Математика и опыт (стр. 45 )

Список литературы

1.  Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. 2. М., 1987.

2.  Приключения Алисы в стране чудес. М., 1992.

3.  Широкова кельтов и нордическая традиция античности. СПб,.2000.

4.  Антропология мифа. Екатеринбург. 1997.

5.  Леви- Первобытное мышление. М., 1994

6. Логическая игра. М., 1991.

7.  Семенцов B.C. Проблемы трансляции традиционной культуры на примере судьбы Бхагавадгиты // Восток—Запад. М., 1988.

8.  Точные науки в древности. М., 1968.

9.  Мифы и предания папуасов маринд-аним. М., 1981.

10.  Первые философы Индии. М., 1997.

11. Архетипы коллективного бессознательного и проблемы ста­новления культуры // Эволюция, язык, познание. М., 2000.

12.  Архетипы коллективного бессознательного и формирование теоретической науки // Языки науки — языки искусства. М., 2000.

13.  Чудо, которым была Индия. М.. 1977.

14.  Либидо, его метаморфозы и символы. СПб., 1994.

15.  Диалектический логос. М.. 1982.

16.  Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. СПб., 1994.

17.  Математика. Утрата определенности. М., 19Н4,

КОММЕНТАРИЙ

С. Л. Катречко

Комментарий к статье будег разбит на две части1. В первой из них я дам интерпретацию основных идей предложенного текста и возникших в связи с ним ассоциаций. Во второй — позволю себе несколько критических замечаний.

_________________________

1 См. полный электронный текст комментария: http://www. *****/ Hbrary/ksl/philmath_2001.htm) 

605

1. На мой взгляд, данная статья содержит мощный — историко-культурологический — аргумент в пользу априорности ма­тематического знания, который может быть назван аргументом культурологического априоризма. Суть этого аргумента заключается в невозможности помыслить непосредственное возникновение (теоретического) математического знания из хозяйственно-практических измерительных процедур. В этом смысле появившаяся греческая математика (как следствие и одно из проявлений «гре­ческого чуда») существенно неэмпирична, т. е. с необходимостью содержит априорный элемент: математика возникает в рамках общего перехода (греческой культуры) от Мифа к Логосу, пред­полагает и невозможна без этого «логосного» — априорного! — начала. Причем этот априористский компонент начального ма­тематического знания является ее общей «родовой» характерис­тикой и никогда не может быть преодолен никакой последую­щей презентистско-эмпиристской переинтерпретацией ни ее «природы», ни феномена ее возникновения2.

В качестве единственно возможной причины феномена «греческого чуда» обоснованно указывается на наличие пифагоро-парменидо-платоновского «нового пути», приведшего, как указывает автор, к открытию «интеллигибельного мира узако­ненной парадоксальности, именуемой Истиной», являющимся априорным основанием теоретических построений. В качестве дополнения к этому аргументу можно указать на два фактора, усиливающих, как мне кажется, аргументацию автора. Во-пер­вых, можно привлечь оригинальную концепцию российского (советского) мыслителя (см. ее изложение в работе «Язык. Знак. Культура». М., 1991). Во-вторых, существенным ус­ловием формирования теоретического знания Древней Греции стал сам греческий — естественный! — язык, а именно особая роль в греческом языке связки «есть» [помимо указанной выше

____________________________________

2 В этой связи уместно привести проницательный анализ М. Хайдеггера. увязывающий сущность математического знания с этимологией греческого слова «τα μαθηματα» {непосредственное априорное усмотрение — «схватывание», — уже как бы известного заранее): «Современная физика называется математичес­кой потому, что в подчеркнутом смысле применяет вполне определенную мате­матику. Но она может оперировать так математикой лишь потому, что в более глубоком смысле она с самого начала уже математична. Τα μαθηματα означает для греков то, что при рассмотрении сущего и обращении с вещами человек знает заранее (курсив мой. — С. К.}: в телах — их телесность, в растениях — раститель­ность.. К этому уже известному, т. е. математическому, относятся наряду с выше­названным и числа. Обнаружив на столе три яблока, мы узнаем (непосредствен­но, априорно. — С. К.), что их там три» ( Время картины мира // Время и бытие. М.. 1993. С. 43).

606

работы об этом пишет такой авторитетный линг­вист, как Э. Бенвенист (см. его работу «Общая лингвистика», особенно гл. VIII и XVII), и российский исследователь западно­европейской онтологии (см. его работу «Кате­гория бытия в классической западноевропейской философии»)].

