Математика и опыт (стр. 10 )

Я говорил о выделении объектов соответственно свойствам материала и методам и средствам деятельности с ним. Так что ре­зультат в любом случае оказывается зависящим как от материала, с которым происходит деятельность, так и от способа «видения» субъекта. Эту совместность важно подчеркивать, поскольку обы­денными являются представления даже крупных ученых (в основ­ном я имею в виду физиков) о чистой объективности открываемых законов и видимых структур и явные или неявные склонности по­нимать связь теорий чисто редукционистски, абсолютизация чего к добру не приводит.

: «Если бы границы математических объектов определялись произвольно, то факт устойчивости математических теорий и их повседневной приложимости к реальности был бы со­вершенно непонятным. Система связей между математическими и физическими структурами является в действительности более глу­бокой и не раскрывается формалистскими определениями матема­тики, подчеркивающими ее независимость от опытных наук».

Вообще успешность применения математики состоит в ее способности описать некоторое закономерное (причинное) сле­дование развития (или связи) конечных объектов, описываемых количественно. Науки о реальности предоставляют эти достаточно хорошо очерченные объекты. Природа же оказалась такова, что в некоторых рамках обеспечивает устойчивость (применимость) этих структур и их связей в деятельности и, следовательно, воз­можность описать их развитие (связь) не слишком сложными, практически осуществимыми математическими конструкциями.

Математика «прикладывается» не к реальности, а к упрошен­ным структурам, выделенным частными науками как приближен­ные модели реальности. Когда мы говорим, что математика успеш­но работает, то как она работает? Приближенно, конечно, как и те относительно простые структуры (модели мира), которые предло­жены в конкретных случаях частными науками. А модели эти не так уж и разнообразны. Думаю, что не ошибусь, если скажу, что гораздо более половины полезных и результативных не совсем эле­ментарных (типа 2x2 = 4) приложений основаны на применении приближений не выше первого (линейного). Другими словами, пресловутая эффективность математики базируется на возможнос­ти (практической эффективности, удовлетворительности для субъекта) простых описаний (моделей) мира. Реально применяется

124

не так уж много вариантов математических структур, и их верное применение требует только согласования параметров (объектов и критериев) с данными. А при понимании природы математики во­обще важно осознавать, что деятельность математика остается ма­тематической независимо от связи выбираемых им структур с реальным миром, лишь бы это была деятельность с границами.

: «Не вполне ясен также тезис автора о том, что "вся математика существует в потенции". Как можно определить су­ществование в потенции? Можно ли сказать, что все люди, которые еще появятся на Земле, существуют в потенции? Очень сомнительно, что понятию "существовать в потенции" можно придать какой-то разумный смысл в отношении будущих математических теорий».

Вся математика существует в потенции как набор всевозмож­ных разрешенных математически комбинаций систем и структур. Совершенно так же, как набор всевозможных логических построе­ний. Все, что может быть построено формально правильным спо­собом, относится к математике. Все математическое, что построе­но в одном мире, остается математическим в любом другом неза­висимо от законов реальности в нем. Вся математика существует в потенции так же, как физика не существует для нас в потенции. Например, потенциально существуют произведения чисел из двух множеств, хотя никто их реально не считал. Но не все, что может быть построено правильно с точки зрения физических правил, окажется реально верным и может считаться физикой. Реальность может оказаться совсем другой. Для математики нет критерия сходства с чем-то реально существующим, поэтому никакого внешнего отбора для нее нет.

Любая математическая конструкция, построенная, скажем, ради физических приложений, могла бы быть построена и незави­симо от этой потребности. Можно сказать, что в мире потенциаль­ной математики она уже была. Полезной или не полезной она оказалась — это не влияет на ее математичность.

Вся математика существует потенциально априори как числа, как 2х2=4. Физика априорно не существует. Она строится соот­ветственно образцу. Потенциальную математику, т. е. всю возмож­ную, и проверять не надо, это будет нормальная («правильная») математика.

