Математика и опыт (стр. 34 )

Границы опыта 

Предположение, которым мы завершили предыдущий раздел, означает, что опыт не имеет границ. Однако наше описание опыта как происходящего в рамках круговой схемы взаимообмена

456

между тремя мирами все же достаточно определенно, чтобы не иметь вовсе никаких границ. Поэтому, даже включив в состав эмпирического знания базовые онтологические допущения, мы должны найти в предложенном описании нечто, не порождаемое в процессе упомянутого взаимообмена.

Поиск этот теперь не столь уж труден. Выяснив, как осуще­ствляется опыт и как возникают опытные знания, мы лишь долж­ны обратить внимание на это «как». Но именно этим мы, собственно, и занимались. Мы установили, что опыт осуществляется и форме круга и опытные знания возникают и существуют в виде пропозициональных содержаний интенциональных состояний. Поэтому круг и интенциональность уже не есть опыт, но рамки формы опыта. Вне этих форм опыт невозможен по той причине, что они составляют его определение. Мы можем говорить о раз­ных формах, которые порождаются опытом и сами существуют в виде пропозициональных содержаний (или системы пропозицио­нальных содержаний). Но эти две формы опытом не порождают­ся. По крайней мере эти две.

Последнее замечание связано прежде всего с тем, что исследование названных форм, предпринятое в данной работе, было недостаточно подробным. Даже на первый взгляд видно, что форма круга предполагает ряд последовательных действий, обладаю­щих собственными схемами. Эти схемы также должны стать неза­висимыми от опыта, поскольку составляют ту рамку, в которой опыт осуществляется. Среди схем, входящих в состав круга, следует, по-видимому, назвать различие и тождество, так как одним из основных действий оказывается сопоставление различных пропозициональных содержаний. Важной характеристикой всех указанных форм является то, что, будучи независимы от опыта, они, однако, никак не проявляют себя вне опыта. Бессмысленно искать их существующими где-то самими по себе. Их обнаружение требует определенного содержания.

Заключение

Я не предложу никаких решений, поскольку целью проведенного исследования был поиск общих определений опыта, однако есть надежда, что сама постановка вопроса о значении опыта для математики может стать также более определенной, если обратиться к терминам, разработанным нами сейчас. Поступив так, мы можем указать на следующие возможности.

Во-первых, математические знания могут целиком принадле­жать к третьему миру и представлять собой систему эмпиричес-

457

ких гипотез9. Во-вторых, они могут принадлежать первому миру, понимаемому в рамках платонических (или реалистических) он­тологических допущений. В-третьих, они могут быть вообще не знаниями, а формами, существующими независимо от опыта и его определяющими.

Мне представляется, что ни один из названных взглядов не может быть принят полностью. По-видимому, следует признать, что значительная часть математики обязана своим происхождени­ем опыту. Однако сам факт, что даже самые близкие к эмпирии области математики все же институализированы в качестве матема­тических дисциплин, а не числятся разделами каких-либо естествен­ных наук, заставляет усомниться в том, что все их пропозиции есть лишь эмпирические гипотезы. Главная сложность последо­вательного эмпиризма — принципиально иные формы обоснова­ния. Ни одно математическое суждение не будет принято, если и его пользу говорит лишь опыт. Иными словами, та форма суще­ствования опыта, которую мы здесь так подробно обсуждали, —  герменевтический круг — нерелевантна для математических истин. Тот факт, например, что нормальное распределение так хорошо описывает самые разные наблюдения, еще не доказывает цент­ральную предельную теорему. Равно как и отклонения от нор­мального закона не служат ее опровержением. Математические истины либо вовсе не являются индуктивными догадками, либо быстро теряют этот статус, превращаясь в доказанные теоремы.

Примечания

1  Как сказал бы .

2  Именно так понимал его (см.: Два отрывка о прин ципе непрерывности // Лейбниц .: В 4 т. М., 1982. Т. 1. С. 203— 214

3  Заесь мы касаемся довольно сложной темы. Утверждение о невозможносш опыта в рамках одного только второго мира входит в явное противоречие ( картезианским тезисом об абсолютной достоверности ego cogito. Несомненность тезиса «я существую» обосновывается беспредпосылочным характером интроспекции. Однако для любой интроспекции необходим по крайней мepе язык, который принадлежит третьему миру.