2. Перейдем теперь к замечаниям. На мой взгляд, некото­рые положения данной статьи не совсем точны и нуждаются в существенной корректировке. Во-первых, не совсем правомерно отождествление «интеллигибельного мира» Платона и мира математической реальности. Математические объекты занимают промежуточный (третий) мир, «материей» которого является «пространство» (см. об этом подробнее, со ссылкой на Прокла, мою статью в наст. сборнике). Это уточнение не противоречит общему тезису автора о «многослойной реальности Универсу­ма», однако позволяет более строго задать тип математического априоризма.

Во-вторых, Парменид отнюдь не «разрубает холистическую целостность Универсума жестким, категоричным отрицанием» (Е, Г. Веденова). а, скорее, впервые эту целостность вводит. На это указывает, в частности, смысловая и этимологическая близость парменидовской категории «сущего» и «единого» [дослов­ный перевод парменидовской фразы «Сущее (единое) есть...»]. Умопостигаемое «Единое» Парменида противостоит чувственно­му «множеству» («миру многого») и, вводя свое «бытие», он (что естественно для первооткрывателя) полностью отрицает не-мыслимый изменчивый «мир многого». Определенная реабилитация мира «многого» происходит у Демокрита и Платона.

В-третьих, общая логика греческой философско-теоретичес­кой мысли, скорее, следует (отличному от приведенного в раз­деле 5) принципу «от («жесткого», бинарного) противоречия к (более «мягкой») противоположности» (к сожалению, формат комментария не позволяет подробно аргументировать этот тезис). Об это свидетельствует (в частности) появление в более поздний период развития греческой метафизики категории «инобытия» у Платона, которая занимает промежуточное — в концептуальном плане — положение между парменидовским бытием и небытием. Концептуализация же различения между противоречием и проти­воположностью — собственно различение «противоречие vs. противоположность» — происходит еще позже, только у Аристотеля,  Причем Аристотель не только эксплицитно вводит логический принцип исключенного третьего, но и фактически указывает его ограниченность в случае рассмотрения не противоречия, а проти­воположного (это дает право некоторым исследователям, напри-

607

мер , видеть в Аристотеле предтечу интуиционизма). Замечу, что этот ход мысли частично вытекает из первой части комментируемой статьи, в которой описывается переход от мифологического архетипа бинарной оппозиции к «логосу» гречес­кой метафизики. Хотя, наверное, более точной формулой здесь была бы следующая: «безразличие» к противоречию архаического мышления (ср. с законом партиципации Л. Леви-Брюля) — жест­кая бинарная оппозиция позднейшего мифологического мышле­ния {Гомер, Гесиод) и начальных этапов греческой философской мысли (милетцы, Пифагор, Парменид, частично Гераклит) — вы­явление различных (более «мягких») степеней противолежания у Платона и Аристотеля (различение «противоречие vs. противоположность» у Аристотеля) и способов «перехода» между ними (платоновская диалектика). 

ОТВЕТ АВТОРА

Комментарий Сергея Леонидовича вызывает двойственное чувство — признательность за детальный и заинтересованный раз­бор текста и определенную неудовлетворенность ввиду не вполне адекватного его толкования (в чем прежде всего, вероятно, вина самого автора статьи). Поэтому в ответе я позволю себе не отде­лять замечания от интерпретации, и мои высказывания имеют целью прежде всего уточнение понимания.

Думается, термин «культурологический априоризм» не впол­не удачен: предпочтительнее был бы культурологический аргумент или культурный априоризм (хотя употребление и последнего тер­мина чревато посторонними коннотациями). При этом в статье подчеркивается как раз отличие начального, «естественного» ма­тематического знания (о котором и говорит Хайдеггер) и обуслов­ленного совершенно иным характером априоризма, сформиро­вавшегося лишь в контексте «греческого чуда» теоретического знания. Дело в том, что представление о безразличии архаическо­го мышления к противоречию (т. е. о тотальности для этого мыш­ления закона партиципации) не вполне точно. Вот как говорит сам Леви-Брюль: «... в коллективных представлениях (курсив мой. — Е. В.) первобытного мышления предметы, существа, явления могут непостижимым для нас образом быть одновременно и самими собой, и чем-то иным. <...> Называя его пралогическим, я толь­ко хочу сказать, что оно не стремится, подобно нашему мышле­нию, избегать противоречия» (Леви- Сверхъестественное в первобытном мышлении. М., 1999. С. 62). Однако далее Леви-

 608

Брюль подчеркивает, что рассматриваемый индивидуально, в той мере, в какой он мыслит и действует независимо от коллективных представлений, первобытный человек будет чаше всего чувство­вать, рассуждать и вести себя так, как мы от него ожидаем (там же. С. 64), т. е. в рамках «естественной» логики и, как это более подробно обсуждается в статье, родового биологического априоризма, связанного с архетипом Другого. Но даже и в этом случае мышление в формах естественного языка опирается на оппозицию «контрарности», имплицитно подразумевающую наличие  промежуточной возможности.