Итак, математика существует потенциально так же, как, ска­жем, возможность перебрать все произведения каких-то наборов чисел. Физика же таким образом — вне опыта — не существует. Это различие принципиально и практически важно как для понимания полной независимости потенциальной математики, т. е. са­мой математичности, от всякой реальности, так и для правильного понимания физики, и, следовательно, заслуживает быть специаль­но отмеченным. 

125

МАТЕМАТИКА КАК ТЕХНИЧЕСКАЯ НАУКА:

ВОСПОМИНАНИЕ О БУДУЩЕМ

   

Представляемая в настоящей статье трактовка математики как технической науки нового поколения (ментально-технической науки) является частной прогностической (футурологической, если угод­но) интерпретацией разрабатываемой автором теории ментальных объектов (ТМО) — общефилософской концепции, рассматриваю­щей всю осознанную целенаправленную умственную деятельность человека как производство (генерацию, разработку, проектирова­ние и т. д.) внедрение и обращение искусственных ментальных объектов (ментальных артефактов произвольного уровня сложнос­ти), оцениваемых и сравниваемых между собой по степени эффек­тивности, осмысленности и определенности, уровню общности и другим социально и гносеологически значимым параметрам.

В рамках ТМО любой продукт осознанной целенаправленной умственной деятельности человека (ментальный артефакт) — будь то математическая теория или литературное произведение — ос­мысляется и определяется как нематериальный (информационный) технический объект, характеризуемый прежде всего с точки зре­ния соответствия своему общественному назначению, т. е. эффек­тивности в смысле удовлетворения некоторой осознанной мен­тальной потребности человека (человеческого сообщества).

Это позволяет рассматривать ТМО как отрицание отрицания (на новой аксиологической и теоретико-методологической основе) классической античной трактовки всех родов и видов человечес­кой деятельности (в первую очередь всех разновидностей осознан­ной целенаправленной творческой умственной активности людей) как искусств, совершенно незаслуженно, на наш взгляд, отверг­нутой в Новое и Новейшее время.

Разумеется, речь не идет о восстановлении безнадежно мо­рально устаревшего античного разделения основных видов челове­ческой деятельности на «механические» и «свободные» искусства, а последних — на «тривиум» (грамматика, диалектика и ритори­ка) и «квадривиум» (арифметика, геометрия, астрономия и музы­ка), однако нетривиальный латентный смысл и фантастические гносеологические возможности, заключенные в идее «универсаль­ного искусствоведения», заслуживают сегодня, на наш взгляд, са­мого пристального внимания.

В основе ТМО лежит представление об историческом процес­се как о перманентной борьбе людей за существование и развитие,

126

осуществляемой путем создания и непрерывного совершенствова­ния различных (прежде всего ментальных, нематериальных) орудий и/или технологий осознанной целенаправленной деятельности, спо­собствующих выживанию и экзистенциальному прогрессу челове­ческого сообщества. Эта трактовка отличается от прочих определе­ний исторического процесса (например, от марксистского) глав­ным образом тем, что в ней высшим общественным приоритетом наделяются средства (орудия, устройства, технологии, техники и т. д.) ментальной (умственной, нематериальной) деятельности, которые рассматриваются в качестве необходимого условия создания материальных технических объектов (материальных артефактов).

Иначе говоря, все продукты осознанной целенаправленной человеческой деятельности в ТМО представляются как искусствен­ные объекты (артефакты) и делятся на две группы — ментальные и материальные, первые из которых рассматриваются как базовые, первичные, имеющие высший аксиологический приоритет, а вто­рые — как производные, эманативные, выполняющие второсте­пенные утилитарные функции по непосредственной поддержке жизнедеятельности общества.

Соответственно все продукты научной деятельности человека (включая результаты так называемых «естественных наук», не го­воря уже о науках собственно «технических») определяются в ТМО как ментальные технические объекты (ментальные артефакты), отличающиеся друг от друга общественным назначением (интеграль­ной технической функцией), формой, содержанием и различного рода ограничениями (в первую очередь аксиологическими), накла­дываемыми на процесс их создания и обращения в общественном сознании.

