Математика и опыт (стр. 37 )

47 Мефистофель говорит Фаусту (при первом своем посещении):

...derm alles, was ensteht.

 1st wert, daB es zugrunde geht;

 Drum bеsser  war's, daB nichls enstunde.

(«...ибо все, что появилось [наличествует], достойно гибели; ради лучшего бытия чтобы исчезло возникшее».)

Пастернака ярок, но тонкий философский смысл исчезает:

Нет в мире вещи, стоящей пощады,

Творенье не годится никуда.

Здесь, как нам кажется, есть ассоциации с Гегелем. Мефистофельское nicht, как приговор всему возникшему — это именно то «ничто, произносимое отож­дествляющей речью», о котором пишет Гегель, определяя различие. Это «ничто» произносится Мефистофелем, как моментом в фаустовском, и последнее, со­зидательное начало представлено в словах «drum besser war's». Кроме того, слова zugrunde geht употребляются Гегелем дальше в смысле «исчезнуть в ос­новании» (при разрешении противоречия).

48 Бытие и время. § 65. 66, 81. Надо заметить, что в самой идее топологического пространства, в понятиях окрестности, расстояния, предела содержится идея протяженности, даже если речь идет о топологическом пространстве размер­ности нуль и меры нуль (как канторов дисконтинуум
) как бы «точке». Если Лосевское множество как эйдос предполагает начало единства, как число — начало движения, то как топос — именно начало протяжения.

49ЭФН. Т. 1, § 115. С. 271.

50 Absolutus — в данном случае: самостоятельный, независимый, свободный, нео­бусловленный, отрешенный, отделенный (ср.: Указ. соч. С. 40, 55).

51 Но совершенное общество (правда, где оно?) снимает противоречие между лич­ностью («я») и обществом («мы»). Заметим при этом, что даже в самом гордом протесте личности и ее борьбе с «холодными, жестокими идолами морали долга» (С. Франк) она максимально раскрывается как социальное существо.

52 Бытие и время, вторая гл. Термин «падение» употреблен также по ассоциации с Хайдеггером (там же. § 38).

53 1 Кор,

54 Важно заметить, что термины самостоятельность и несамостоятельность правильнее понимать не как «предикаты», а как выражение способов бытия «сущ­ностных качеств» (Wesenheiten). Тогда и противоречие есть не конъюнкция взаимоисключающих предикатов, а выражение способа бытия — поистине онтологическая характеристика «идеального бытия в сфере сущности». Имен­но такое понимание противоречия отстаивал (в рамках материалистической Диалектики) .

55 То есть обусловленность иным, зависимость от иного (А. Б.).

497

56 Так как исключая свое иное, оно зависит от него, полагагается им (А. Б.).

57 Так добро, исключая зло, делается злом для зла и, тем самым, становится причастным злу как таковому (А. Б.).

58 О музыкальной форме как системе снятых эйдосов см.: Музыка как предмет логики // Лосев . Стиль. Выражение. М., 1995. С. 488, 494.I

59 Это утверждение, скандальное для платонизма, совершенно оправдано в гегелевской философии. Даже Бог как творец не самодостаточен, пока не обретет себя через человека: «Человек, уведавший Бога, познал, что познанная им божественность есть «его собственная природа» и ему открывается, что не он «познал» Бога, а Бог в нем познал сам себя» ( Указ. соч, С. 274).

60 Картезианские размышления, IV, § 34 // Логические исследования. Картезианские размышления. Минск; М., 2000. С. 410.

61 Указ. Соч. С. 122-123.

62 Интересный анализ внутренних противоречий математических теорий содержится в работе: , Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории множеств // Историко-математические исследования. Сер. 2. ВыиМ., 2000. С. 290-300.

63 Что такое диалектика? // Вопросы философии. 1995. N° I. С. 118—138.

64 Ф. Работы разных лет: В 2 т. М., 1970. Т, I. С. 265.

65 H. A. Бердяев писал, что «без заднего фона хаоса нет красоты космоса» (См.: О рабстве и свободе человека // Бердяев Духа и царство кесаря. М., 1995. С. 147.

66 Даже если противоречие есть следствие логической ошибки, оно как правило, обнаруживается через опыт, который в данном случае есть «исполнение» созданной теории перед некоторым коллективом или перед самим автором, который должен быть полностью отчужден от своего детища.