Таким образом, хотя дихотомическое разбиение Универсума и содержит потенцию «строгой» родовидовой дихотомической логики (на основе оппозиции «контрадикции»), мифологичес­кое мышление и естественный язык исключают ее реализацию.

Именно абсолютизация Парменидом глагола-связки «быть» и кладет начало актуализации этой потенции. Представление Сергея Леонидовича о том, что Э. Бенвенистом подчеркивается особая рать глагола-связки именно в греческом языке, требует уточнения: «...многообразие функций глагола «быть» в гречес­ком языке представляет собой особенность индоевропейских языков» ( Общая лингвистика. С. 113, 209). При этом конкретные примеры тех «разных обличий» глагола-связки, которые приводит Бенвенист на материале греческого языка (там же. С. 112), взяты прежде всего из текстов Платона, в кото­рых, как показывает, в частности, [ С, Франк-, От слова к смыслу. М., 2001], и происходила «переплавка» естественного языка в язык философского дискурса. Стало быть, эти примеры демон­стрируют не установившееся (конечно, относительно) состояние естественного языка, а инициированное Парменидом рождение языка нового, «философского» мифа.

Парменидово сечение декларирует возможность установить однозначную и окончательную границу — но чего? Какой из фе­номенов непрестанно меняющегося мира (очевидность правоты Гераклита) мог быть подобной границей охвачен или отсечен? И находится единственный выход: все, что можно помыслить (либо в данности, актуальности, буквально очевидности, либо в возможности), обозначается как Бытие (в теории вероятностей такой законченной совокупности возможностей соответствует «полная группа событий»). Поэтому оппозиционным Бытию ока­зывается «пустое множество», Ничто. И лишь между ними можно провести «жесткую» границу — границу, которая не только одно­значно определена, но которая никогда не может измениться. Эта граница «истинна» — абсолютно неподвижна, навсегда неизменна.

609

Таким образом, абсолютизируется экзистенциальная ипос­тась глагола-связки. Выделение общего для всякого «быть» как «пребывать», «иметь место» закладывает основы использования универсалий как средства оформления логико-философской аргументации; существительное, которого не было, становится кор­нем древа философских категорий. Теперь «общее» играет роль той «четкой» границы, которая необходима для адекватного использования двузначной логики. Пока дискурс не претендует на формальную корректность, без общих понятий можно и обой­тись — как и обходятся без многих из них «архаические» языки. Однако дедукция Аристотеля, построенная на отношениях вклю­чения, без четких границ обойтись уже не может.  ;

Что же касается предположения Сергея Леонидовича по по­воду движения «греческой философско-теоретической мысли... от («жесткого», бинарного) противоречия к (более мягкой) про­тивоположност", то, мне представляется, философия Платона содержит некую «точку бифуркации». Ведь хотя Сократа часто и воспринимают как родоначальника дискурсивно-понятийного рассуждения, но сам он, желая избежать неверного толкования своих действий, подчеркивал, что не выводит, не «строит» исти­ну: она и ему не ведома. У него процесс выстраивания понятий­но-логических цепей оборачивается майевтикой, психотехноло­гической процедурой, обеспечивающей живой, онтологический прорыв в сознании. Так что платонизм и неоплатонизм обозна­чили направление к теургии, формирующаяся теоретическая математика и Аристотель — направление к формализованному теоретическому знанию, в то время как между ними расположи­лись потенции разнообразной собственно философской концеп­туальности.

__________________

ДВУМЕРНАЯ СХЕМА

ЯЗЫКА МАТЕМАТИКИ

И МЕСТО АПРИОРИЗМА В НЕЙ

Математика — коллективная деятельность, продуктом кото­рой является знание. Поэтому она необходимо обладает языком, выступающим средством для воспроизводства знания в деятель­ности сообщества математиков. Можно сказать, что математика является «языковой игрой» со своими правилами, законами, он­тологическими предположениями.

