Математика и опыт (стр. 11 )

интерпретирует математику как воспроизводимый посредством социальных эстафет механизм, состоящий в подража­нии образцам мыслительной деятельности. В рамках этой концепции прекрасно объясняется указанный ранее парадокс бессознательного философствования математиков, объясняющий поразительную не­восприимчивость математиков к изменчивой философской моде и заранее вероятное прохладное отношение их к комментируемой концепции математики как технической науки. Все, что исходит из внешних по отношении к математике целей, a priori рассматривается математиками с подозрением. Можно себе пред­ставить, каких усилий стоило Кантору и его сторонникам сломать прежнюю парадигму математического знания и поставить на ее место теоретико-множественную идеологию. Без встречного дви­жения со стороны математики, в рамках которой зрели задачи, тре­бующие понятийного аппарата теории множеств, этого бы никогда не произошло и авторитет Гильберта сам по себе был бы здесь бессилен. Постараемся, однако, имея все это в виду, вычленить «имманентно-математическую» часть концепции .

Хорошо это или нет (см. выступления и С. П. Но­викова), но на сегодняшний день теоретико-множественная па­радигма является господствующей в математике. Брауэра и конструктивизм и Э. Бишопа не состав­ляют сколько-нибудь серьезной альтернативы теоретико-множе­ственной математике. Теория множеств в ее «наивном» варианте рассматривает свои объекты как завершенные, «непополняемые» образования и при этом не ставит под сомнение абсолютный ха­рактер закона противоречия. Обнаружение парадоксов в наивной теории множеств повлекло ограничения на способы конструирова­ния множеств в соответствующих аксиоматиках, а также проблематизировало закон противоречия: для наличия уверенности в его выполнении необходимо было доказать непротиворечивость сис­темы аксиом, что, правда, так и не удалось сделать. Недоказанность непротиворечивости аксиом теории множеств не означала вместе с

 138

тем, что закон противоречия ставится иод сомнение. Просто мате­матики свыклись с мыслью, что использование представлений тео­рии множеств в классических разделах математики не приводит к противоречиям, и этого оказалось вполне достаточно для успеш­ного функционирования их науки в XX в. Можно сказать, что современная математика взяла из теории множеств ровно столько, сколько сочла полезным, а все «метафизические» ее проблемы, волновавшие математиков вплоть до разрешения П. Коэном кон­тинуум-гипотезы, постепенно отошли на задний план. Тем не ме­нее в рамках этого прагматического самоограничения ни «актуаль­ность» объектов математики, ни закон противоречия не ставились под сомнение.

Теперь самое время сказать, на что именно обратил внимание в своих работах , оставаясь в рамках двух вышеназ­ванных «аксиом» современной математики. Ему посчастливилось заметить, что диагональная процедура Кантора, не ставящаяся под сомнение современной математикой (ее отрицание повлекло бы пересмотр всех систем аксиом теории множеств), несовместима с непротиворечивой трактовкой актуальной бесконечности. Это не затрагивает классические разделы математики, но оказывается до­вольно болезненным для теоретико-множественной теории алгорит­мов, где «диагональные рассуждения» играют весьма важную роль.

Канторовская диагональная процедура содержит одновременно рассуждения в духе «логического настоящего» и «логического буду­щего», а последние, как нетрудно усмотреть непредубежденным взглядом, несовместимы с представлением о завершенном характе­ре объектов математики. Если теперь встать твердо на позицию противопоставления актуальной бесконечности потенциальной (а Кантор пытался это делать), то тогда станет очевидным «потен­циал истский» характер понятия взаимно-однозначного соответствия множеств, возникнут трудности с непротиворечивым пониманием арифметики, геометрии и анализа. А это, в свою очередь, дает ав­тору основание для взгляда на математику как на «техническую» (в смысле «теории ментальных объектов») науку, не отличающую­ся резко от естественных и технических наук.