4  Сёрль Дж. Природа интенциональных состояний // Философия, логика, язык. М., 1987. С. 96-126.

5  Там же. С. 96.

6  В том числе и в платоническом первом мире. Обитающие там умопостигаемые сущности — отнюдь не гипотезы.

7   Человеческое познание. Киев, 1997. С. 72—74.

я  Здесь уместно вспомнить термин Сёрля «сеть интенциональных состояний» (Сёрль Дж. Указ. соч. С. 116).

9  Именно этот взгляд отстаивает, насколько я понимаю. в работе, публикуемой в настоящем сборнике.

458

КОММЕНТАРИИ

Взяв за основу своих рассуждений попперовскую концепцию тpex миров, поставил себя в трудное положение. К. Поппер никогда не сомневался, что отнести к первому, а что к третье­му миру. Анализ гораздо тоньше. Он совершенно справедливо отмечает, что первый мир не дается нам иначе, как в виде содержания наших о нем представлений. Представления интенциональны, т. е. полагают некое содержание вне себя (понятие интенциональности, вероятно, старше Сёрля), а первый мир дан нам как такое содержание, и никак иначе. В таком случае, если мы представляем идеальную окружность, то не видно четких оснований, как интенциональность мышления окружности отли­чить от интенциональности восприятия стула.

Фиксируя эту проблему, автор затем переводит вопрос о разли­чении первого и третьего миров в иную плоскость. Он указывает, что в движении мысли (по герменевтическому кругу «гипотеза — сопоставление с "фактами" — новая гипотеза») важную роль играют онтологические допущения. Именно они диктуют решение, что отнести к первому, а что к третьему миру. Здесь необходимо кое-что уточнить.

Не выдвигая собственных онтологических допущений, мы можем считать, что описание касается физиков классической эпохи и, может быть, еще кого-то, кто не выходит за рамки естественной установки (по Гуссерлю), когда интенциональное содержание мысли принимается мыслителем в качестве существующего объективно. Мы же, конечно, понимаем дело лучше, чем физик, поэтому данная модель не описывает нас самих и еще кое-кого, кто пребывает в установках, отличных от естественной (например, феноменологов). Можно описать развитие классической научной установки, в которой интенциональное содержание гипотезы устанавливается в ином модусе, а именно в модусе, точное определение которого таково (sic): интенциональное содержание гипотезы, находящейся к миру в отношении научной гипотезы, т. е. подлежащей уточнению, а возможно, и опроверже­нию и рамках научных процедур. Вполне возможно, что онтологические допущения этой установки вообще содержат внутреннее противоречие, поскольку быть интенциональным содержанием гипотезы не значит существовать, а иного существования установкой не предусмотрено. Я полагаю также, что если рискнет сформулировать свои собственные онтологические допущения, то скорее всего из его формулировки можно будет вывес-

459

ти парадокс, связанный с аутореференцией, следовательно, ему лучше обойтись вообще без онтологических допущений.

Именно на возможность «невозможных» онтологических допущений, а также и их отсутствия я и хотел указать. Если признать такую возможность, то, как мне кажется, концепция трех миров будет скорее сковывать дальнейшее движение, чем помогать ему.

Попытка прояснить понятие опыта в попперовском разделе­нии трех миров и в понятии герменевтического круга Гадамера сама по себе заслуживает внимания, однако, поскольку обе эти концепции имеют сугубо релятивистский характер, представляет­ся сомнительной их значимость для раскрытия места опыта в ма­тематике, В рамках этих концепций автор приходит к выводу, что при некотором более широком понимании опыта все элементы научного знания, включая принципы логики, математики и онто­логии, можно понять как возникшие на основе опыта. Априор­ными в этом случае остаются только самые фундаментальные схе­мы опыта, а именно, схема герменевитического круга и схема интенциональности как некоторые представления, входящие и определение опыта. Насколько можно понять, автор выдвигаем идею некоторого минимального психологического априоризма, которая в своих методологических следствиях ничем не отличает­ся от фундаментального эмпиризма Локка и Милля.