С другой стороны, если даже вполне красивая «нефальсифицируемая тeopия (К. Поппер) пребывает в своей гордой замкнутости, она, невостребованная опытом, гибнет, разрушается, как дом, в котором никто не живет.

67 ЭФН. Т. 1. § 117. С. 274.

68 B. C. Библер отметил, что закон противоречия вступает в противоречие с законом достаточного основания, т. е. формально-логический вывод соединяет априори совершенно разные вещи, о которых после построения вывода (например, после найденного математического доказательства) мы можем сказать: «Это одно и то же!» (см.: Бuблep B.C. Что есть философия? (Очередное возвращение к исходному вопросу) // Вопросы философии.  1995. №1. С. 159-183.

69 Хотя этот процесс не развертывается во времени!

70 Обратим внимание на теоретико-групповую, как раз в терминах движений, порожденных некоторой симметрической группой (группой параллельных переносов трехмерного евклидова пространства), иллюстрацию самого Гегеля: «Если пройден час пути на восток и точно такой же путь обратно на запад, то путь на запад снимает пройденный вначале путь... Вместе с тем час пути на восток сам по себе не есть положительный путь, как и путь на запад — отрицательный; эти направления безразличны к данной определенности противоположности; лишь нечто третье — имеющееся вне их отношение — делает одно из этих направлений положительным, а другое — отрицательным» (2, с. 52). В этом фрагменте содержится типичное теоретико-групповое предположение: если мы прошли (в некоем пространстве) какой-то путь из пункта А в пункт Б, то мы можем вернуться из Б в А, в точности повторив первый переход, но в обратном порядке.

71 То есть каждый элемент g группы G> действующей на множестве М, осуществляет «синхронный» сдвиг всех элементов множества М.

72 То есть можно задать сдвиг как на элемент g e G, так и на обратный к нему элемент g-1.

498

73 Мазель J1.A. Проблемы классической гармонии. М., 1976. С. 76.

74Там же. С. 77. См. также: Раздумья об историческом месте творчествa Шостаковича // Статьи и материалы. М., 1976. С. 61.

75 Закат Европы (т. 1: «Образ и действительность»). Новосибирск, 1993. С. 369.

76 См.: Математическая мифология и пангеометризм // Стили в математике. Социокультурная философия математики. СПб., 1999. С, 139—161.

77 Бытие и время. С. 362.

78 Ср. с термином Хайдеггера: «до-конца-продумывание» (Бытие и время. С. 424).

79 Анализ гегелевского противоречия позволяет понять мысль о бренности идеального. Об этом писал Л. Шестов: «...идеальные сущности, с их надвременным и потому как бы вечным бытием, — самые преходящие, самые бренные сущности* ( Memento mori // Философия как строгая ииука. Новочеркасск, 1994. С. 32).

80 По-видимому, именно это обстоятельство делает вполне вероятным прогноз относительно противоречий математических теорий, который сформулирован в указанной выше работе и : *Не придется ли теории множеств смириться с наличием «сильных» противоречии (при отсутствии нарушений «слабого» закона тождества), как многими веками ра­нее с ними смирилась философия?»

КОММЕНТАРИИ

Ключевое положение комментируемой работы заключается, на мой взгляд, в интерпретации научного опыта как философски осмысленной истории становления теории (включая сюда работу по переустройству ее оснований). Подобное понимание существенно отличается от кантовского понимания опыта как осуществляе­мого отдельным индивидом. Даже если этот индивид наделяется чертами трансцендентального субъекта, все равно он не способен в одиночку — «здесь и сейчас» — воспроизвести весь ход рассуждений, приведший научную мысль прошедших веков к наличному ее состоянию. Именно этот момент, на мой взгляд, составляет основную трудность для понимания представленной в данной работе позиции. Но прежде чем привести дополнительные аргументы в поддержку указанного положения, целесообразно сделать несколько предварительных замечаний по поводу выбранного в работе способа изложения гегелевской конструкции противоречия.