Я не утверждаю, что рассуждения Вадима Кармленовича не могут быть подвергнуты критике с точки зрения иных сугубо фило­софских постулатов (говорить об этом в сборнике по философии математики было бы не вполне целесообразно). Но все известные мне попытки возражений ставят под сомнение одновременно и существующую саморефлексию современной математики, опи­рающуюся на «актуальность» ее объектов и закон противоречия. Единственный приходящий мне на ум способ не «затрагивать» со-

139

держание основных построений математики в свете рассуждений состоит в том, чтобы избавиться в ней от доказа­тельств от противного (или по крайней мере привести их к виду, использующему лишь более слабый, нежели закон противоречия, закон контрапозиции, допускающий корректные выводы и в слу­чае «глобальной» противоречивости математической теории).

Я хорошо представляю, насколько странными должны казать­ся для современного математика рассуждения в работах ­росяна, где последовательно проводится критика существующей математики с позиции недопустимости потенциальной бесконеч­ности в строгих логических рассуждениях. Однако мне кажется, что они не более странны, чем аналогичные рассуждения Г. Кантора для математиков XIX в., многие из которых превратились сегодня в рутину.   

высказал довольно большое число радикаль­ных тезисов, с которыми я не могу согласиться. Почему в мате­матике должен начаться некоторый процесс глобальной аксиологизации, когда математики и без того всегда проводили различие между принципами, формулами, доказательствами и т. п. с точки зрения их ценности в теории и в приложениях? Почему мы долж­ны включать в понятие истинности некоторые ценностные ха­рактеристики и даже делать их основными? Давно выяснено, что соединение истинности и полезности искажает гносеологическое понятие истинности. На каком основании мы должны отождеств­лять теоретические науки с техническими? В некоторых аспектах аналогия между математической теорией и техническим устрой­ством полезна и неоднократно использовалась в методологичес­ких рассуждениях, но, по большому счету, мы всегда отличаем теоретическое знание, направленное на прояснение принципов, описывающих объективное состояние дел, от технического зна­ния, использующего эти принципы для практически реализуемых процедур. Если в технической науке мы полностью определены критериями ценности и эффективности, то в сфере теоретическо­го знания эти критерии имеют только косвенное значение. Раз­витие математической теории остановилось бы, если бы оно было подчинено принципу непосредственной эффективности, который действует в отношении технических устройств. Совершенно неяс­ны также и основания критики объективности теоретических принципов. Прежде чем использовать натуральный ряд, мы долж­ны принять его как некоторую структуру, имеющую объективное

 140

значение, независимое от области приложения. Причем следует подчеркнуть, что мы ни в какой степени не изобретаем натураль­ный ряд и возможности человеческого произвола здесь равны нулю.

Трудно принять также и предложенное автором переосмысле­ние понятия априорного знания. Введение нового понятия пред­полагает достаточно ясные дефиниции и пояснения на примерах. Поскольку ни того ни другого в тексте нет, то трудно говорить о качестве нового определения самого по себе. Здесь, однако, можно принять общую рекомендацию автора и встать на ценностную точ­ку зрения, т. е. задать вопрос: зачем это нужно? Нужно ли новое определение априорного, общность которого с историческим априорным состоит только в названии? Ни Поппер, ни кто-либо дру­гой из релятивистов XX в., коль скоро они последовательно наста­ивали на относительности всех принципов и оценок, не пытались ввести новое понятие априорного. Они доказывали, что априорно­го знания как знания необходимого и универсального не существу­ет, и не пытались строить каких-то его релятивистских аналогов. И эти философы поступали правильно, ибо они хорошо осознава­ли, что никто не будет использовать понятие априорного знания в смысле чего-то совершенно относительного, т. е. в явном противо­речии с его традиционным истолкованием. Очевидно также, что это новое понятие, как бы мы его ни определили, ни на шаг не приблизит нас к решению дилеммы априорного и эмпирического, поскольку сама эта дилемма получает смысл только при традици­онном разделении этих понятий. Решение этой дилеммы может состоять либо в безупречном обосновании гносеологического ре­лятивизма типа попперовского (в философии математики это подходы И. Лакатоса, М. Клайна и др.), либо в обосновании существо­вания априорных (универсальных и необходимых) принципов в структуре человеческого знания. в соответствии с его общим настроем мог бы попытаться продвинуться в дальней­шем обосновании математического релятивизма или в опроверже­нии аргументов, на которых строятся доводы современных априо-ристов. Ни того, ни другого в приведенных рассуждениях нет и, таким образом, их трудно считать каким-либо продвижением к истине. Намеченное в тексте новое определение априорного зна­ния в логическом плане, конечно, ничему не противоречит (мы имеем множество определений истины, свободы, культуры и т. п.), но очевидно, что само по себе оно никуда не ведет, ибо в филосо­фии математики нас пока интересует вопрос о существовании (или несуществовании) априорного знания в его традиционном, кан-товском смысле.