Несмотря на естественность приведенных выше посылок, последний тезис существенно противоречит классическому пони­манию научной деятельности, сложившемуся в последние столетия человеческой истории. Действительно, большинство философов, логиков, математиков, представителей различных «естественных наук» и т. д. в настоящее время отнюдь не склонны трактовать свою ментальную деятельность как техническую, изобретательскую и проективную по своей природе, предпочитая создавать и закреп­лять в общественном сознании различные неадекватные реальности и самопротиворечивые мифологемы типа «истина превыше всего», «наука для науки».

По нашему мнению, единственная реальная причина, руково­дящая (возможно, на подсознательном уровне) стремлением раз­личных (в первую очередь «естественных») наук, понимаемых как самостоятельные институционализированные субъекты определен­ным образом формализованной ментальной деятельности, позицио-

127

нироваться в общественном сознании в качестве «отдельно (в том числе друг от друга) стоящих башен из слоновой кости», состоит в их желании обезопасить себя от внешнего ценностного и целеполагающего воздействия. На самом же деле с упорством, достойным много лучшего применения, претендуя на априорную внеаксиологичность и внетелеологичность, стремясь любой ценой избежать «некомпетентного контроля» со стороны общества как целого, «ес­тественные» и прочие «нетехнические» науки лишь во все возрас­тающей степени попадают в зависимость от внешних социальных факторов (в первую очередь от политических решений и источни­ков финансирования), а также неуклонно утрачивают внутренние стратегические стимулы к прогрессивному развитию.

Если абстрагироваться от ложной и контрпродуктивной аксиофобии большинства современных ученых-естествоведов и образуе­мых ими частных научных сообществ, то никаких «объективных причин» целенаправленно самоотчуждаться от своей технической природы и сущности у науки как одной из наиболее эффективных социальных форм познания, достаточно осознанно и целенаправ­ленно (строго говоря, искусственно) созданных человеком, не су­ществует. Более того, отрицание своей имманентной аксиологичности и телеологичности объективно ведет науку к догматизации гносеологических ценностей и целей тысячелетней давности и к полной качественной стагнации (если не деградации).

Как представляется, ключ к пониманию и разрешению дихо­томии естественное — искусственное лежит в понятии истины и способах его определения и интерпретации. Существует множество самых различных трактовок данного понятия, из которых наука традиционно предпочитает две: истина как соответствие действи­тельности (корреспонтентская концепция) и истина как самоне­противоречивость знания (когерентная концепция).

На наш взгляд, обе названные трактовки истины необходимы, но недостаточны. Дело в том, что они применимы в процессе по­знания только после того, как в той или иной мере определены базовые ценности, цели и предмет той или иной научной дисцип­лины, сформирован ее понятийный аппарат, заданы аксиоматика, методология и т. д. Первичный же выбор названных составляющих любой науки и ее общественный статус в целом регулируются от­нюдь не соображениями адекватности реальности и непротиворе­чивости продуцируемого знания (во всяком случае, не только и не столько ими).

Чтобы та или иная научная дисциплина обрела существование в качестве легитимного и поощряемого к развитию социального института, лица, принимающие соответствующие решения, долж­ны заранее (априори) убедиться тем или иным образом, что потен-

128

циальное знание, предлагаемое обществу будущей наукой (незави­симо от уровня его соответствия действительности и степени само­непротиворечивости), в каком-то смысле экзистенциально ценно (жизненные ресурсы человечества конечны и должны расходоваться максимально эффективно).

Сказанное справедливо и для уже существующих (легитимизиро­ванных в общественном сознании) наук и входящих в них научных дисциплин. Как только в рамках той или иной научной дисципли­ны совокупное мнение научного сообщества начинает склоняться в сторону табуизации (или маргинализации) различного рода аксио­логических и/или телеологических изысканий и нововведений, можно однозначно прогнозировать, что эта отрасль человеческого знания вступает в стадию стагнации и догматизации своих мен­тальных оснований и, следовательно, начинает терять свои пози­ции в качестве источника прибавочной экзистенциальной (в пер­вую очередь, ментальной) силы человеческого сообщества.