Эмпирическая теория познания абсолютизирует опытное ос­нование знания, пытаясь для всех типов утверждений обнаружить соответствующий им вид опыта. Ошибочность этой стратегии оче­видна. Нет никакого сомнения втом, что утверждения типа 2 + 2 = 4 не меняются в слоем смысле или в истинности на основе какого-либо опыта. То же самое относится к принципам логики и онто­логии. Дело в том, что эти принципы отражают не подразделения опыта, а универсальные установки сознания, проистекающие из его ориентации на деятельность. Мы должны понять, что первич­ным свойством опыта является его включенность в деятельность. а следовательно, и его подчиненность принципам, имеющим те­леологическую (праксеологическую) природу, Априорное знание в действительности существует в явно выраженных принципах, строго отделено от собственно эмпирического знания и должно рассматриваться как принадлежащее одновременно как к третье­му, так и к первому миру.

Автор признает, что герменевтическое понимание опыта не является достаточным для понимания статуса математических ут­верждений. Не ясно в таком случае, почему именно эта, явно

460

непригодная для понимания математического мышления концеп­ция опыта стала основным предметом его исследования. Мы ведь не находимся здесь на нулевом уровне: соображения о месте опы­та в математике, которые содержатся в работах Фреге, Пуанкаре, Гуссерля и Кассирера, с самого начала исходят из специфики ма­тематического мышления и являются, несомненно, более адек­ватной основой для современного обсуждения этого вопроса.

Я хочу прокомментировать последнее замечание , в котором он говорит о статусе математического знания. Применяя трехмировую модель Поппера, автор предлагает три варианта, ни один из которых он не находит вполне удовлетворительным: «Во-первых, математические знания могут целиком принадлежать к третьему миру и представлять собой систему эмпирических гипотез. Во-вторых, они могут принадлежать первому миру, понимаемому к рамках платонических (или реалистических) онтологических допу­щении. В-третьих, они могут быть вообще не знаниями, а формами, существующими независимо от опыта и его определяющими».

Первый мир Поппера — это мир физических объектов. Мож­но допустить, что этому миру в каком-то смысле принадлежат и математические объекты, например числа, но непонятно, как к лому миру могут принадлежать знания, в том числе и математичес­кие. Для знаний у Поппера предусмотрено совершенно определен­ное место, которое он называет третьим миром. Так что второй иприант, который предлагает . так же, как и третий, предполагает, что математика это не область знания, а что-то другое — физический объект или форма. Я не понимаю, что здесь имеется в виду. Как и любая другая дисциплина, математика — это социальный феномен: математикой можно заниматься, можно сдать экзамен по математике, послушать или прочитать лекцию но математике, написать или прочитать математичекую книгу. Но: математику нельзя положить в карман, как камень, а камень не может быть, в свою очередь, «математическим», хотя может быть круглым или плоским.

Поэтому из трех вариантов, рассматриваемых , остается только первый. Что действительно является проблемой, так это вопрос о том, можно ли считать математические знания эмпирическими наряду с физическими и биологическими. Если нет, то это значит, что попперовская трехмировая модель просто не­применима к математике и что если эта модель претендует на универсальность, ее надо каким-то образом скорректировать.