141

ОТВЕТ АВТОРА

В своем комментарии на мою статью Василий Яковлевич выска­зал довольно большое число не менее радикальных, чем я, тезисов, с которыми мне согласиться не менее трудно, чем ему с моими. Рассмотрим эти тезисы поцитатно, дабы избежать обвинений в не­верной интерпретации.

1. : «Почему в математике должен начаться не­который процесс глобальной аксиологизации, когда математики и без того всегда проводили различие между принципами, формула­ми, доказательствами и т. п. с точки зрения их ценности в теории и в приложениях? Почему мы должны включать в понятие истинно­сти некоторые ценностные характеристики и даже делать их ос­новными?»

Если абстрагироваться от декларированного в моей статье те­зиса, что осознанная многоуровневая аксиологизация математики повлечет за собой экспоненциальный рост качественного разнооб­разия и гносеологической эффективности математического знания (хотя это само по себе чрезвычайно важно), то аксиологизация математики необходима уже для того, чтобы некоторая — одна — аксиология не имела статуса «общематематической инквизиции» и не пыталась «укладывать» аксиологически и содержательно альтер­нативные математические теории в «прокрустово ложе» насквозь самопротиворечивой классической математической традиции.

Другими словами, «различие между принципами, формулами, доказательствами и т. п. с точки зрения их ценности в теории и в приложениях» можно проводить в самых различных аксиологичес­ких системах и с совершенно непредсказуемыми (в том числе пря­мо противоположными) результатами. Попытки же обеспечить веч­ное и полное доминирование какой-либо одной (априорной, универ­сальной и т. д.) математической аксиологии рано или поздно будут пресечены самим фактом существования в сфере математики науч­ных сообществ, исповедующих взаимно альтернативные аксиологические установки.

Отсюда не следует, что различные аксиологические парадигмы несоизмеримы и равноценны (в том числе равно истинны). Ска­занное означает лишь, что о математических ценностях можно и нужно спорить (для этого мною предлагается механизм инновационной войны) и что ни одна аксиологическая парадигма не должна иметь априорного приоритета над другими. Современная матема­тика, разумеется, пока весьма далека от принятия такого подхода.

2. : «Давно выяснено, что соединение истиннос­ти и полезности искажает гносеологическое понятие истинности».

142

Отрадно, что для все уже «давно выяснено». О себе, к сожалению, такого сказать не могу. В частности, абсо­лютно не уверен не только в том, что «соединение истинности и полезности искажает гносеологическое понятие истинности», но даже в том, что в современной обшей гносеологии существуют кор­ректные определения таких понятий, как «истина», «полезность» и т. д. Напротив, я убежден в том, что многовековое царствование в математике и гносеологии в целом печально известного «парадокса бесконечного регресса», тотально блокировавшего все попытки поиска и сравнения метаоснований (метакритериев) истинности, полезности, ценности, определенности, непротиворечивости, осмысленности и т. п. метапредикатов, привело к состоянию, когда современные представления о названных материях ни на йоту качественно не продвинулись со времен античности и пребывают во вполне первобытной ментальной ипостаси.

3.  : «На каком основании мы должны отож­дествлять теоретические науки с техническими?»