Другими словами, вкладывая дефицитные экзистенциальные ресурсы (человеческие мозги высокого качества, деньги, оборудо­вание, ранее накопленную информацию и т. д.) в тот или иной вид научного познания, общество не может не думать о максимизации своего экзистенциального потенциала (совокупной способности людей к адаптации и преадаптации к условиям существования), о получении прибавочной экзистенциальной силы, даваемой эффек­тивным знанием. А в этом смысле различные науки и отдельные направления научных исследований отнюдь неравноценны.

  Поэтому вопрос о степени истинности того или иного знания — это всегда (кроме прочего) вопрос о его сравнительной экзистен­циальной ценности для человеческого сообщества и стоимости приобретения.

  Если мы принимаем изложенную выше точку зрения, что ис­тинность — это, вообще говоря, преимущественно аксиологичес­кая категория, то к признанию всех наук (включая «естественные» и «формальные») техническими науками не остается никаких пре­пятствий (кроме аксиологических же, разумеется).

  Итак, признавая аксиологический характер истины (необходи­мо понимать, кроме прочего, что адекватность знания — реальнос­ти, era непротиворечивость и т. п. критерии истинности — не более чем ментальные ценности определенного рода), высокую степень ее детерминированности некоторыми заранее (априорно) задан­ными ценностями, мы можем любую отрасль научного знания с полным основанием рассматривать как техническую науку.

Эта посылка влечет множество важнейших общегносеологи­ческих и социальных следствий, некоторые из которых и будут рассмотрены ниже на примере математики.

129

1. Признание математики технической наукой позволяет, в частности, достаточно гармонично, на наш взгляд, разрешить дав­ний спор о соотношении эмпиризма (апостериоризма) и априоризма (не - или антиэмпиризма) в процессе математических исследова­ний и разработок.

Здесь необходимо пояснить, что когда ниже пойдет речь о син­тезе эмпиризма и априоризма в процессе математического твор­чества, в понятие априоризм (априорное знание или понимание) мы будем вкладывать совершенно иной смысл, нежели тот, на кото­ром настаивал И. Кант (безусловная независимость от опыта, необ­ходимость и строгая всеобщность как критерии чистого априорного знания). На наш взгляд, ни одно из известных человеческих по­нятий не может удовлетворить названным признакам — ни всем одновременно, ни даже каждому по отдельности. Кантовская же отсылка ко «всем положениям математики», как предсташшется, совершенно несостоятельна, поскольку: а) практически все основные математические понятия и положения, как известно из истории, были получены в результате осуществления операций формализа­ции, абстрагирования, обобщения, идеализации и т. п. над вполне эмпирическими по своей природе ментальными объектами и, сле­довательно, имеют четко выраженные «родовые пятна» эмпириз­ма; б) ни одно из них не необходимо (каждое математическое понятие вполне может быть заменено на отличный по определению и свойствам, но сходный по назначению ментальный объект) и в) ни одно из них не всеобще (всегда может быть найдено исклю­чение на онтологическом уровне или построен альтернативный математический аппарат, не используюший любое конкретное ма­тематическое понятие на выбор или включающий в себя данное понятие в существенно модифицированном виде).

С учетом сказанного под априоризмом (или, что тождественно, гармоническим априоризмом) далее будет пониматься некоторый более или менее обоснованный (аксиологически или как-то иначе — не важно) или даже произвольный (включая совершенно случайный) внеэмпирическии выбор субъектом математического творчества неко­торого конкретного математического объекта (понятия, утвержде­ния или ценностной нормы) из множества возможных альтернатив при разработке какой-либо математической теории или ее составной части. При этом никаких трансцендентных «нагрузок» (менталь­ных сверхзадач типа безусловной необходимости, всеобщности, то­тальной интерсубъективности и т. д.) избранное математиком-раз­работчиком понятие (положение) нести не обязано и может быть в любой момент заменено на более функционально эффективное при создании некоторой новой математической теории (субтеории).

