порядка рассматривается два отображения: умножения матриц : MMM и умножения вещественного числа на матрицу •: MM. Определяют ли эти операции (отображения) на M структуру линейного пространства?