На том основании, что все теории (без ограничения общности) и так являются ментальными артефактами определенного класса гносеологической эффективности, т. е. искусственно созданными людьми (весьма маломощными — пока — по своей познавательной силе) инструментами мышления (ментальными устройствами и технологиями). Если отбросить тезис об априорности некоторых классичес­ких математических теорий в кантовском смысле, т. е. утверждение их абсолютности (универсальности, всеобщности, беспредпосылочности и т. д.) и богоданности, этот факт станет самоочевидным.

Кроме того, само понятие «теория» имеет, на мой взгляд, весь­ма субъективный и исторически ограниченный характер. В рамках «неотехницистского подхода» легко мыслимы и другие — принци­пиально новые — формы организации знания, многократно превосходящие по своей гносеологической эффективности те весьма примитивные по своей конституции ментальные объекты, которые мы сегодня называем теориями. Поэтому, если «теоретические на­уки» готовы окончательно выродиться и умереть, но «не посту­паться принципами», параллельно с ними (и вместо них) рано или поздно будут возникать и развиваться многократно более гносео­логически и экзистенциально эффективные научные, метанаучные и постнаучные (мета - и посттеоретические) дисциплины неотехни­цистской ориентации, не имеющие к первым никакого отношения.

4.  : «Развитие математической теории остановилось бы, если бы оно было подчинено принципу непосредствен­ной эффективности, который действует в отношении технических устройств».

143

Я утверждаю, что развитие математики уже давно — еще в античности — «остановилось» в смысле перехода к новому ка­честву, что, кстати, косвенно подтверждает и сам , столь ревностно отстаивая тезис об априорности (универсальности и всеобщности, т. е. принципиальной инвариантности, необрати­мой «заторможенности») оснований классического математического знания. И «остановка» эта обусловлена именно искусственной стаг­нацией базовых аксиологических норм, де-факто запрещающих раз­витие принципиально новых математических устройств и технологий (не путать с экспоненциальным экстенсивным ростом дедуктивного знания в рамках достигнутого в античности качества). Поэтому слышать тезис о том, что технизация математики (по определению, основанная на идее непрерывной смены поколений различных по своему качеству ментальных устройств и технологий) повлечет «остановку» ее развития, довольно странно. Это сильно напоминает полемичес­кий прием, кратко определяемый как «перекладывание с больной головы на здоровую».

Важно подчеркнуть также, что мы с , по-ви­димому, совершенно по-разному понимаем термин «эффектив­ность». Под эффективностью произвольно взятой математической теории я понимаю сравнительную (относительную) гносеологическую силу данного математического устройства (аппарата), его способ­ность извлекать из универсума все более глубокие математические истины (ментальные решения), способствующие «вертикальному» экзистенциальному прогрессу человеческого сообшества. Что под словосочетанием «непосредственная эффективность» имеет в виду , мне неведомо.

5. : «Трудно принять также и предложенное ав­тором переосмысление понятия априорного знания. Введение но­вого понятия предполагает достаточно ясные дефиниции и пояс­нения на примерах. Поскольку ни того ни другого в тексте нет, то трудно говорить о качестве нового определения самого по себе. Здесь, однако, можно принять общую рекомендацию автора и встать на ценностную точку зрения, т. е. задать вопрос: зачем это нужно? Нужно ли новое определение априорного, общность которого с историческим априорным состоит только в названии?».

Я думал, что выразил свою точку зрения по вопросу о класси­ческом и новом (техницистском или, иначе, гармоническом) по­нимании априоризма (хотя это и не было основной темой моей статьи) достаточно определенно. Коль скоро так не считает, выскажусь более точно.

Считаю, что предлагаемое мною новое понимание априоризма нужно как минимум для того, чтобы преодолеть логическую не­состоятельность (противоречивость) классического кантовского определения исходной дихотомии. И дело тут не в названии.