610 

Рассматривая язык математики, выделим две группы элемен­тов, а именно, понятия и суждения, которые удобно рассмотреть в качестве основы для анализа языка математики. В разное время каждый из этих элементов играл различную роль в построении математики. Так, при зарождении математики как особого вида деятельности, связываемого с именами Фалеса, Пифагора и пифагорейцев, основой математики служили понятия (число, отре­зок, окружность), изучением свойств (атрибутов) которых математика и занималась. При формалистском же взгляде на природу и сущность математики суждения являются ее основой, в то вре­мя как понятия играют лишь подчиненную суждениям роль.

Понятия и суждения необходимо рассматривать в тесной свя­зи друг с другом. Так, содержание понятия можно анализировать с помощью суждений, в которых оно встречается, а содержание суждений — с помощью понятий, из которых они построены. Оба эти подхода к анализу содержания имели место в различные пе­риоды развития математики. Например, первый подход применя­ется при высоком уровне аксиоматизации математики, в то время как второй хорошо работал во времена Платона, тогда, когда математика оперировала понятиями, имеющими самостоятельное значение.

Разные концепции природы математики по-разному подхо­дят к рассмотрению роли понятий и суждений, наделению их смыслом и использованию. Можно предложить общую схему рас­смотрения языка математики, применимую как к понятиям, так и к суждениям, в которой отражались бы различия концепций ма­тематики, их близость друг к другу. Предлагаемая схема позволит определить интерпретацию языка математики с точки зрения раз­личных концепций, а также проследить некоторые закономерно­сти в развитии математики, рассматривая развитие языка.

Схема языка математики

Я рассмотрю двумерную схему для анализа понятий и сужде­ний в математике. Предлагаемые измерения являются, на мой взгляд, независимыми, несмотря на то, что классические концеп­ции природы математики будут более или менее укладываться на отрезок в этой схеме.

Первое измерение в этой схеме отражает степень связаннос­ти, взаимной зависимости понятий или суждений. Применитель­но к понятиям это измерение показывает, насколько понятия об­ладают своим собственным содержанием независимо от других. Или, иначе, насколько понятия связаны между собой. Точкой отсчета будет абсолютная независимость всех типов понятий. Подобную позицию, хотя и не в чистом виде, можно обнаружить, например, у Платона, где понятия математических объектов явля­ются отражениями идей этих объектов.

Позже математические объекты начинают рассматриваться не как самостоятельные сущности, а в их связи между собой с помо­щью операциональных понятий. Понятия математических объек­тов рассматривались как результат операций над другими понятиями в связи с другими понятиями. Тенденция к такому подходу обнаруживается уже у Евклида, который активно использует при определении понятий ссылки на ранее определенные понятия, а также конструктивные определения.

Следующим уровнем связанности математических понятий является связь операционных и объектных понятий с помощью понятий логических отношений. Рассмотрение таких отношений характерно для математики Нового времени. Так, Ньютон и Лейб­ниц, разработав инфинитезимальное исчисление, создали новые логические связи между операциями, которые, правда, пока еще не имели достаточного основания.

Максимальная связанность между понятиями достигается до­бавлением к вышеперечисленным связям связей между понятия­ми логических отношений, приближение к которой наметилось на рубеже XIX—XX вв. Эти связи уже устанавливались не с помо­щью понятий более высокого уровня, а с помощью суждений, которые, как уже было сказано, стали предстаапять больший ин­терес для исследования, нежели понятия. Для достижения такого уровня связанности понятий потребовались метафизические (ме­таматематические) изыскания.

Рассмотрим, что означает степень связанности для суждений. В качестве связи между суждениями я буду рассматривать обосно­вание. Тогда степень связанности будет означать необходимость обоснования для суждений. За начало отсчета возьмем отсутствие потребности в обосновании суждений. Такое состояние математи­ки было до обнаружения Фалесом необходимости доказательства того, что диаметр делит окружность на две равновеликие части. Впрочем, и после него длительное время доказательство не было основным инструментом получения математических знаний.

Более высокая степень связанности суждений отражает потреб­ность в обосновании утверждений, говорящих о некотором поло­жении дел относительно математических понятий. Обоснование может вестись с применением операционных суждений и их свойств, считая их очевидными и не требующими доказательства. В каче­стве операционных суждений я рассматриваю умозаключения и правила построения сложных высказываний из простых. В «Началах» Евклида есть теоремы, которые нуждаются в доказательстве,

612

есть аксиомы, которые не нуждаются в обосновании и полагают­ся очевидными, и постулаты, которые, по всей видимости, играли роль гипотез.