Автор в существенной степени использует неоплатоническую интерпретацию гегелевских построений, наиболее ярко представленную в XX столетии в работах . Эта интерпретация не тождественна подходу самого Гегеля, но этот «минус», с формальной историко-философской точки зрения, имеет, на мой взгляд, существенные «плюсы» в контексте обсуждаемой специальной проблемы. Дело в том, что «неоплатоническая версия» геге-

499

левской диалектики, по-моему, ближе для представителя матема­тического естествознания, поскольку античный неоплатонизм сам теснейшим образом был связан с современным ему математическим знанием. Кроме того, на сегодняшний момент он представляет единственную реальную альтернативу (на это обстоятельство фактически указывает Р. Фейнман в своем курсе лекций) «канти­анскому» объяснению Гельмгольца возможности описания бла­гозвучных музыкальных интервалов при помощи первых чисел натурального ряда.

О сложности заявленной темы говорит хотя бы то обстоятель­ство, что единственная, насколько мне известно, серьезная попытка установить взаимопонимание между математиком и философом-диалектиком по вопросам, обсуждаемым в работе (речь идет о и ), не привела к серьезным результатам: слишком далеко в историческом плане отстоят друг от друга диалектический и формально-дедуктивный способы мышления. Для того чтобы эта попытка оказалась более удачной, следует, на мой взгляд, дополнить логическую аргументацию автора в пользу правомерности гегелевской интерпретации противоречия исторической. Заодно станет более понятной и недостаточность кантовского представления о соотношении математики и опыта.

Аристотель формулирует закон противоречия, опираясь на представление о вещах, существующих безотносительно к чему бы то ни было (Метафизика, 1007 а 20 — b 18). Подобные «веши» сущности — находятся в уме-перводвигателе (Метафизика, 1010 а 15—34), само существование которого обосновывается Стагиритом при помощи ссылки на особенность теоретических наук, у которых предмет знания совпадает со знанием (Метафизика, 1074 bа I). С другой стороны, доступными одной лишь мысли объекты теории могли первыми стать только в геометрии (см.: Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб., I999. С. 301—302). Теоретическая же геометрия возникает впервые в VI—IV вв. до н. э. в Греции как рефлексия над практической геометрией египтян. В кантовском представлении, описанном во Введении в «Критике чистого разума», подобного рода рефлексия выглядит как индивидуальный психологический акт гения-геометра. В действительности же абстрагирование египетской геометрии произошло не в голове Фалеса, Пифагора или другого ученого, а в «теле» самой древнегреческой цивилизации, оказавшейся не в состоянии применять чужие технические сведения на практике (см.: Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические исследования. Сер. 2. ВыпМ, 2001 С. 277-284). 

500

Дедуктивная геометрия, в которой абсолютизируется закон противоречия, оказывается, таким образом, не соответствующей природе математики как таковой, а «положенной» (в гегелевском смысле) внешним по отношению к ней историческим процессом.

Данный подход позволяет рассматривать исторический про­цесс возникновения теоретической геометрии как не менее важ­ный, нежели готовая совокупность результатов, зафиксированных н виде дедуктивной непротиворечивой теории.

ОТВЕТ АВТОРА

Я очень признателен Сергею Николаевичу за его содержа­тельный историко-математический экскурс, подтверждающий необходимость диалектического анализа математических форма­лизмов. Диалектику и следует считать логикой истории, логикой становления и метаморфоз, логикой Временности (в хайдеггеровском смысле). Известен афоризм Гете: «Учение о форме есть учение о превращении». Но какая же наука должна описывать превращения математических формализмов — не в их эмпирически-исторических исследованиях, а именно в логике их генезиса, становления и гибели? Математика сама принципиально не может справиться с этой задачей, она не в состоянии описать свое собственное ста­новление. Это может сделать диалектика, ибо она дает динамичес­кую систему понятий, сопряженных и порождающих друг друга в некоей смысловой горизонтали. Но чтобы быть совершенной формой мысли, диалектика должна иметь торможение в своих категори­альных моментах, она должна отдать на откуп формальной логике как аналитике зафиксированной идеальной предметности точную проработку смысловой вертикали — спуск от эйдоса к факту. И, между прочим, именно в претензиях формальной логики быть абсолютной логикой как раз и проявляется (и нормально, необходимо проявляется, не может не проявляться) диалектическое противоречие, по Гегелю, — именно как самостоятельность в силу несамостоятельности. Хотел бы еще раз подчеркнуть, что так понимаемое противоречие — его можно назвать противоречием обреченности на метаморфозу — никак не глупое приписывание двух взаимоисключающих предикатов некоторому субъекту, а способ бытия опреде­ленной системы мышления и познания.