461

Я все же попытаюсь защитить в предложенных автором тер­минах тот взгляд, что математику можно в определенном смысле считать эмпирической наукой. Прежде всего я хочу заметить, что что-то очень похожее на верификацию и фальсификацию индук­тивных эмпирических гипотез происходит и в математике. Рас­смотрим известную проблему — есть ли среди простых чисел наи­большее. Перебирая натуральные числа одно за другим и выбирая среди них простые (посредством простой проверки), мы будем находить все большие простые числа. Можно выдвинуть индуктивную гипотезу о том, что так будет происходить всегда, что наибольшего простого числа не существует. Заметим, что ни это утверждение, ни его отрицание нельзя фальсифицировать указа­нием на какое-то конкретное число: предъявив число, можно сказать, простое оно или нет, но если оно простое, нельзя сказать, является ли оно наибольшим простым, поскольку для этого нужно было бы просмотреть весь остаток натурального ряда, что нсвозможно, поскольку этот ряд бесконечен. Тем не менее утверждение о существовании наибольшего простого числа (т. е. отрицание нашей индуктивной гипотезы) можно фальсифицировать с помощью известного рассуждения: предположив, что существует самое большое простое число Р, можно построить другое простое число, большее Р (перемножив все простые числа от 2 до Р включительно и прибавив к этому произведению 1), что абсурдно. В случае этой теоремы опыт вполне соответствует теории, поскольку от противного мы доказали именно нашу первоначальную индуктивную гипотезу. Если бы нам не были известны большие простые числа, то это дало бы повод сомневаться в доказательстве и пытаться найти в нем ошибку. Другая paспространенная в математике ситуация — опровержение утверждения с помощью контр-примера. Это буквально то, что Поппер называет фальсификацией общей гипотезы с помощью указания на единичный случай (на наш взгляд, Поппер, хотя и говорил об естественных науках, имел в виду, скорее, методы математики, пытаясь перенести их на естествознание). Я думаю, что, рассмотрев более сложные стуации, мы могли бы обнаружить и «круги опыта», о которых говорит . (Пример такого круга дает история любого математического понятия, например понятия функции.) Однако сложность состоит в том, что к математике кажется неприменимым обычное понятие опыта. Чтобы подтвердить или опровергнуть свою теорию, естествоиспытатель прибегает к наблюдению или эксперименту, смотрит на небо или строит экспериментальную установку. А что делает математик? Обращается ли к к опыту математик, чтобы подтвердить или опровергнуть свои гипотезы?

462

Математик производит мысленный эксперимент. Как и в фи­зическом эксперименте, в мысленном математическом эксперименте деятельность воображения и рассудка сочетаются с манипуляцией инешними предметами, однако в случае математического экспери­мента это обычно только средства письма и рисования. Я постара­юсь показать, что между физическим и математическим экспери­ментом все же нет принципиальной разницы.

Последний абзац приведенной выше цитаты из статьи я могу понять в том смысле, что предметом математики являются «формы, существующие независимо от опыта и его определяющие». Ранее в своей работе автор говорит: «Тот факт, что некоторая форма выступает в качестве условия опыта, вовсе не является свидетельством ее априорности. Всегда можно сказатъ, что существует иной, более широкий опыт». Я бы хотел уточ­нить, что этот более широкий опыт не является совершенно «иным» по отношению к тому частному опыту, условием которого выступает данная форма. Этот более широкий опыт представляет собой не что иное, как совокупность частных опытов, имеющих указан­ное отношение к данной форме. Приведем такую аналогию. По­коление людей в правовом сообществе регламентируется (и в этом смысле «определяется») законом и квалифицируется в принятых правовых терминах. Однако конкретная правовая система способ­на эффективно действовать (т. е. существовать продолжительное время) только в том случае, если большинство граждан выполняют законы. Если число нарушителей закона превышает некоторый критический порог, то правовая система рушится и сменяется хаосом, который потом может уступить место другой правовой систе­ме. В этом смысле правовая система, т. е. форма нормативного социального поведения, зависит от совокупного поведения граждан. Хотя поведение отдельного человека, за редкими исключе­ниями, не способно повлиять на правовую систему, когерентное поведение групп или всего сообщества оказывает на правовую систему непосредственное влияние. В конце концов сама правовая система представляет собой именно нормативную форму жиз­ни сообщества. Заметим еше, что, помимо поддержания правовой системы в неизменном состоянии и ее разрушения, существует также возможность реформы правовой системы под действием из­менений в поведении людей.

Я думаю, что с формами, которые являются условиями естественно-научного опыта, дело обстоит подобным образом. На­пример, числа являются весьма общими формами естественного человеческого опыта: три человека, три камня и т. д. имеют одну и ту же форму «три», когда мы их пересчитываем. Отталкиваясь от такого рода естественных форм, люди сами придают вещам формы