Потребность в обосновании операциональных суждений яв­ляется следующим этапом на пути развития языка математики. Это отражено в работах Аристотеля, Декарта, Канта, Милля. Обо­снование операциональных суждений шло в основном по пути обоснования правил умозаключения и уточнения смысла логи­ческих связок между суждениями. Аргументы, используемые при этом, относятся к метаоперациональным суждениям, хотя многие из них можно отнести к метафизическим. Несмотря на обилие позиций по обоснованию операциональных суждений, важно, что осознана необходимость их обоснования.

Наконец, для обоснования метаоперациональных суждений снова приходится выйти за пределы категории суждений. Воз­можным претендентом на роль средства для такого обоснования является математическая теория, точнее метатеория, которая в зависимости от предметной области определяет допустимые мета-операциональные суждения. Впрочем, был найден и другой вари­ант, получивший свое отражение в различных концепциях обосно­вания математики, которые кладут в свой фундамент те или иные суждения.

Итак, первое измерение схемы обрисовано, и есть некоторая шкала, которая позволит сравнивать различные концепции мате­матики друг с другом. Перейдем к рассмотрению второго измере­ния, связанного с возможностями языка математики по вербализа­ции знания. Это измерение отражает, насколько адекватно матема­тические тексты способны передать содержание математического знания, насколько точно могут отразить рассмотренные выше связи между понятиями и между суждениями.

Начнем с рассмотрения суждений. Для суждений это измере­ние будет отражать строгость обоснования суждения, записанного с помощью языковых средств математики, или, иначе, его интуи­тивность. Хотелось бы уточнить, что я буду понимать под строгос­тью доказательства. Строгость доказательства заключается в том, что используются только те суждения, смысл которых заранее определен и известен способ их записи и применения в текстах. Интуитивность заключается в использовании неявных предпосылок, смыслов, не содержащихся в тексте, речи, но без которых невозможен последовательный анализ обоснования.

Началом отсчета в этой шкале будет полностью интуитивное доказательство суждений, характерное для платониста. Главное — не строгость, а гармония и красота. Дедуктивные рассуждения ничего не добавляют, а только лишь затуманивают проблему. Рас-

613

суждение использует красивый язык, ничего общего не имеющий с сухим языком современного доказательства.

Следующим уровнем строгости является требование четких формулировок утверждений и интуитивное использование опера­циональных и метаоперациональных суждений. Другими словами, четко сформулированные утверждения доказываются с той или иной степенью интуитивности. Утверждения обосновываются с помошью операционных суждений. Длинный отрезок истории математики связан именно с постепенным ростом требований к строгости доказательства именно утверждений. Фактически этот период закончился лишь в конце XIX — начале XX в., когда встал вопрос о правомерности и границах использования логики.

С логикой связывается четкое формулирование правил ис­пользования операционных суждений, позволяющих из одних суждений получать другие. Немаловажную роль играет формули­ровка правил вывода. Зачатки этого можно найти и у Аристотеля, но последовательную разработку этот уровень суждений получил лишь в Новое время.

Наконец, осознание наличия метаоперациональных суждений, произошло на рубеже XIX—XX вв. Это связано с выявлением ряда суждений, например закон исключенного третьего, которые не выводятся и не являются в чистом виде операциональными суж­дениями. Они лежат вне математики в том смысле, что их можно использовать, а можно от них отказаться. Но содержание этих суждений должно быть четко сформулировано, правила исполь­зования фиксированы.

Рассмотрим теперь, как будет выглядеть второе измерение в схеме языка математики применительно к понятиям. За начало координат возьмем язык математики, в котором нет математичес­ких терминов, а есть, например, бочки вина и акры земли. Очевидно, при таком положении дел математические понятия еше не имеют своего четкого отражения с помощью терминов.

Далее, рассмотрим этап, когда понятия математических объек­тов приобретают свой определенный смысл и терминологическое оформление. На этом этапе для введения понятия используется определение и в дальнейшем появляется соответствующий этому понятию термин. При этом понятия математических операций и логических отношений используются интуитивно, например, как это делал Евклид.

Терминологическое оформление понятий математических операций можно отнести к Новому времени. Известнейшими до­стижениями этого периода являются операции дифференцирова­ния и интегрирования, хотя область их применимости еще не осоз­нается до конца.

614

Наконец, создание формальной логики, связываемое с име­нами Буля и Фреге, позволило терминологически закрепить по­нятия логических отношений. Таким образом, понятия логичес­ких отношений приобрели свое значение, которое, правда, играет скорее операциональный характер.