И еще один момент. Комментатор совершенно справедливо подчеркивает чуждость гегелевской диалектики трансцендентализ­му в разных его вариантах (от Канта до Гуссерля). Но трансцен­дентальная позиция, в определенных условиях и моментах совершенно неизбежная, не дана абсолютно, а как-то возникает, хотя

501

мы и сознаем свою «абсолютную» захваченность ею, что выразил Хайдеггер в понятии Dasein. Собственно, пафос «Бытия и времени» и есть пафос попытки разгадать тайну Dasein, тайну «вброшенности» в Dasein: «Почему вообще есть сущее, а не наоборот – ничто?». Опираясь на Гегеля, мы могли бы сказать, что трансцендентальная установка возникает в фазе внешней рефлексии, как раз именно в фазе торможения, задержки, epoche (в буквальном, а не и гуссерлевском смысле!), на анализе «чистого смысла». Можно упрекать Гегеля в догматизме, в том, что он не решает на самом деле трансцендентальную проблему, а догматически декларирует ее решение, полагая тождество субъекта и объекта, и в этих упреках много справедливого. Но, отбрасывая, «деконструируя» гегелевский догматизм, мы не можем не видеть плодотворности его динамической категориальной системы, анализ которой помог бы прояснить многие проблемы, связанные с обоснованием частных наук.

   _____________

А В. Родин

ИДЕЯ ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ

Введение

Математические идеи оказывают огромное влияние не только на естественные науки, но и на человеческое мышление в целом, в том числе и на практическое мышление. При этом часто оказывается, что математические конструкции, которые кажутся свободными творениями человеческого ума и фантазии, очень быстро находят применение в естественных науках и технике. Вигнер назвал этот феномен, указывающий на неразрывную — xотя и неочевидную и часто совершенно неожиданную — связь математики и опыта «непостижимой эффективностью математики в естественных науках»1. Какова природа этой связи? На наш взгляд, объяснение этой загадки состоит в том, что математика укоренена в опыте с самого начала, т. е. что фундаментальные математические понятия (например, понятие числа) имеют эмпирический характер. Такая укорененность означает, что вне опыта эти понятия не имели бы никакого смысла, были бы совершенно непонятны, т. е. не были бы понятиями. Представим себе совершенно хаотический мир (можно подумать о пламени), в котором ничего нельзя сосчитать, который совершенно меняется каждое мгновение, в котором нет памяти и в котором нельзя выделить никаких «штук» и «разов». В таком мире понятие числа не имело бы никакого смысла и, значит, не могла бы существовать арифметика. Гельм-

502

гольц достаточно убедительно показал, что евклидова геометрия основана на нашем опыте твердых тел: в жидком мире такая гео­метрия бессмысленна2. Если допустить, что математические по­нятия имеют эмпирическую природу, то «непостижимая эффективность математики» не покажется такой непостижимой, посколь­ку это будет означать, что математическая теория связана с миром опыта всегда и везде, а не только в те особые моменты, когда эта теория «применяется» в какой-либо эмпирической области. Воп­рос о специфике такого «применения» является важным и требует внимательного разбора. Однако, на наш взгляд, было бы совер­шенно неправомерно предполагать, что эти «применения» состав­ляют единственный способ контакта математики с миром опыта. Этот вывод покажется тем более убедительным, если принять во внимание то обстоятельство, что сами математические теории очень чисто формируются под влиянием конкретных практических задач (например, землемерных и пр.) «Непостижимая эффектив­ность математики» состоит в том, что эти теории обычно имеют гораздо более широкое значение, в том числе и в смысле возмож­ных практических применений, чем решение той практической задачи (или того класса практических задач), с которой эта теория первоначально могла быть связана.

Одно из основных возражений против эмпирического характера математических понятий связано с именем Канта, который считает математику априорной. Априорность математики не означает, что она не связана или слабо связана с опытом. Априорность математики означает, что сам опыт подчиняется математическим законам, которые поэтому должны в каком-то смысле предшествовать опыту — если не генетически, то логически. Аргумент Канта основан на следующем соображении: всякий опыт конечен и относителен, а математика претендует на необходимость своих выводов, т. е. на то, что ее утверждения истинны всегда и везде. Например, мы можем всю жизнь складывать спички и все же ни­когда таким образом не докажем наверняка, что, взяв два раза по две спички, мы получим четыре спички, поэтому, согласно Кантy, 2x2 = 4 — это априорная истина, которую мы только обнаруживаем с помощью спичек, которые дают нам эмпирический ма­териал, чтобы эту истину обнаружить. Конечно, кажется нелепым считать 2 х 2 = 4 индуктивной гипотезой вроде гипотезы все лебеди белые, поскольку нетрудно представить себе черного лебедя, даже если такого и не доводилось видеть, а вот можно ли придать нетривиальный смысл утверждению 2x2 = 5 — это по меньшей мере не очевидно (и можно допустить, что это вообще невозможно сделать). Тем не менее, нет достаточных оснований понимать необходимость математических выводов так, как это делает Кант —