144

Проблема в том, что на самом деле существует не дихотомия «эмпирическое — априорное (в кантовском смысле)», а дихотомия «эмпирическое — не-эмпирическое». Сфера «не-эмпирического» не сводится к кантовскому априоризму, а делится на две части, которые можно назвать соответственно «дисгармоническим не-эмпирическим» («дисгармоническим, кантовским априоризмом») и «гармоничес­ким не-эмпирическим» («гармоническим априоризмом») (см. схему I).

«Эмпирическое познание» («эмпиризм»)	«He-эмпирическое познание» («не-эмпиризм»,«априориэм»)
	«Дисгармонический,  кантовский априоризм»	«Гармонический априоризм»

Схема  1. Структура дихотомии «эмпирическое — не-эмпирическое»

Определения:

Эмпиризм — это тип познания (и/или изобретательской дея­тельности), при котором некоторое удовлетворительное по своей эффективности (в том числе истинности) ментальное решение яв­ляется конечным результатом гносеологического процесса, осуще­ствляемого путем многократной последовательной верификации и/или фальсификации промежуточных ментальных решений на ос­нове опытных данных (как правило, путем проб и ошибок).

He-эмпиризм, априоризм — это тип познания (и/или изобрета­тельской деятельности), при котором некоторое разрабатываемое и принимаемое без доказательств (в то. м числе эмпирических) мен­тальное решение (система аксиом или определений, например) является первичным (безусловным в каком-то точно фиксирован­ном смысле) ограничительным и направляющим регулятором гносеологического процесса произвольного уровня общности (в том числе эмпирического познания).

Дисгармонический (инвариантный, кантовский) априоризм — это вид не-эмпирического познания, при котором некоторые резуль­таты изобретательской и/или гносеологической деятельности лю­дей (ментальные решения) на основании каких-либо аксиологи­ческих или иных субъективных предпочтений без достаточных на то оснований объявляются окончательными (абсолютно истинны­ми, универсальными, всеобщими и т. д.) и не подлежащими изме­нению в будущем (качественно, сущностно инвариантными).

Гармонический (вариативный, не-кантовский) априоризм — это вид не-эмпирического (интуитивного, «инсайтического», умозри­тельного, спекулятивного, транслогического, эмпатического и т. п.) познания, при котором все реальные и возможные результаты изоб­ретательской и/или гносеологической деятельности человека (мен­тальные решения произвольного уровня общности) рассматрива-

145

ются как относительно истинные, универсальные и всеобщие и подлежащие неизбежному последующему оптимизирующему из­менению. При этом мотивом изменений могут быть как не-эмпирические (новые — более гносеологически «сильные» — интуиции, идеи и ценности), так и эмпирические (обнаруженные ошибки, вновь открытые факты и т. д.) причины.

И. Кант совершенно неадекватным, по моему мнению, обра­зом устранил из дихотомии «эмпирическое — не-эмпирическое» гармонический априоризм, чем перевел исходное отношение из раз­ряда контрадикторных в разряд контрарных. При этом отношение «эмпирическое — инвариантное (дисгармоническое) априорное» в течение нескольких сотен лет совершенно ошибочно трактовалось научным сообществом (вслед за Кантом) как контрадикторное.

Моя предварительная трактовка априоризма вообще как един­ства дисгармонического априоризма и гармонического (вариативного, релятивного) априоризма устраняет допущенную И. Кантом логичес­кую ошибку подмены контрадикторного контрарным.

Кроме того, при рассмотрении дихотомии «эмпирическое — не-эмпирическое» И. Кант допустил, как предстаатяется, еще одну содержательную и логическую ошибку — существенно более серьез­ную, чем первая. Название этой ошибки в содержательном плане — абсолютизация относительного. Объявление античного математи­ческого знания не подлежащей изменению ни при каких условиях истиной в последней инстанции для всех времен и народов — это не что иное, как совершенно немотивированный в содержательном и аксиологическом планах ментальный произвол.

Что же касается логической ошибочности данного подхода, то кантовский (дисгармонический, инвариантный) априоризм — это объе­динение утверждений о прошлом, настоящем и, главное, будущем в одном суждении (группе суждений) или, иначе, в одном «логичес­ком флаконе».