 130

Суть вышеаннотированного решения спора эмпиризма и (гар­монического, неотехницистского) априоризма состоит в осмыслении математического творчества как свободного изобретательского про­цесса, направленного на создание искусственных (технических) все более экзистенциально эффективных математических устройств (теорий, метатеорий, аксиоматик, теорем и т. д.) и технологий (ал­горитмов, сложных исследовательских и вычислительных методик и т. п.) определенного функционального назначения с заранее за­данными потребительскими свойствами.

В более широком (историческом) смысле совокупное матема­тическое творчество можно определить как целенаправленный (в перспективе — управляемый) эволюционный процесс, представляющий собой прогрессивную смену качественно различных по­колений математических артефактов (формальных ментальных устройств произвольного назначения, теорий, метатеорий, технологий, понятий, алгоритмов и т. д.).

Искусственность (техногенность) происхождения математичес­ких объектов произвольного назначения и уровня общности не означает, разумеется, их несоответствия действительности (хотя в рассматриваемом контексте вполне правомерно вести речь о разра­ботке — кроме прочего — специальных математических аппаратов для описания и анализа актуально несуществующих или даже не­возможных миров); речь идет лишь о том, что соотношение эмпи­рического и (гармонического) априорного начал в той или иной мате­матической теории — это всегда вопрос более или менее свободного осознанного аксиологического и семантического выбора ее автора (авторов).

Каждое математическое изобретение (некоторый завершенный продукт математического творчества, ментально-инженерное ре­шение определенного назначения) может быть с исчерпывающей полнотой охарактеризовано как нетривиальный (в смысле но­визны и общественной полезности) синтез некоторого множества известных из уровня математики (а также вновь эмпирически най­денных или просто выдуманных — без оглядки на действитель­ность) математических объектов и/или закономерностей и фикси­рованного набора ментальных (в первую очередь аксиологических) регуляторов, выполняющих различные формальные и содержа­тельные функции. Эта трактовка полностью снимает проблему со­отношения эмпирического и априорного начал в математике.

Другими словами, математик-творец (шире — математическое сообщество в целом как совокупный субъект творчества), в доста­точно полной мере осознающий техническую природу своей науки, совершенно свободен в том, какие математические объек­ты (теории, аксиоматики, принципы, понятия, алгоритмы и т. д.),

131

созданные предшественниками, выбирать в качестве прототипов своих математических изобретений (и опираться ли на них вообще), а также в том, какие гносеологические эффекты (известные, вновь найденные эмпирическим путем или придуманные фор­мальные и количественные зависимости между произвольными объектами) и аксиологические нормы (в том числе системообразу­ющие критерии функциональности, истинности, строгости и т. д.) ему использовать в своей инновационной деятельности и в каком соотношении.

Вопрос лишь в уровне новизны и экзистенциальной эффек­тивности (реатьной общественной потребительской стоимости, ментатьной ценности) создаваемого им конечного продукта (ново­го инструмента математического мышления).

2. Осознание математики в качестве технической науки резко повышает гносеологический статус такой отрасли знания, как фи­лософия математики.

Это связано как с необходимостью создания в будущем специ­альных ментально-технических научных дисциплин, изучающих аксиологию (явно заданную или латентную) различных математических теорий, так и с грядущим появлением в математике таких новых сфер исследований, как метаонтологизация (схематизация и семантическая унификация математических объектов различной природы в целях использования их в качестве элементов и «узлов» более крупных математических объектов — теоретических и вы­числительных устройств различного назначения), метаабстрагирование (абстрагирование от некоторых конкретных свойств матема­тических объектов — понятий, вычислительных процедур, норм и т. д., рассматриваемых в качестве компонентов различных мате­матических теорий, вычислительных техник и т. д.) и метаидеализация (присвоение математическим объектам искусственно усилен­ных или модифицированных теоретических свойств, которыми они в принципе не могут обладать как элементы конкретных мате­матических теорий алгоритмов и т. д.).

