Методика преподавания информатики (стр. 95 )

Здесь введены обозначения F0 = F(t0, v0, s0), m0 =  m(t0, v0, s0).

При вычислениях значений v и s в последующие моменты времени можно поступать аналогично (6). Так, если известны значения vi и si в момент ti, то

               (7)

На самом деле мы, естественно, пришли к формулам метода Эйлера, но методически иначе, даже не упоминая о дифференциальных уравнениях.

При построении этой и подобной ей моделей следует обратить внимание учащихся на то, что в разбиении непрерывного времени на отрезки длиной Δt проявляется одна из фундаментальных идей информатики об универсальности дискретной формы представления информации, отраженная как в конструкции компьютера, так и во множестве приложений информатики.

Вопрос о выборе конкретного значения Δt весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном моделировании мы можем получить решение задачи о движении тела на некотором конечном отрезке времени [t0, Т]. Чем меньше величина Δt:

а) тем больше вычислений требуется, для того чтобы пройти весь заданный временной интервал;

б) тем выше точность в передаче значений непрерывных функций s(t), v(t) их дискретными представлениями — наборами чисел si = s(ti), vi = v(ti).

Вопрос о точности результатов является в описываемом моделировании одним из центральных. Он распадается на два: как оценить эту точность и можно ли, уменьшая Δt, достигать все большей точности?

Остановимся вначале на первом. Теоретические оценки точности слишком сложны и на практике часто неприменимы. Самый популярный эмпирический прием оценки точности заключается в следующем: отрезок [t0, Т] проходится с некоторым шагом Δt, а затем с существенно меньшим (например, в два раза) шагом. Сравнение результатов в точках t1, t2, ..., T позволяет составить представление о реальной точности результатов. Если она недостаточна, то следует повторить процесс с еще меньшим шагом.

Однако уменьшение Δt, как ни странно, не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий и тем больше шансов увеличить чисто вычислительную погрешность округления, всегда сопутствующую компьютерным вычислениям. Другая причина глубже и связана со способом дискретизации — перехода от описания реально непрерывного процесса движения тел к описанию по простейшим формулам (4) — (7). Обе вместе могут привести к неустойчивости решения, т. е. получению результатов, не имеющих реально ничего общего с истинными. Обычно неустойчивость становится заметной при повторениях процесса с уменьшением шага Δt. Способы дискретизации, ведущие к более устойчивым методам решения таких задач, описаны в литературе (см., в частности, [5, 9]).

Отметим, что существует немало компьютерных программ, моделирующих простые физические процессы. У них реализован, в той или иной мере профессионально, диалоговый интерфейс, позволяющий вводить параметры, получать на экране таблицы, графики, движущиеся изображения. Однако при их использовании остаются скрытыми физические законы, определяющие процесс, ограничения модели, возможности ее усовершенствования. Такие программы полезны скорее как иллюстративные. Поэтому более целесообразно нацеливать учащихся на самостоятельную разработку программ.

В некоторых случаях для ускорения процесса работы над какой-либо задачей целесообразно вместо составления программы воспользоваться прикладной программой (например, табличным процессором или математическим пакетом типа MathLab, что, впрочем, уже потребует дополнительных усилий).

Для того чтобы продемонстрировать учащимся практическую значимость решаемых задач, построенных математических моделей, целесообразно предложить содержательную проблему, для решения которой необходимо применить построенную модель, предварительно формализовав задачу и выполнив ранжирование факторов. В качестве такой содержательной задачи может, например, выступать задача о полете парашютиста. Проведем детальное моделирование. Перед тем как его начинать, необходимо решить вопрос об удобных способах представления результатов. Разумеется, колонка чисел, выдачи которой проще всего добиться от компьютера при численном моделировании, желательна. Однако слишком много чисел в колонке быть не должно, их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, гораздо больше шага, с которым интегрируется дифференциальное уравнение, т. е. далеко не все значения vh найденные компьютером, следует записывать в результирующую таблицу.

Кроме таблицы необходим график зависимости v(t); по нему хорошо видно, как меняется скорость со временем, т. е. происходит качественное понимание процесса.

Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Изображениям в разные моменты можно придать разный цвет — от «холодного» зеленого при относительно малых скоростях до «горячего» красного при высоких скоростях — прием условных цветов, широко используемый в современной научной графике.

Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом — скажем, через каждый метр или 100 метров, смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются.

Решение будем выполнять до тех пор, пока парашютист не опустится на землю. Шаг интегрирования дифференциального уравнения можно подобрать методом проб и ошибок, решая уравнение несколько раз, начав, например, с заведомо большого значения Δt = 0,1 с и постепенно уменьшая его до тех пор, пока качество решения не станет приемлемым.

Полное моделирование включает изучение временной зависимости не только скорости, но и пройденного телом пути. Не сделав последнего, можно в конкретных ситуациях получить бессмысленный физически результат. Например, парашютист прыгает с самолета и через некоторое время достигает вполне безопасной для приземления скорости 10 м/с. Но сколько он перед этим пролетел? Если это расстояние много больше высоты, с которой состоялся прыжок, то фактическая скорость приземления много выше, и это ничего хорошего не сулит.

Компьютерная реализация этой модели может быть выполнена программированием как на традиционном языке программирования (Паскаль, Бейсик и др.), так и, например, в электронных таблицах. Частичное тестирование программ можно проводить при k2 = 0, т. е. для движения без трения. Решение в этом случае очевидно (свободное падение).

Как отмечалось выше, методически целесообразным бывает использование табличных процессоров для моделирования. Результаты решения подобных задач обязательно следует иллюстрировать графиками зависимости скорости и перемещения от времени (если же движение неодномерно, тот и изображениями траекторий). Разумеется, предпочтительным является построение графиков программным путем. Если учащиеся реализуют программы на языке программирования, то проще всего заложить в программу еще и построение графиков; если решение реализуется в электронной таблице, то можно воспользоваться заложенными в эти программы графическими возможностями.

Следует заметить, что для хранения результатов расчетов в данном случае требуется очень много ячеек таблицы, и хотя современные табличные процессоры позволяют хранить большой объем информации, в случае нехватки памяти рекомендуется увеличить шаг, с которым проводятся вычисления (снизив при этом точность вычислений). Табличный процессор позволяет представлять результаты расчетов и в графической форме. Можно при работе над задачей получить результаты двумя способами: с помощью табличного процессора и составлением собственной программы — для того, чтобы затем сравнить эти результаты и временные затраты каждого из способов.

Модели свободно падающего тела можно придать черты оптимизационной, поставив задачу, например, так: парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость? Или по-другому: как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта (входящей в k2), чтобы скорость приземления была безопасной? Выполнение таких исследований многократно более трудоемко, нежели просто изучение одного прыжка при заказанных условиях.

Таким образом, в методическдм плане рассмотренная модель выигрышна, поскольку, несмотря на свою простоту, позволяет обсуждать множество связанных с ней проблем.

При выполнении компьютерной лабораторной работы по исследованию модели можно предложить разноуровневые учебные задания (рассчитанные, соответственно, на «среднего» и «сильного» ученика):

1) получить результаты и их графическое отображение для заданного набора параметров модели;

2) исследовать свободное падение тела в средах различной вязкости и провести содержательное сравнение результатов исследования;

3) придать модели черты оптимизационной (самостоятельно или с помощью учителя), выполнить указанные исследования, провести содержательное сравнение результатов исследования.

По использованной здесь схеме могут вводиться и исследоваться другие модели, где учитывается сопротивление среды. При этом уже нет нужды отвлекаться на изучение численных методов решения систем дифференциальных уравнений, поскольку это достаточно проделать аккуратно только один раз, скажем, на примере рассмотренной выше модели.

Перечислим модели движения тела в среде, которые допускают достаточно простое исследование:

• движение тела, брошенного под углом к горизонту, с учетом сопротивления среды;

• взлет ракеты (особенность — масса тела меняется в ходе движения);

• различные задачи на прицельную стрельбу при движении «снаряда» в среде (в воздухе, под водой и т. д.).

Многие такие задачи сформулированы в пособии [6].