Кант утверждает следующее: (1) никогда не бу­дет создана новая — альтернативная античной в своих базовых поло­жениях — арифметическая (и/или геометрическая) система, равная классическому образцу (или превышающая его) по своим гносеологи­ческим свойствам, и (2) в традиционных арифметических и геомет­рических системах никогда не будут найдены противоречия или другие серьезные недостатки (дефекты), способные привести к полному пересмотру оснований классической математики.

Напомню в связи с этим, что утверждения о будушем (по Ари­стотелю) не имеют права на истинностную оценку (не являются истинными или ложными). Следовательно, идея кантовского (дисгармонического) априоризма не только бездоказательна в содержа­тельном плане, но еще и логически ошибочна, и мы имеем полное

146

право удалить ее из исходной дихотомии «эмпирическое — не-эмпи­рическое».

Таким образом, в конечном счете (после элиминации кантовс­кого априоризма) остается лишь дихотомия «эмпирическое — гар­моническое не-эмпирическое (гармоническое априорное)», о чем и говорилось в моей статье.

При этом рассматриваемая дихотомия — в силу показанной пыше паралогичности (дисгармоничности) кантовской трактовки — является контрадикторным (т. е. логически вполне корректным и самодостаточным) отношением двух полностью альтернативных по существу, но взаимно дополнительных в технологическом плане ти­пов познания. Важно отметить также, что не только классический априоризм, но также и традиционный эмпиризм нуждается в серь­езном переосмыслении (гармонизации) с изложенных в моей ста­тье неотехницистских позиций.

Надеюсь, что на сей раз я выразился достаточно определенно.

6. : «Ни Поппер, ни кто-либо другой из реляти­вистов XX в., поскольку они последовательно настаивали на отно­сительности всех принципов и оценок, не пытались ввести новое понятие априорного. Они доказывали, что априорного знания как знания необходимого и универсального не существует, и не пыта-нись строить каких-то его релятивистских аналогов. И эти филосо­фы поступали правильно, ибо они хорошо осознавали, что никто не будет использовать понятие априорного знания в смысле чего-то совершенно относительного, т. е. в явном противоречии с его традиционным использованием».

Я согласен с Поппером и К° в том, что касается отрицания кантовского (дисгармонического) априоризма, хотя и не считаю их аргументы интерсубъективно убедительными (в противном случае проблема фальсификации кантовского априоризма была бы уже давно снята с повестки дня). Что же касается их отрицания априо­ризма вообще, то с этим я совершенно не согласен. Отрицание гармонического априоризма семантически и логически эквивалентно отрицанию аксиоматического, гипотетико-дедуктивного и других методов познания, использующих идеализированные (или каким-то другим искусственным образом трансформированные) ментальные объекты вообще. Поэтому я настаиваю на необходимости признания гармонического априоризма в качестве важной — если не ключевой — составной части гносеологического процесса, объединяющего как эмпирическое, так и не-эмпирическое (гармоническое априорное) начала.

Относительно тезиса о том, что «никто не будет использовать...» Это — разновидность аргумента к авторитету; аргумент к традиции. Не принимается.

147

7. : «Очевидно также, что это новое понятие, как бы мы его ни определили, ни на шаг не приблизит нас к реше­нию дилеммы априорного и эмпирического, проскольку сама эта дилемма получает смысл только при традиционном разделении этих понятий. Решение этой дилеммы может состоять либо в безупреч­ном обосновании гносеологического релятивизма типа попперовского (в философии математики это подходы И. Лакатоса, М. Клайна и др.), либо в обосновании существования априорных (универсаль­ных и необходимых) принципов в структуре человеческого знания. в соответствии с его общим настроем мог бы попы­таться продвинуться в дальнейшем обосновании математического релятивизма или в опровержении аргументов, на которых строятся доводы современных алриористов. Ни того, ни другого в приве­денных рассуждениях нет, и, таким образом, их трудно считать каким-либо продвижением к истине».