Дело в том, что осознание математических теорий и вычисли­тельных систем (алгоритмов, методик и т. д.) различного назначения и уровня общности в качестве ментальных артефактов (техничес­ких ментальных объектов) резко повышает аксиологичность, вари­ативность и комбинаторный потенциал математического знания, позволяет осуществлять серийную модификацию и модернизацию исходных математических теорий и любых других формальных объектов, а также синтезировать принципиально новые математи­ческие аппараты с заранее заданными теоретическими и потреби­тельскими свойствами.

132

В качестве примера может быть приведена следующая аналогия. В первобытном обществе все жизненно важные операции произво­дились одним или несколькими инструментами (палкой, оббитыми кусками кремня и т. д.). Проблем с их классификацией, типологизацией, таксономизацией и т. д. у наших пращуров, естественно, не возникало на протяжении тысячелетий. С развитием материальной техники в последние столетия исторического процесса люди полу­чили в свое распоряжение сотни тысяч и миллионы материальных артефактов различного назначения и устройства, в совокупности существенно повысивших качество человеческого существования, но одновременно потребовавших специальных усилий человека по их классификации и взаимной гармонизации.

Потребность в осмыслении, упорядочении и развитии накоп­ленного многообразия технических устройств различного назначе­ния с необходимостью привела к появлению таких понятий, как принципиальная схема инженерного объекта, абстрактный (материально-)технический объект, идеальное (материально-)техническое ус­тройство и т. д., которые в настоящее время стали базовыми для многих ( материально-)технических наук, эффективно универсализи­руя разнородное (материально-техническое знание и экспоненци­ально ускоряя его расширенное воспроизводство и качественную эволюцию.

Нечто подобное ждет и математику по мере ее самоидентифи­кации в качестве (ментально-) технической науки. Пока математи­ка состояла из «четырех сосен»: арифметики, геометрии, алгебры и анализа (не считая мелких «кустарников»), особых проблем с (само)идентификацией и классификацией математических теорий не было. Но как только начнется процесс осознанной всесторон­ней аксиологизации математики и тотальной пантеоретической и пантехнологической комбинаторики различных математических устройств и технологий, потребность в понятиях типа принципиаль­ная инженерная схема математического объекта (теории, субтеории, метатеории и т. д.), абстрактная математическая теория (субтео­рия, метатеория), идеальная математическая теория (субтеория, метатеория) и т. д. резко возрастет.

Вопрос даже не в том, что число различных по своим аксиоло­гии и семантике математических теорий (или каких-либо других крупных единиц математического знания) будет измеряться миллионами и их нужно будет как-то сравнивать (в том числе по уровню гносеологической и экзистенциальной эффективности) и классифицировать.

Основной смысл метаонтологизации, метаабстрагирования и метаидеализации в математике состоит в возможности появления

133

полноценной инженерии математического знания, а также формали­зованных технологий частично или полностью автоматизированной разработки новых, все более эффективных в различных (заранее заданных) отношениях универсальных и глубоко специализиро­ванных инструментов математического мышления (интегрирован­ных единиц математического знания).

Как следствие прогрессирующей технизации математики с необходимостью возникнет и такое (кажущееся сегодня полной экзотикой, если не тавтологией) направление философско - и инженерно-математических исследований, как математизация мате­матики. Заранее оговоримся, что речь здесь не идет о том вырож­дающемся направлении математической мысли, которое сегодня называется метаматематикой и которое с исчерпывающей полно­той и строгостью можно определить как «искусство доказатель­ства недоказуемого - непротиворечивости противоречивого». Под математизацией математики в рамках излагаемой концепции понимается вполне рациональный процесс разработки математических моделей и формального проектирования математических теорий, пакетов вычислительных алгоритмов и других таксономических единиц математического знания, становящихся все более разно-функциональными, сложными и многоуровневыми искусственными ментальными устройствами.

Другими словами, технизация и обусловленная ею математи­зация математики позволят математическому сообществу в обо­зримом будущем перейти от дедуцирования отдельных теорем к метадедуцированию (формализованному или полностью формаль­ному выводу) нетривиальных и эффективных математических теорий, их разветвленных семейств, прикладных математических аппаратов недостижимого сегодня уровня сложности и эффектив­ности. А это — магистральный путь к искусственному интеллекту в самом высоком смысле данного понятия.