463

чисел (или создают веши такой формы) — вводят единицы изме­рения, создают алфавиты. С появлением компьютеров масштабы такой «оцифровки» действительности многократно возросли. Од­нако пифагорейцам не обязательно было доказывать существова­ние несоизмеримых величин, чтобы понять, что пересчет не всегда возможен: невозможно пересчитать, например, волны на море - по той простой причине, что непонятно, где и когда кончается одна волна и начинается другая. Поскольку у нас есть опыт наблюдения тел и манипуляции с телами, мы можем всегда пытаться перенести формы такого опыта, а именно числа, в новую ситуа­цию, т. е. подчинить новый опыт старому условию, но такая по­пытка может оказаться только частично успешной или вовсе не­успешной, как в приведенном выше примере. Представим себе теперь мир, в котором вообще нет тел и в котором ничего нельзя пересчитать (в том числе и себе подобных): идея числа не имела бы в таком мире никакого применения и вряд ли могла возникнуть. Впрочем, вероятно, что знания и сознания тоже не могли бы существовать в таком мире. И тем не менее представить непересчитываемый мир мы вполне в состоянии, так же как и наблюдать непересчитываемые фрагменты нашего собственного мира и манипулировать с такими фрагментами.

  Поскольку опыт манипуляции с телами является повсеместным, не обязательно прибегать к нему всякий раз для того, чтобы говорить о числах. Натуральный ряд — это пример того, как простая базовая структура может порождать очень сложные структуры высших порядков. Эти сложные структуры и изучает соответствующий раздел математики. Можно ли сказать, что это делается на основе опыта? Я думаю, что да. Как и физический зксперимент, математическое рассуждение (построение, эксперимент) должно быть воспроизводимо при разных условиях разными людьми. Как физические, так и математические эксперименты — это искусственные события, однако эти искусственные события позволяют многое узнать о событиях, происходящих без участия человека («узнать» означает как раз включить эти последние события в круг возможного человеческого опыта).

Если речь идет о рутинных экспериментах — в естествознании или математике, — то внешние формы опыта могут считаться фиксированными: физик может пользоваться готовой математикой для построения моделей, а математик — готовой логикой для доказательств. Однако история показывает, что новые физические теории часто требуют новой математики, а новая математики, в свою очередь, требует новой логики. Более того, я думаю, что кантианское различение формы и содержания опыта, которого придерживается , слишком упрощает ситуацию в ма-

464

тематике и естествознании, несмотря на предлагаемую автором модернизацию, связанную с идеей иерархии форм и опытов. Пред­ставляется, что в математике и естествознании иерархия форм представляет собой, скорее, непрерывный континуум, в котором одни формы устойчивее, чем другие, однако никакая форма не является строго фиксированной (это касается как структуры тео­рий, так и структуры предметных областей теорий).

Интересно, что при этом формы нижнего уровня могут быть устойчивей форм высшего уровня: мы можем не только описы­вать одними и теми же математическими средствами разные вещи, но и можем описывать одни и те же вещи разными математическими средствами (при этом под вещами нужно понимать факты, зафиксированные на некотором языке наблюдения низкого уров­ня). Можно не только смотреть на разные ситуации одними и теми же глазами, но и смотреть разными глазами на одну и ту же ситуацию. Это имеет аналогию как в природе, так и в человеческом обществе: формы социального устройства могут сохраняться на протяжении многих поколений, однако индивид способен пере­жить смену формы социального устройства; форма биологического вида устойчивее, чем форма (т. е. жизнь) отдельной особи, однако химические атомы, из которых состоят особи, устойчивее, чем ли особи (хотя особи устойчивей органических молекул). Поэто­му, кстати, старый онтологический спор о том, что «первичнее» — форма или содержание, кажется, не может быть решен опреде­ленным образом: это бывает по-разному  в различных случаях.

Что касается формы круга, которую автор выдвигает в каче­стве фундаментальной формы опыта, независмой от содержания какого бы то ни было опыта, то мне кажется, что здесь тоже воз­можны альтернативные стратегии с более сложной топологией. Можно, например, выдвинуть сразу несколько начальных  незави­симых гипотез для понимания одной и той же ситуации, так что каждой из этих гипотез будет соответствовать свой круг, причем ни круги будут склеены в точке, соответствующей разбираемой  ситуации. Другая вариация на тему круга получится, если каждую промежуточную гипотезу подвергать дополнительному истолкова­нию: тогда мы получим произведение двух кругов, т. е. тор (таким же образом можно получить тор любой размерности). Если выста­вить в качестве методологического требования необходимость на каком-то этапе предъявить окончательный результат (это может быть связано, например, с тем, что допустимое время исследова­ния ситуации ограничено временем существования этой ситуа­ции), то мы получим некоторое многообразие с краем, которое уже ни в каком смысле невозможно свести к комбинации кругов. (Кстати, фундаментальная топологическая теорема о том, что край