Итак, получилась двумерная схема, позволяющая со сходных позиций интерпретировать понятия и суждения в языке матема­тики. Были описаны лишь некоторые примечательные точки в этой схеме, в то время как за кадром осталось то, что эта шкала на самом деле непрерывна и между отмеченными пунктами есть ин­тервалы, заполненные бесконечным множеством положений. Так, например, между отсутствием требования обоснования суждений и требованием обоснования утверждений есть много положений, говорящих насколько необходимо обоснование всех утверждений. При этом требование необходимости обоснования утверждений не означает, что совсем нет утверждений, которые не нуждаются в доказательстве. Это всего лишь означает, что всякое утверждение должно быть обосновано с той или иной степенью интуитивности.

В этой двумерной схеме можно попытаться расположить ос­новные концепции природы математики. Как и в случае любой другой схемы, неизбежны некоторые натяжки и неоднозначности, но в основном картину обрисовать можно.

Положение различных концепций

природы математики

Под положением той или иной концепции в предлагаемой схеме я буду понимать положение, которое занимает язык в раз­личных концепциях математики. Поэтому, чтобы не рисовать не­сколько схем с областью отведенной языку математики, я разме­щу в схеме не язык, а концепции, имея в виду вышесказанное.

Анализ интерпретаций языка математики мне хотелось бы начать с рассмотрения крайних случаев. В начале шкалы, приме­нительно к суждениям и понятиям, естественно расположить платонизм. Антиподом к платонизму будет формализм, так как для формалиста все понятия имеют смысл настолько, насколько они связаны с другими понятиями, в то время как для платониста понятия могут иметь самостоятельное значение. Для формалиста понятие — символ (термин), а для платониста — сущность.

Платонист не требует обоснования суждений и уж точно не нуждается в полном языковом выражении суждений. Для форма­листа же содержание суждения состоит в существенной степени в его доказательстве, которое должно быть выполнено с помощью

  615

Рис.1

определенных формальных правил, т. е. с использованием фикси­рованных в языке операционных и метаоперационных суждений.

Интуиционизм (конструктивизм) близок к формализму в схеме, относящейся к суждениям, хотя для него необходимость обо­снования метасуждений меньше. Так, некоторые принципы счи­таются интуитивно ясными, при этом строгость доказательства у интуициониста не уступает формалистскому доказательству, хотя логика может зависеть от объекта рассуждения.

По интерпретации понятий интуиционизм проще отличить от формализма. Интуиционизм допускает, что некоторые понятия (например, натуральное число) с такой (интуитивной) ясностью даны нам, что не требуют определения, а значит, других понятий. При этом терминологический аппарат интуиционизма не уступа­ет по своей развитости формализму.

Рассмотрим место априоризма в предлагаемой двумерной шкале. Априоризм не требует обоснования для всех суждений. В частности, некоторые суждения даны нам с такой ясностью, что нет смысла говорить об обосновании. Так, например, дедуктив­ный вывод верен в силу свой очевидности. Основная часть сужде­ний в математике рассматривается как аналитические, т. е. полу­ченные с помощью определенных правил построения и вывода новых суждений. Но есть в математике и синтетические сужде­ния, о которых четко рассуждать не представляется возможным. Таковы некоторые аксиомы. Таким образом, априоризм в схеме имеет смысл расположить по соседству с платонизмом. При этом для априоризма необходимость обоснования утверждений будет больше, чем у платонизма. Аналогично, априоризм предъявляет более сильные требования к четкости формулировок и использо­вания операционных суждений, нежели платонизм.

И в «понятийном измерении» априоризм также непосредствен­но соседствует с платонизмом, так как некоторые понятия, на­пример пространство, имеют собственное содержание. С другой стороны, математические объекты рассматриваются с помощью интуиции пространства и времени, т. е. в терминах геометрии и арифметики. А это означает, что понятия математических объек­тов рассматриваются не только самостоятельно, но и в связи с другими понятиями. Понятия операций над математическими объектами не являются с необходимостью связанными между со­бой и носят подчас интуитивный характер. Таково бесконечное продолжение натурального ряда. Тем не менее возможности язы­кового, терминологического описания (как, впрочем, и любого другого) понятий ограничиваются в связи с тем, что нам доступно лишь описание формы, но не содержание. Соответственно термины отражают форму понятия.

617

Эмпиризм vs. априоризм?

Противостояние эмпиризма и априоризма имеет длинную историю, которая продолжается и в наше время. На первый взгляд, эти две позиции противоположны, поскольку диаметрально рас­ходятся при ответе на вопрос: «Имеет ли человек знание априорное, или он все знание получает из опыта?»