503

в абсолютном и вневременном смысле. Конечно, математические теории не меняются так же быстро, как наши чувственные впечатления, однако нет ничего нелепого в утверждении, что они возникают, изменяются и исчезают в пространстве и времени наряду с людьми, лебедями, книгами, языками, городами и традициями. Кажется, со времени Канта идея вечной истины сильно утратила популярность, и, напротив, возникло понимание того, что изменчивость науки является такой же фундаментальной, как и изменчивость мира. (Более того — это уже наша гипотеза, которую здесь невозможно развивать подробно, — эту динамику совершенно не обязательно понимать в смысле бесконечного приближения к вечной истине, пользуясь, по сути, тем же геометрическим образом, который мог иметь ввиду Платон, думая о гончаре, пытающемся сделать тарелку как можно более круглой. Конечно идея бесконечного приближения знания к вечной истине делает само знание если и не вечным, то по крайней мере долгосрочным или даже «бессрочным» проектом. Однако это не единственным способ, которым можно обеспечить такую бессрочность. Кроме того, определенная «устойчивость», которой, по-видимому, должно обладать всякое знание, не обязательно предполагает неизменность и отсутствие всякой динамики.) Если же отказаться от идеи о том, что корректные математические рассуждения должны быть необходимыми в абсолютном и вневременном смысле, то вывод Канта об априорном характере математики лишается убедительности.

Вопрос о внутренней геометрии, который мы рассмотрим ниже, имеет к кантовскому априоризму особое отношение (на что указывали многие, в частности Рейхенбах3). Кант считает пространство априорной формой, определяемой геометрией этого пространства (естественно думать, что Кант имел в виду евклидову геометрию). Внутренний подход, впервые предложенный Гауссом4, состоит, грубо говоря, в том, что пространство как целое вообще не является данным и определенным, а вместо этого рассматривается движущийся наблюдатель, который на основании локальных измерений и наблюдений делает выводы о том, в каком пространстве он находится и какова геометрия этого пространства. Кажется заманчивым считать эту конструкцию моделирующей ту ситуацию, в которой на самом деле находятся исследователи реального пространства, геометрия которого, таким образом, оказывается эмпирическим фактом о мире. Мы увидим, однако, что ситуация на самом деле не такая простая и что конструкции, используемые при внутреннем подходе в геометрии, обязательно также предполагают и некоторое внешнее заранее заданное пространство. Тем не менее нет необходимости вслед за Кантом счи-

504

тать геометрию этого внешнего пространства фиксированной и жестко связанной с нашим рассудком — гораздо естественнее думать о ней как о гипотезе, которая может быть заменена на другую, если это позволит построить лучшую теорию.   

История про плоскатиков

Представим себе нарисованных на листе бумаги плоскатиков — плоских человечков, которым дана способность двигаться в пределах этого листа. Допустим, что тела плоскатиков (как и наши тела в нашем мире) непроницаемы друг для друга (т. е. они не могут смешиваться наподобие жидкостей), и, подобно нашим телам, они могут хотя бы приблизительно сохранять свою форму. Что бы мы почувствовали, если бы оказались на месте плоскатиков, и что бы мы смогли узнать о своем мире? Двигаясь по прямой (из любого места в любом направлении), плоскатик дойдет до края листа и так узнает, что его мир имеет границу. Двигаясь вдоль границы и не поворачивая назад, он в какой-то момент поймет, что проходит один и тот же путь многократно (если он умеет идентифицировать свое  местоположение и обладает памятью).