Рискну утверждать, во-первых, что осмысленность и логичность традиционной трактовки рассматриваемой дилеммы в свете выска­занных контраргументов весьма проблематична, и, во-вторых, что ни попперовская, ни кантовская дороги «не ведут к Храму». Пер­вая — в силу своего имманентного плохо скрытого агностицизма (отрицания не-эмпирического, априорного типа познания вообще), а вторая — в силу показанной выше дисгармоничности (содержа­тельной необоснованности и логической некорректности).

Что касается отсутствия у меня (по мнению ) «опровержения аргументов, на которых строятся доводы современ­ных априористов». Не знаю, о каких аргументах здесь идет речь, но в смысле фальсификации кантовского априоризма имею сказать (дополнительно к п. 5) следующее.

В 1995 г. я предложил математическому сообществу концеп­цию гармонической арифметики, альтернативную классической арифметике и целиком построенную на абстракции актуальной бес­конечности (см., например: Основные положения концепции оснований гармонической арифметики // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. М., 1997. С. 48—66). Гармоническая арифметика вполне может рассматриваться как естественное прямое опровержение кантовского априоризма (противоречий в этой — многократно более гносеологически мощ­ной, чем классическая, — арифметической системе не найдено до сих пор).

Так что проблема не в отсутствии у противников кантовского априоризма (у меня, в частности) опровергающих аргументов, а в сверхустойчивом нежелании априористов-традиционалистов (нео­кантианцев) их непредвзято рассматривать и принимать.

148

Относительно «смысла дилеммы» априорного и эмпирического в п. 5 сказано достаточно. Исходя из этого, утверждаю, что един­ственно корректное, по моему мнению, решение этой «дилеммы» — синтез эмпирического и гармонического априорного (или, поскольку кантовское априорное содержательно и логически некорректно, дисгармонично, синтез эмпирического и априорного) типов познания в рамках целостной неотехницистской парадигме гносеологического процесса.

8. : «Совершенно неясны также и основания критики объективности теоретических принципов. Прежде чем использовать натуральный ряд, мы должны принять его как неко­торую структуру, имеющую объективное значение, независимое от области приложения. Причем следут подчеркнуть, что мы ни в ка­кой степени не изобретаем натуральный ряд и возможности чело­веческого произвола здесь равны нулю».

Есть, по моему мнению, как минимум два перманентных осно­вания критики любой математической теории (в том числе класси­ческой арифметики и евклидовой геометрии): (1) недостаточная — с точки зрения классических или вновь сформулированных критериев — гносеологическая сила и (2) наличие актуальных или потенци­альных (если они еще не выявлены к моменту начата-рассмотрения) противоречий.

Первый пункт означает, что всегда существует возможность создания гносеологически более мощной математической доктри­ны, альтернативной доминирующей теории предшествующего по­коления (т. е. математического устройства, основанного на прин­ципиально иных ментальных основаниях).

О том, что уже создана не-канторовская арифметика, базирую­щаяся на абстракции актуальной бесконечности (в противовес класси­ческой арифметике, основанной на идее потенциальности натураль­ного ряда), говорилось в п. 7. Возможны и другие неклассические арифметические системы.

Второй пункт означает, что во всех существующих и возмож­ных математических системах неизбежно имеются самопротиворе­чия (явные, выявленные или латентные, еще невыявленные). Это связано с гарантированно недостаточным (для всех возможных гно­сеологических ситуаций и требований) уровнем определенности (точности, формализованности, внутренней упорядоченности и т. д.) используемых в математике объектов и связей между ними.

В развитие этого тезиса скажу, что совершенно не разделяю уверенности Василия Яковлевича в невозможности жесткой фаль­сифицирующей критики (строго говоря, полного опровержения) классической арифметики и евклидовой геометрии, являющейся, по-видимому, основным источником его вдохновения в деле под-

149

держки априоризма в околокантовской (праксеологической) ре­дакции.