Эмпирист скажет, что все знание человек может получить только из опыта, причем этот опыт может быть скрыт и переда­ваться, например, с помощью культурных норм, традиций и даже с помощью языка и его правил. Эмпиризм как направление в философии и, в частности, в философии математики нельзя на­звать самостоятельной концепцией природы математики. Элементы эмпиризма можно обнаружить и в физикализме, и в социокуль­турном подходе к рассмотрению математики.

Априоризм также сильно изменился со времен Канта и про­шел ряд этапов, в которых его позиция получила новое наполне­ние. Тем не менее я постараюсь обосновать, что априоризм и эм­пиризм вовсе не такие антиподы, как, например, формализм и платонизм. Более того, их интерпретации языка математики в двумерной шкале, оказывается, очень близки.

Например, в шкале, относящейся к понятиям, математичес­кие объекты связаны между собой с помощью понятий операций и логических отношений, которые произошли из опыта, причем опыта в широком смысле, в том числе и языкового опыта. Физикализм, в частности, рассматривает операциональные связи между понятиями математических объектов, которые отражают реаль­ные связи физических объектов. Понятия логических операций связываются между собой уже в позднем эмпиризме, связанном с логическим анализом языка.

Применительно к суждениям можно вспомнить «Систему логики» Милля, целью которой, по словам автора, являлось не строгое обоснование предлагаемых методов, но изложение мето­дов, которые использовались в естествознании в его время. Дру­гими словами, доказательства для операциональных суждений, как и в случае априоризма, не требуется, однако требуется четкая фиксация этих суждений для последующего использования в рассуждениях.

Исходя из изложенной позиции, я рискну расположить раз­личные концепции природы математики на двумерной схеме, которую можно рассматривать не только как схему для понятий, но и как схему для суждений. Хочется отметить также, что применимость данной схемы одновременно к понятиям и суждениям не означает, что положение любой концепции будет одинаковым на

618

Рис. 2

разных уровнях. Так. например, одними из распространенных позиций на сегодня являются платонизм на уровне понятий и формализм на уровне суждений.

Из схемы также видно, что априоризм тесно соседствует с эмпиризмом, а, кроме того, интуиционизм, который имеет общие черты с априоризмом, находится на противоположном конце от­носительно эмпиризма. 

КОММЕНТАРИИ

Каждая концепция математики предлагает свою интерпрета­цию языка математики. Странно, что это естественное и достаточ­но простое соображение не использовалось ранее при исследова­нии соотношения математического априоризма и математического эмпиризма.

Техническая реализация указанной стратегии сравнительного изучения априоризма и эмпиризма в математике осуществлена посредством построения и изучения двумерной шкалы (схемы), ранжирующей степень взаимосвязи внутри двух уровней языка математики, а именно, взаимосвязи понятий и вза­имосвязи суждений. Если считать, что каждая философская кон­цепция математики формирует свои требования к степени взаи­мосвязи математических понятий, а также степени взаимосвязи математических суждений, то все философские концепции мате­матики займут свое место на данной двумерной шкале. Автор на-

619

мечает места концепций, специально останавливаясь на положе­нии априоризма и эмпиризма. Я полностью согласен с основным выводом, что априоризм и эмпиризм в математике при таком под­ходе (если рассматривать даваемые ими интерпретации языка ма­тематики) оказываются близкими друг другу.

В то же время хотя принципы построения данной шкалы и показались мне ясными, но они недостаточно детально «пропи­саны», в силу краткости статьи очерчены слишком конспектив­но. И поэтому некоторые детали предложенной двумерной шка­лы можно оспорить. Например, в одном измерении шкалы (см. рис. 1, представленный в виде системы координат «в измерении понятий») присутствуют одновременно понятия и термины, хотя, по-моему, следовало бы говорить либо о понятиях, либо о терминах (лучше всего было бы рассматривать термины только как исторически имевший место этап представления понятий). Неясно также, почему формализм на шкале расположен в более «радикальном» месте, нежели логицизм (может быть, их следо­вало расположить в обратном порядке?). Почему, наконец, на шкале интуиционизм соседствует и даже пересекается с эмпи­ризмом, а в сопровождающем тексте сказано, что он «находится на противоположном конце относительно эмпиризма»? Данные неточности и недостаточно убедительные утверждения остаются на совести автора. Однако обнаруженный им инструмент срав­нительного исследования философских концепций математики (сравнительный анализ представлений этих концепций о языке математики) я считаю необычайно перспективным и могущим дать много принципиально новых результатов в философии ма­тематики.

В работе проводится сравнение различных концепций математики, которым ставятся в соответствие облас­ти на плоскости. Расположение областей определяется при по­мощи пары шкал, учитывающих степень «связанности» понятий (либо суждений) данной теории и степень формализованности математического языка. Возможно уточнение положения конк­ретных концепций на схеме, однако больший интерес представ­ляет обсуждение самого способа классификации.