  465

любого многообразия — это многообразие без края, можно истол­ковать в том смысле, что окончательный результат исследования будет устойчивым вне зависимости от топологической сложности исследовательской стратегии.) При этом очевидно, что выбор той или иной стратегии зависит именно от содержания: дополнитель­ный круг истолкования может быть необходим в одних случаях и ненужным в других, некоторые вопросы можно дискутировать бес­конечно долго, другие требуют быстрого принятия решения и т. д.

ОТВЕТ АВТОРА

В комментарии содержится очень точное наблю­дение о месте гипотезы в математике. Однако логическая структу­ра фальсификации и верификации тех гипотез, о которых идеч речь в статье, существенно иная, чем математических гипотез. В первом случае гипотеза отвергается или не отвергается после сопоставления прогноза с наблюдением, а во втором — она принимается или отвергается после доказательства. Ставшая теоремой (т. е. доказанная) математическая гипотеза должна быть с необходимостью принята в рамках тех условий (аксиоматики и правю вывода), при которых она доказана. Эмпирическая же гипотеза никогда не может быть принята с необходимостью в рамках тех  условий, при которых она верифицируется. С необходимостью она может быть лишь опровергнута. Так что математические теоремы и эмпирические гипотезы имеют заведомо различный логический статус.

По поводу аргументов, приводимых в пользу эмпирического происхождения арифметики, могу сказать лишь, что меня смущает их безоговорочный реализм. Рассуждение строится так, будто мы знаем, каков на самом деле мир, и наша задача состоит лишь в объяснении того, как в таком мире возникают представления о числах. Дело, однако, осложняется тем, что чис­ла составляют ту рамку, в пределах которой строится наше знание о мире. Мы едва ли в состоянии представить себе мир, в котором ничего не исчисляется. Пример текучей среды, в которой отсутствуют твердые предметы, по-моему, малоубедителен. Такую сре - ду можно делить на куски, измерять и взвешивать. Более того, у нас, по-видимому, нет иного способа строить рассуждение.

В ответ на замечание о том, что исследованные в работе формы мышления нерелевантны  математике, хочу лишь обратить внимание на основную задачу своего исследоин ния. Она состояла в определении понятия опыта и уточнении формулировки проблемы о соотношении математики и опыта. Рассмотрение фигуры круга служило именно для такого определения.

466

Последующей (нерешенной в рамках данной работы) зада­чей может стать выяснение того, подходит ли математическое знание под разработанное понятие опыта, а если да, то в какой мере. Следует, однако, заметить, что сама форма герменевтичес­кого круга все же весьма значима для математики и должна быть, на мой взгляд, более активно использована в философии мате­матики. Объясняется это тем, что значимой частью математи­ческого мышления является интерпретация одним математиком результатов, полученных другими. Гуссерль в «Началах геомет­рии» назвал эту деятельность «реактивацией смысла».

В ответ на комментарий замечу, что я не риск­ну формулировать собственные онтологические допущения, по­скольку философское исследование должно быть лишь рефлек­сией по их поводу. Не исключено, что, рассуждая в таком ключе, придется отказаться от всякой онтологии. В таком случае, ко­нечно, концепция трех миров — в ее попперовском варианте — оказывается просто неприемлемой. Тем не менее выделение трех взаимосвязанных сфер, отчасти напоминающих упомянутые три мира, может оказаться полезным именно при исследовании (раз­личных, возможных) онтологических допущений. С другой сто­роны, я вполне отдаю себе отчет в опасности, скрывающейся за демонстративным отказом от онтологических допущений. Они могут возникнуть в рассуждении как его предпосылки, остав­шись совершенно незамеченными автором.

ГЕГЕЛЕВСКАЯ КОНСТРУКЦИЯ ПРОТИВОРЕЧИЯ

В КОНТЕКСТЕ ПРОБЛЕМЫ

«МАТЕМАТИКА И ОПЫТ»

У нас с вами есть над чем задуматься

и голову поломать. Всякое незначительное

слово имеет, так сказать, свое таинствен-

­ное... ээ... недоумение!..

