Очень много вопросов по курсу линейной алгебры и геометрии, полезных к размышлению перед экзаменом (особенно досрочным) семестр 2 (стр. 14 )

306.  с матрицей . Найдите и .

307.  *Пусть и в некотором базисе матрица диагональная. Верно ли, что в любом подпространстве , инвариантном относительно , найдется базис, относительно которого ограничение на подпространство имеет диагональную матрицу?

308.  *Докажите, что, если для в некотором базисе матрица диагональная, то есть линейная оболочка всех собственных векторов с ненулевыми собственными значениями и .

309.  *Верно ли, что, если и имеет место , то найдется базис из собственных векторов , в котором матрица эндоморфизма диагональная?

310.  с матрицей . Найдите и .

311.  с матрицей . Найдите и .

312.  с матрицей . Найдите и .

313.  *Существует ли , где – вещественное линейное пространство, в котором не существует базиса, относительно которого его матрица была бы диагональной?

314.  и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства V на векторную прямую , заданную уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите его матрицу относительно некоторого ортонормированного базиса . Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

315.  и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства V на векторную прямую , заданную уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса. Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .

316.  и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства V на подпространство , заданное уравнением: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите его матрицу относительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

317.  и является ортогональным проектированием векторов линейного пространства V на подпространство , заданное уравнением: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства.

318.  * и является поворотом на угол векторов линейного пространства V вокруг векторной прямой , заданной уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите его матрицу относительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрица отображения диагональная?

319.  * и является поворотом векторов линейного пространства V на угол вокруг векторной прямой , заданной уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .

320.  * и является поворотом векторов линейного пространства V на угол вокруг векторной прямой , заданной уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите его матрицу относительно этого базиса. Существует ли базис, в котором матрица диагональная?

321.  * и является поворотом векторов линейного пространства V на угол вокруг векторной прямой, заданной уравнениями: относительно некоторого ортонормированного базиса . Найдите все его собственные значения, собственные векторы и собственные подпространства .