В первом случае рассматриваются связанность понятий (число уровней) и наличие соответствующих терминов, т. е. воз­можности языка математики. При этом считаются различными и помещаются на разных уровнях понятия объектные, операци­онные и понятия логических отношений. Такое деление является достаточно условным: с одной стороны, операции и отношения также можно считать объектами теории и размещать соответ­ствующие понятия на одном уровне, например, теория мно­жеств сводит функции и отношения к понятию множества; с другой стороны, можно, в духе теории типов, вводить новые уровни «по построению», располагая понятие на более высоком уровне по отношению к тем, через которые оно определено. Кроме того, не только понятия высшего уровня связываются при помощи суждений. Иерархия уровней понятий может быть целиком описана в терминах суждений, поскольку связанность понятий рассматривается как наличие утверждений о свойствах математических объектов, отношениях между ними, свойствах отношений и т. д.

Содержательно шкала связанности понятий выражает сте­пень развития теории, сложность математического аппарата, ис­пользуемого различными математическими школами в разные периоды истории.

Поскольку для выражения сложных отношений требуется соответствующая терминология, «в среднем» большим значениям на шкале связанности понятий должна отвечать большая степень формализации языка.

То же можно сказать и о другой паре шкал. Шкала связан­ности суждений измеряет уровень строгости при обосновании утверждений, в том числе на метауровне, т. е. глубину анализа рассуждений, степень «рефлексии». Формализация делает воз­можной компактную запись сложных соотношений, облегчаю­щую проверку длинных выводов, поиск ошибок. При движении от теории к метатеории неформализованным может оказаться, вероятно, только самый верхний уровень, нижние «слои», с ко­торыми работает метатеория, должны быть уже достаточно четко описаны.

Если между сложностью используемых в теории конструк­ций, требованиями к строгости доказательств, с одной стороны, и степенью ее формализованности, с другой, существует прямая связь, то признаки, по которым оценивается концепция, не яв­ляются независимыми. В этом случае предлагаемая схема в дей­ствительности может оказаться одномерной. На помещенной в статье диаграмме области, обозначающие рассматриваемые кон­цепции, располагаются вдоль некоторой линии. Интересно было бы уточнить, какие концепции отклоняются от «диагона­ли» и как можно интерпретировать такое смещение. Можно ли считать значимые отклонения от «линейной зависимости» про­явлением «излишней»/«недостаточной» формализованности язы­ка для данного уровня развития теории?

621

620

Для ответа на эти вопросы необходимо уточнить терминоло­гию, более четко указать способ определения значений парамет­ров для каждой из используемых шкап при описании конкретной концепции. Взаимное расположение концепций на схеме желательно обосновать, сравнивая количественные характеристики. Рассматривая каждую концепцию, необходимо также пояснить, идет ли речь о времени возникновения данного направления, о современном или ином этапе в истории математики.

ОТВЕТ АВТОРА

Должен признать, что предлагаемая схема еще не является четко проработанной. Моей целью было показать возможности анализа языка математики не замыкаясь на логическом анализе, как это делали неопозитивисты. Поэтому схема не сводится к те­ории множеств с теорией типов. Конечно, предлагаемая шкала (не ось) степени связанности не безупречна, но она позволяет анализировать концепции математики, в отличие от шкалы, свя­занной с уровнями теории типов.

Не соглашусь также и с тезисом о том, что корреляция со­держательной и формальной частей концепции является необхо­димой. Конечно, рисунок провоцирует на такой вывод, но на нем отражены лишь «классические» теории, появившиеся до теорем Геделя. На мой взгляд, и это одна из целей применения приве­денной схемы, после работ Геделя концепции начали расползаться в разные стороны от этой оси — шкала из одномерной превра­щается в двумерную. Развитие компьютерных вычислений, на мой взгляд, приводит к увеличению роли формальной стороны математики в ущерб содержательной. С другой стороны, в топо­логии содержательная сторона доминирует над формализмом. Расположение концепций на схеме является достаточно услов­ным, о чем говорится в статье. Та область, которую занимает концепция, не связана со временем, она связана с различными взглядами сторонников концепции на язык математики. Хотя нечеткость схемы, ее измерений, отсутствие количественных срав­нений — безусловно, серьезный недостаток, который предстоит исправить.

Наконец, хотел бы поблагодарить за критические замечания к моей статье, которые позволили увидеть новые возможности для развития схемы.