Тонкость, что твоя математика!

. Свадьба

Постановка задачи

В этой статье речь пойдет об интерпретации гегелевской конструкции противоречия1 в «Науке логики» в связи с проблемой «Математика и опыт».

467

Надо признать, что Гегель не в фаворе у математиков: пред­ставляется, что строгость и ясность математических построении диаметрально противоположны запуганным («темным») диалектическим выводам Гегеля, которые до сих пор на некоторых критически настроенных мыслителей производят впечатление софистических вывертов2.

Если говорить о гегелевской философии математики в узком смысле слова, т. е. об его диалектическом анализе математических понятий, то скорее всего этот предмет представляет только истори­ческий интерес — уж очень сильно со времен Гегеля изменилась математика. Но современный математик может найти интересное для себя не в собственно математических экскурсах Гегеля, а в его диалектических конструкциях. Многие из этих конструкций могут быть осмыслены только средствами современной математики. Так, открывается связь «Учения о сущности» с теорией моделей, «Учения о понятии» — с теорией категорий. Чрезвычайно интересной была бы математическая рефлексия над гегелевской кои цепцией случайного.

В этой работе предпринята попытка обоснования следующе­го тезиса: математика и опыт связаны друг с другом через противоречие — опыт «врывается» в математику через противоречие, и обратно, осознать свои противоречия математика может только через опыт.

Мы настаиваем на неакадемическом термине «врывается». В мир кристальных математических построений, казалось бы, незыбле­мых, врывается (а не мягко входит) меональная стихия опыта:

  ...воды вдруг

Втекли в подземные подвалы.

К решеткам хлынули каналы, 

И всплыл Петрополь как тритон

По пояс в воду погружен

Весьма близким сформулированному выше тезису является следующая мысль Лосева касательно аристотелевской «Топики»: «Аристотель — ...гораздо глубже и шире, чем Платон, — пользуется принципом текучей и непостоянной материи, заставляющим его, кроме абсолютно аподиктических умозаключений, вводим, еще и такие, которые он называет по преимуществу диалектическими, основанными на привлечении посторонних для силлогизма и бесконечно разнообразных по своему качеству предметов или инстанций, именуемых у него "топосами". Такие топосы, врываясь в аподиктический силлогизм, разрушают его формально не опровержимую истинность и превращают его в материальную и чист жизненную вероятность или в правдоподобие, в то, что Аристотель называет энтимемой» (выделено мной. — А. Б.) 3.

468

Помимо сформулированного выше основного вывода мы вы-миннем в ходе анализа гегелевской конструкции один феномен сознания, который называем условно теоретико-групповым мышлением. Этот стиль мышления, как мы увидим, проявляет себя отнюдь не только в понятийной форме, хотя именно в его рамках  возникает рассудочное мышление как противовес мышлению дианетическому. Теоретико-групповой стиль имеет и весьма близкое касательство к феноменологии если, под последней понимать анализ некоего чистого смысла, зафиксированной идеальной предметности..

Достаточно сложной в рамках предпринимаемого исследования оказывается сама трактовка термина «опыт». Однако соответстиующие разъяснения целесообразно отложить до того момента, когда будет дан подробный анализ самой диалектической конструкции противоречия в «Науке логики». Тогда термин «опыт» естествененно встраивается в эту конструкцию и освещается ею. Пока ограничимся некритическим, интуитивным пониманием этого имена.

Рассуждая о противоречии в рамках гегелевской системы, нужно разграничить два аспекта: 1) противоречие как главный конструктивный принцип диалектики Гегеля в целом; 2) противоречие как одна из категорий, которая в ряду прочих выводится (диалектически конструируется) в «Учении о сущности».

Здссь нас будет интересовать главным образом второй аспект, хотя егo нельзя полностью отделить от первого и по ходу рассуждений нам придется касаться и его. В то же время мы хотели бы

воздержаться от сколько-нибудь развернутого комментария по поводу общей проблемы противоречия в диалектике вообще и гегелевской, в частности, а также соотношения диалектики и формальной ЛОГИКИ 4.