3. Технизация математики создает объективную возможность появления и ускоренного развития еще одной колоссальной по своему научному и общесоциальному значению сферы деятельнос­ти — сферы патентования математических изобретений любой природы и специфики.

В настоящее время экономика математического знания напо­минает театр абсурда: математики-творцы практически бесплатно или за мизерную академическую зарплату (включая унизительные «благотворительные» гранты) делают фундаментальные математи­ческие открытия, изобретают все новые теории и вычислительные алгоритмы, а математики-ремесленники без особого напряжения

134

и лишних угрызений совести используют все это в сюих приклад­ных программных продуктах, часто забывая даже упомянуть имена разработчиков, не говоря уже о материальных компенсациях, и по­лучают совершенно незаслуженные сверхприбыли.

Если провести аналогию с нормальной экономикой, то это выглядело бы следующим образом: заводы, занимающиеся произ­водством средств производства (станков, оснастки, базовых техно­логий, сырья, полуфабрикатов и т. д.), поставляют все это на рынок совершенно бесплатно, а предприятия, вырабатывающие предметы широкого потребления, забыв даже сказать «спасибо», включают все это в себестоимость продукции и продают собственные товары втридорога. Совершенно очевидно, что подобная экономика долго не просуществовала бы в силу быстрого полного свертывания про­изводства средств производства.

В математике же подобная ситуация — норма (благо, матема­тические теории не подлежат физическому износу, хотя и достаточ­но быстро устаревают морально). Легко видеть, что эта вопиющая несправедливость и иррациональность — главная причина много­вековой идейной стагнации оснований математики.

Создание эффективной международной системы патентования математических изобретений в рамках общего процесса техниза­ции математики в корне поменяло бы ситуацию. Появилась бы ре­альная моральная и материальная заинтересованность ученых-фундаменталистов разрабатывать принципиально новые отрасли математики и разнообразные математические устройства каче­ственно более высоких поколений, чтобы, эффективно контроли­руя использование созданного ими знания в прикладных целях и получая адекватное денежное вознаграждение, инвестировать за­тем заработанные средства в еще более перспективные исследова­ния и разработки по своему (а не спонсорскому) разумению.

Другими словами, создание системы патентования матема­тических изобретений могло бы стать реальным шагом на пути к индустриализации и непосредственной самоокупаемости фундаментальных исследований и разработок в математике и к экспо­ненциальному росту их качества. А это — основное условие необ­ходимого для «вертикального прогресса» математической науки опережающего развития фундаментальной математики по отноше­нию к прикладным математическим исследованиям и разработкам.

4. Грядущая технизация математики, с неизбежностью порож­дая взрывной рост количества взаимно альтернативных (как в ак­сиологическом, так и в семантическом смыслах) фундаментальных математических парадигм и металарадигм, объективно будет нуж-

135

даться и в принципиально новых сверхмощных инструментах ве­рификации и фальсификации истинности (экзистенциальной эф­фективности) вновь генерируемого экстремально разнообразного математического знания, не сводимых к традиционной дедукции и обычным математическим экспериментам.

Это означает, что в обозримом будущем важным инструмен­том ускоренного развития математики с высокой степенью вероят­ности станет разрабатываемый в рамках ТМО метааксиоматический метод (метод ментальных войн), позволяющий сравнивать и всесторонне оценивать различные (в том числе актуштьно несоиз­меримые) аксиоматики и метааксиоматики (включая аксиологи­ческие системы), лежащие в основаниях конкурирующих матема­тических теорий.

Основу метааксиоматического метода составляет идея, альтер­нативная ключевой интенции известного «парадокса бесконечного регресса», направленного на дезавуирование целесообразности метаизысканий в области обоснования критериев истинности знания в произвольной предметной области. Эта идея, условно называе­мая «принципом гармонического прогресса» (или, иначе, «принципом метапрогресса»), сводится к тезису о чрезвычайной гносеологичес­кой и — шире — экзистенциальной эффективности многоуровне­вых и многоитерационных обоснований все более общих критери­ев и метакритериев истинности (в первую очередь аксиологичес­кой адекватности) знания вообще и математического знания — в особенности.