История становится более интересной, когда мир плоскатиков перестает быть плоским, хотя и остается двумерным. Предположим, что плоскатик нарисован на поверхности шара. Тогда, двигаясь постоянно в одном и том же направлении, он не обнаружит границы, но опять в какой-то момент наткнется на собственные следы. Возможны и более сложные эксперименты. Предположим, что, начиная движение вперед из А, плоскатик в какой-то момент возвращается в А. После этого плоскатик поворачивает, например, направо и опять идет прямо, пока снова не окажется в А (в третий раз). Если плоскатик нарисован на шаре, он по дороге в А непременно еще раз наткнется на свои старые следы. Если же он нарисован на торе (поверхности бублика), то этого может не произойти. Так, путешествуя, плоскатики могут многое узнать о своем мире (рис. I)5.

intersection

starting paint

Рис. 1

505

Эта история была придумана Эдвином Эбботтом в 1882 г. и названа автором «многомерным романсом» (Flatland: A Romanсе of Many Dimensions)6. Однако, как представляется, самое интересное в этой истории — это не идея многомерного пространства. Аналогичные эксперименты могли бы производить существа, живущие в пространствах любого числа измерений, например, живущие на линиях или живущие в трехмерных пространствах вроде нашего. Самой важной для нас в рассказанной истории яатяетгя та идея, что на некоторый геометрический объект можно посмотреть не извне и не «ниоткуда», как этому учат в школе, когда рассказывают про треугольники, круги, шары, пирамиды и т. д а изнутри, представив себе, что данный объект является для нас миром, в котором мы живем. В этом и состоит идея внутренней геометрии.

Попробуем проанализировать рассказанную историю подробнее. Как уже говорилось, предположение о том, что плоскатики живут в мире двух измерений, не существенно (по крайней мере для наших настоящих целей). Важными мне представляются cледующие три обстоятельства.

1) Главный герой истории — это Наблюдатель, Перспектива, Точка Зрения или Я. (Математически это — локальная система координат; см. пункты 2 и 3 ниже.) Чтобы понять смысл рассказанной истории, необходимо отождествить себя с одним из плоскатиков, встать на точку зрения плоскатика. Однако важно одновременно сохранить и «обычную» точку зрения, которая по отношению к плоскому миру является внешней точкой зрения всевидящего ока. Мы видим шар, по поверхности которого ползают плоскатики, и заранее знаем, куда и как они могут доползти, и одновременно мы пытаемся поставить себя на место плоскатики спрашивая, как много из того, что уже знаем мы о плоском мире (например, что этот мир представляет собой сферу), сможет узнать плоскатик, не подозревающий о том, что такое третье измерение. Другими словами, чтобы понять рассказанную историю, нужно не просто встать на внутреннюю точку зрения, но надо научиться свободно переходить от внутренней точки зрения к внешней и наоборот7. Разумеется, все, что касается внешней точки зрения, относится к внешней, а не к внутренней геометрии. Но это значит только то, что идея внутренней геометрии не существует сама ми себе. Идея состоит не просто в том, что вводится какая-то новая геометрия, а в том, что проводится различие между внутренней и внешней геометрией. Внешняя геометрия — это геометрии пространства, в котором находятся лист бумаги, сфера, тор или любая другая поверхность, на которой живут плоскатики8. Kcтати, это обстоятельство объясняет, почему идею внутренней геометрии

506

легче всего иллюстрировать именно на примере двумерного мира. Причина состоит в том, что в качестве внешней в этом случае можно взять «обычную» (евклидову) геометрию трехмерного пространства, которую мы привычно считаем геометрией нашего повседневного мира. Кроме того, если иметь в виду метрические свойства, то случай минимальной размерности, когда такие свой­ства могут оказаться внутренними, т. е. не зависящими от внешне­го пространства и способа вложения внутреннего пространства во внешнее — это как раз случай, когда внутреннее пространство является поверхностью: все линии в метрическом смысле эквива­лентны прямой линии и «форма» линии полностью определяется способом ее вложения во внешнее пространство9. Однако если иметь в виду более простые и более фундаментальные топологические свойства, то это не так: окружность или любая линия с самопе­ресечениями топологически не эквивалентна прямой. (Топологи­ческие свойства более фундаментальны, чем метрические в том смысле, что всякая метрика индуцирует топологию, но не всякая топология метризуема.) Исторически же идея внутренней геомет­рии была предложена Гауссом именно в связи с метрическими свойствами поверхностей и развита Риманом10 в связи с метри­ческими свойствами пространств произвольного количества из­мерений. Переход от метрических свойств к топологическим заставляет также отказаться от идеи Римана о том, что внутренняя геометрия является сугубо локальной, т. е. действующей только в некоторой бесконечно малой окрестности. Топологические свой­ства пространства являются одновременно глобальными и, как мы видели, внутренними. Каким образом внутренний подход связан с локальностью, мы подробнее проанализируем в следующих пунктах.