«Опыт бытия» и «опыт действительности»

Категория противоречия возникает в «Учении о сущности» в разделе, посвященном так называемым рефлективным определениям. Эта категория есть узловой пункт в процессе самопознания и саморазвёртывания Идеи на ее пути от бытия к действительности.

Тот путь, который Идея проходит «один раз», вне времени и Пространства, «до сотворения природы и какого бы то ни было конечного духа»5, мы, простые смертные, повторяем многократно, дробя, рассеивая, затемняя и искажая Божественный первообраз. Более того, оставаясь вне спекулятивного мышления6, доже не понимаем структуры Божественного Логоса7. Но тем не менее спонтанно действуем так, словно подражаем ему. Тогда профанную проекцию упомянутого выше священного пути Идеи8

469

мы могли бы назвать путем человеческого познания от «опыта бытия» к «опыту действительности».

Что же такое «опыт бытия» и «опыт действительности»?

«Опыт бытия» — это путь от «непосредственного» (скорее, кажущегося непосредственным) наблюдения качественного мно­гообразия к числу — к счету и измерению.

«Опыт действительности» — это путь, начинающийся погру­жением в сущность, осознанием «внутреннего схематизма» бы­тия, происхождения бытия, того, чем было бытие9, с последующей попыткой воспроизвести его в создании вещей, являя их, вводя их тем самым в действительность как абсолютно прозрачную взаимо­связь явлений. Логика сущности — логика этого опыта, логика произведения, сотворения, «техно-логика» (если иметь в виду древ­негреческое слово techne). Надо сказать, что эта эстетическая сто­рона «Учения о сущности» часто недооценивается10. Между тем анализ ключевой в данном контексте категории явления показы­вает, что явление есть именно творение, оно, так сказать, экспо­нировано изнутри сущности, выведено из рефлексии вовне. Явление — это совершенное существование (2, с. 111, 134), энтелехия существования11. Это последнее тогда, если угодно, есть эскиз явления. Но существование есть первое восстановление бытия из сущности12; не тень бытия в сущности как видимость, а нечто телесное, про-из-веденное из рефлексии сущности. Конечно, не нужно забывать о том, что в «Логике» мы имеем дело не с вещами эмпирической действительности13, не с физическим их деланием. а с их самих и их делания умными прообразами.

Надо отдавать отчет и в том, что оба указанных выше «опыта» имеют место до возникновения понятия. Интерпретация бытия в сфере сущности носит технологический характер14. Конечно, подражая Абсолютной Идее в нашем профанном человеческом познании, мы никогда не имеем в чистом виде ни «опыта бытия», ни «опыта действительности»: наше бытие есть уже весьма разветвленно истолкованная и вербализованная действительность, тем самым уже выраженная в определенных понятийных системах; но и та действительность, к которой мы приходим в результате технологических актов, никогда не дается нам как полностью прозрачная и осознанная. «Допонятийность» указанных двух опытов можно трактовать, скорее, как отсутствие рефлексии по поводу самой рефлексии, отсутствие «метарефлексии» (или саморефлексии). Вступая в сферу понятия, мы вступаем в сферу мышления о мышлении, в сферу интеллигенции15.

Здесь нужны дополнительные разъяснения. Гегель в «Философии духа» ассоциирует с движением сознания от наблюдении к закону рассудочное мышление16. Рассудочное понятие есть понятие

470

«-себе, тогда как спекулятивное понятие есть понятие для-себя. В «Малой логике» сказано также: «Сущность есть понятие как положенное понятие; в сфере сущности определения суть лишь относительные, но еще не рефлектированные в себя самое; поэто­му понятие здесь не есть еще для себя»17. Положенность здесь (как и всюду у Гегеля) означает обусловленность чем-то, зависимость от чего-то, отношение к чему-то иному. И далее: «Эта (труднейшая) часть логики [т. е. «Учение о сущности»] содержит преиму­щественно категории метафизики и наук вообще как порождения рефлектирующего рассудка, который берет различия как самосто­ятельные и вместе с тем также признает их относительность; но, ставя эти мысли рядом или друг за другом, он связывает их лишь посредством слова также, не объединяя их в понятии»18. Тем са­мым сущность может быть полнее охарактеризована как техноло­гически-рассудочная сфера.