Классическая арифметика, на мой взгляд, уязвима для крити­ки настолько же, насколько уязвима абстракция потенциальной бесконечности. А последняя, безусловно, весьма уязвима (проблематизируема и фальсифицируема) в том смысле, что она объединя­ет в одном статическом объекте (натуральный ряд) и существую­щие (актуальные), и еще несуществующие (потенциальные, воз­можные) элементы (натуральные числа). Как представляется, рано или поздно — в зависимости от темпов развития темпоральной логики, основная идея которой принадлежит Аристотелю (знаме­нитое «завтрашнее морское сражение»), — математическое сооб­щество обратит внимание на тот очевидный, по моему мнению, факт, что объект (классический натуральный ряд), совмещающий действительное и возможное в одно время и в том же отношении, нельзя (вопреки сложившейся паралогичной традиции) квалифици­ровать как существующий в математически строгом смысле этого слова.

Что же касается геометрии Евклида, то могу привести (просто для примера) одно логически вполне корректное рассуждение, по­казывающее ее фундаментальную самопротиворечивость. Как известно, в евклидовской геометрии возможность построения пря­мой гарантируется исключительно первым и вторым постулатами. Можно показать, однако, что реально прямую в рассматриваемой геометрической системе построить нельзя (логически невозможно).

Суть дела в следующем. Евклидова геометрия основана на прин­ципе идеальности используемых инструментов (линейки, циркуля, карандаша), имеющих разрешающую способность «до точки». Если принять аксиому М. Паша: «Между двумя точками прямой всегда существует третья точка той же прямой» (или даже какой-либо ос­лабленный вариант этой аксиомы), — а не принимать чего-либо подобного мы не можем из-за отрицания Евклидом (и современной геометрией) принципа лимитрофности (пограничности) точек, — то оказывается, что прямую в классической геометрии невозможно построить, поскольку как бы близко ни находилась любая вторая точка (а1) к первой (исходной) точке (а0), между ними есть точка аг, а между а0 и а2 — точка а3 и т. д. Другими словами, готовый к движению по идеальной линейке идеальный же карандаш вообще не может тронуться с места (отойти от точки а0), поскольку совер­шенно непонятно (логически невозможно точно определить), к какой точке as (S ~ произвольно большое натуральное или трансфинитное число) он должен переходить уже в первом своем шаге.

Таким образом, действительно имеем противоречие с первым и вторым постулатами геометрии Евклида, совершенно безоснова­тельно (и, как выясняется, абсолютно неправомерно) гарантирую-

150

щими беспроблемное построение (и последующее потенциально бесконечное продление) прямой. Ослабление принципа идеальности геометрического инструментария ситуацию не спасает (просто «точ­ки» будут становиться все более «крупными» с тем же эффектом). Данная ситуация легко разрешима в геометрии, построенной на абстракции актуальной бесконечности, т. е. в «юниметрии» (см.: Общий кризис теоретико-множественной матема­тики и пути его преодолении. М., 1997. С. 81—93, 124—138), но геометрия Евклида от этого менее самопротиворечивой не стано­вится. Кстати говоря, приведенное выше фальсифицирующее евк­лидову геометрию (и ее современные аналоги) рассуждение было найдено мною именно в процессе разработки геометрической сис­темы нового поколения, основанной на абстракции актуальной бесконечности.

Разумеется, я не настолько наивен, чтобы думать, что указан­ное самопротиворечие в геометрии Евклида хоть сколь-нибудь се­рьезно поколеблет убежденность и других адептов античной мудрости в априорной истинности кантовскоео априориз­ма, однако имеется вполне отчетливая (и ускоряющаяся) тенден­ция к накоплению современными исследователями целой коллекции подобных вышеизложенному самопротиворечий классических математических систем. Рано или поздно количество перейдет в качество.

Поэтому — на месте — я бы не был столь уверенным в абсолютной содержательной, логической и, как след­ствие, аксиологической незыблемости античной математики. Хотя если расчет и его сподвижников строится на силе аксиологической инерции математического сообщества, лет 20—30 они еше, конечно, могут выиграть. Но это уже будет не априоризм, а априотабуизм (синонимы: априоаксиологизм, априокантотеизм и т. д. в этом духе).