2) Различие между внешней и внутренней точкой зрения со­стоит не только в том, что внешний наблюдатель наблюдает извнe, а внутренний — изнутри. Существенный момент состоит и в том, что внешний наблюдатель неподвижен, а внутренний дви­жется. Как мы видели из приведенных примеров, узнать что-то о своем мире внутренний наблюдатель может только путешествуя, а не просто созерцая свой мир изнутри. Внешнему же наблюдателю достаточно чистого созерцания. Хотя мы на самом деле не можем посмотреть на шар одновременно со всех сторон и увидеть всю поверхность шара сразу, обычная стереометрия абстрагируется от этого обстоятельства: считают, что шар вместе со своей поверхно­стью целиком дан в пространстве. Заметим также, что внутренний наблюдатель обязательно должен обладать памятью — в противном случае он ничего не сможет извлечь из своих путешествий, поскольку у него не останется от них никаких воспоминаний. На

507

самом деле память необходима внутреннему наблюдателю и во время путешествия, иначе он не сможет вспомнить, проходил ли он через данную местность раньше или же оказался там впервые; натолкнувшись на собственные следы, он не сможет вспомнить, что это именно его следы, и т. д. Внешнему же наблюдателю па­мять, вообще говоря, не нужна, поскольку в единственный мо­мент времени он видит сразу все, что вообще способен увидеть. Говоря другими словами, время, движение и память существенным образом участвуют во внутренних наблюдениях и не участвуют н наблюдениях внешних11.

Кроме того, в приведенных примерах существенно, чтобы наблюдатель был пробным и его наблюдения воспроизводились при некоторой вариации начальных условий. Так, мы можем yтверждать, что, совершив кругосветное путешествие, Магеллан доказал шарообразность земли, только имея в виду, что каждый че­ловек в принципе может совершить кругосветное путешествие, причем не обязательно повторяя путь Магеллана в деталях. Если бы кругосветное путешествие Магеллана оставалось уникальным событием, сам его факт еще ничего не говорил бы о топологии земной поверхности.

Идея движения в римановой геометрии может быть реализована двояко. Во-первых, с помощью «метода подвижного репера» В этом случае «точка зрения» означает математически некоторую (локальную) систему координат, которая предполагается движущейся, т. е. сохраняющей свою идентичность в различных положениях в пространстве. Задача состоит в том, чтобы описать это движение, не прибегая к фиксированной внешней системе координат. Покажем, как это делается в простейшем случае кривой на поверхности. Представим себе, что кривая описывается движущейся точкой О. Пусть l — длина дуги кривой, пройденной точкой на данный момент времени. Для удобства мы будем отсчитывать время по длине пройденного пути. Тогда скорость движении О v = v(l) будет по модулю равна 1 и направлена по касательной к траектории, а ускорение k(l) = dv/dl будет всегда перпендикулярно к скорости. Модуль |k| называют кривизной, а обратную величину R = 1/k — радиусом кривизны кривой в данной точке. Если теперь взять единичный вектор скорости v(l) и единичный перпендикуляр к нему п в качестве движущейся прямоугольной системы координат (подвижного репера), то будут верны формулы Френе, которые показывают как движется репер: dv/dl=kn и dn/dl = -kv. Поскольку модуль v не меняется, можно также записать |dφ/dl| = k. т. е. кривизна — это скорость поворота репера (тогда как скорость его движения вдоль кривой постоянна и равна по модулю | v | = 1). Заметим, что указанный метод позволяет судить не о внутренней

508

геометрии кривой, а о внутренней геометрии поверхности, на которой лежит кривая (поскольку понятия касательной и норма­ли к кривой имеют смысл только по отношению к объемлющему пространству). Пусть наша кривая — окружность. После того, как касательная, образующая одну из осей подвижного репера, совпадет с исходным положением, вектор нормали может тоже оказаться либо в исходном состоянии, либо направленным в про­тивоположную сторону. Если поверхность — цилиндр, будет реализован первый случай, если поверхность — лист Мебиуса, то может быть реализован второй.