На наш взгляд, именно специальным образом организованные полисубъектные будущие споры (ментальные войны) о наиболее экзистенциально эффективных критериях и метакритериях истин­ности математического знания, освобожденные от «дамоклова меча» парадокса бесконечного регресса, и станут переломной точкой, от­деляющей затянувшуюся на тысячелетия фазу «младенчества» ма­тематики от фазы ее цветущей «юности», в которой установится даже не представимый сегодня уровень творческой свободы.

В заключение важно отметить, что вышеизложенная в пре­дельно обших чертах идея технизации математики отнюдь не ис­черпывает концепцию «универсального искусствоведения», лежащую в основе ТМО. Параллельное развертывание контурно обрисован­ных выше на примере математики процессов осознанной техниза­ции ментальной деятельности в различных науках и искусствах может дать кумулятивный гносеологический и экзистенциальный эффект такой силы, что впору будет говорить о полной смене «ментальных миров» в голове каждого человека.

136

КОММЕНТАРИИ

С. Я. Бычков

Математики в большинстве своем не склонны к философской рефлексии по поводу своей науки. Пуанкаре, Д. Гиль­берта, Л. Брауэра, Г. Вейля, своей исключительностью лишь подтверждают общее правило. Вместе с тем, как от­мечал Л. Витгенштейн, ни в одном вероисповедании нет такого злоупотребления метафизическими выражениями, как в математике. Этот парадокс «бессознательного философствования» при искрен­нем отвращении к осознанной философской рефлексии и состав­ляет, на мой взгляд, одну из главных трудностей, осложняющих продвижение в решении проблем философии математики.

Если для математика путь к «метафизическим» вопросам его науки пролегает через сложности с обоснованием ее утверждений, будь это анализ, теория множеств или теория вероятностей, инте­рес философа к древнейшей из наук вызван обычно его собствен­ными — философскими — проблемами. В первом случае прикос­новение к философским вопросам математики не доводится до потребности выстраивания цельной мировоззренческой концепции, где математике отводится всего лишь одно из мест. Во втором случае ситуация иная: задача построения последовательного философского учения требует интерпретации в его рамках и такого уникального феномена, как теоретическая математика. Излишне говорить, что эти два подхода к философии математики могут приводить не только к гармонии, но и к конфронтации друг с другом. Диапазон иска­ний в современной философии, в том числе и в философии науки, гораздо шире возможных поисков ответов изнутри сферы основа­ний математики, что не может не вызывать напряжения в исследо­вательском поле.

О степени подобного напряжения в столь, казалось бы, дале­кой от жизненных страстей области, как философия математики, можно судить по статье «Ложные претензии социо­культурной философии науки» в сборнике «Стили в математике». В этом сборнике, контекст которого, на мой взгляд, лучше приспо­соблен для обсуждения комментируемой работы, нежели проблема «Математика и опыт», большинство авторов представляют первую из указанных позиций, обращаясь к философии лишь в той мере, которая требуется анализируемым аспектом математического зна­ния. Философская доминанта, подчиняющая себе методологичес­кий аспект математики и влекушая рассмотрение проблематики по схеме от «общего» (философия) к «частному» (математика), налицо только у трех авторов «Стилей»: упомянутого ,

137

и автора комментируемой работы . Позиция абсолютно бескомпромиссно заявлена уже в эпиграфе вышеназванной работы: «Мировоззрения могут спо­рить, но наука решает и ее решения несут на себе печать вечнос­ти». Эти слова раннего Гуссерля как нельзя лучше характеризуют общефилософскую позицию и самого Василия Яковлевича: фило­софия не должна ставить под сомнение достижения науки вообще и математики, в частности, она должна лишь прояснять их осново­положения, что самой науке без помощи философии не под силу. Позиции двух других авторов диаметрштьно противоположны.