Альтернативный подход на самом деле идет несколько враз­рез с историей о плоскатиках. Вместо того чтобы предполагать наблюдателя, движущегося в неподвижном объемлющем пространстве (которое ни в какой момент не видно все целиком), здесь предполагают множество неподвижных (относительно неподвиж­ного пространства) наблюдателей и ставится вопрос о том, каким образом они могут «коммуницировать» по поводу наблюдаемого. Формально такой переход дается просто: никто не мешает в предыдущем примере говорить не об одном репере, движущемся вдоль кривой, а о множестве реперов, имеющих начала в разных точках кривой. В следующем пункте мы покажем, что принципиальным моментом является то, что эти моментальные наблюдатели не взаимозаменимы, поскольку каждый из них наблюдает только неко­торую область пространства (обычно предполагаемую бесконечно малой) и ни один не наблюдает все пространство целиком.

Новая формулировка позволяет более естественно поставить вопpoc об объекте, т. е. о том, что, собственно, наблюдается. Заметим, что в предыдущем примере этот вопрос напрямую не ставился. Объективным мы называем то, что в каком-то важном смысле не зависит от той особенной точки зрения, под которой данная вещь рассматривается. Объект — это объективная вещь. Объектом в нашем случае могла бы быть такая вещь В, которая одинаково (с точностью до некоторого фиксированного преобразования П) наблюдается всеми моментальными наблюдателями. Кроме того, нужно, очевидно, предположить, что преобразование П нс зависит от конкретного В, а годится по крайней мере для некоторого широкого класса объектов. (Традиционная точка зрения состоит в том, что такое П единственно и характеризует геометрию пространства, которая предполагается фиксированной. Если пространство предполагается евклидовым, то П — это движения, сохраня­ющие евклидову метрику.)

Поясним сказанное на примере. В качестве примера объекта возьмем письменный стол. С разных сторон он выглядит, конеч­но, по-разному. Однако изменения видимого образа стола в зави-

509

симости от позиции наблюдателя подчиняются законам перепективы, которые не зависят от этого конкретного стола: если вместо стола рассматривать стул, эти законы останутся теми же. На самом деле этот бытовой пример сложнее, чем та ситуация, о которой мы говорим, поскольку стол ни из какой позиции не бываем виден весь целиком. Чтобы упростить этот пример, мы могли бы вместо стола взять нарисованный мелом на доске круг, которым можно видеть целиком (хотя физиология зрительного восприятия говорит, что одновременность восприятия и в этом случае является, так сказать, вторичной, тогда как в действительности наши глаза «сканируют» всякий объект по частям и только затем из полученной информации в нашем мозгy конструируется некая целая картина). Интересно, что не существует примера объекта, который в действительности был бы виден сразу всем возможным наблюдателям: любой объект виден невооруженным глазом только с близкого расстояния, и, хотя возможности зрения можно увеличить за счет технических средств, понятия объективности и объекта, очевидно, не предполагают, что все люди на земле (а именно их, по всей видимости, и нужно считать потенциальными наблюдателями) одновременно сосредоточивают свое внимание на одной и той же вещи. Эти понятия предполагают другое: не то, что все люди действительно одновременно видят то же самое (с точностью до некоторого преобразования, например задаваемого законами перспективы), а то, что любые два человека могут увидеть то же самое, если правильно посмотрят, в простейшем случае — если займут одну и ту же позицию. Таким образом, пространственно-временная модальность заменяется в идее научной объективности на модальность возможности. Это поднимает целый комплекс проблем, который здесь рассматривать неуместно. Ограничимся пока тем, что объективное положение вещей не зависит от частной перспективы, в которой рассматривается ситуация. В более формальном смысле такая независимость означает инвариантность относительно преобразований координат. Впрочем, такая формализация сразу требует уточнений — какие именно системы координат считать допустимыми и инвариантность относительно какой группы преобразований следует иметь в виду. Важная часть истории физики состоит как раз в попытках давать на эти вопроси различные ответы: например, ньютоновская механика выделяет в качестве класса допустимых систем отсчета инерииальные системы и в качестве допустимой группы преобразований берет галилееву группу; в специальной теории относительности галилеева группа заменяется на лоренцеву; в общей теории относительности ситуация уже меняется более глубоким образом, о чем сейчас и пойдет речь.