Математика и опыт (стр. 29 )

Очевидно, что понятие бесконечности шире понятия беско­нечного множества, и представление о потенциальной бесконеч­ности неприменимо к множеству (в канторовском смысле), так как после добавления каких-либо элементов следует говорить уже о двух множествах — старом и новом. В теории множеств рассматриваются только актуально заданные конечные и беско­нечные множества. Математика, основывающаяся на теоретико-множественных представлениях, «позволяет себе рассуждать о "бесконечных множествах" как о законченных неконструктивных "объектах"» (, Теория алгорифмов. М., 1996. С. 11). Таким образом, в рамках канторовской теории потенциальную бесконечность правильнее представлять как актуально бесконечную систему конечных множеств. Другой спо­соб моделирования потенциальной бесконечности заключается в определении отношения линейного порядка на счетном множе­стве, задающего «последовательность добавления элементов». Таким образом, понятия потенциальной и актуальной бесконеч­ности могут не только противопоставляться, но и выражаться одно через другое.

Что касается различения внешнего и внутреннего отрица­ний, которое также подвергается критике, то здесь я ограни­чусь обсуждением специфики «диагональных рассуждений» с учетом особенностей использования отрицания в каждом кон­кретном случае, как это сделано применительно к теореме Геделя . Корректность отождествления внешнего и внутреннего отрицаний в этом случае означает корректность до­казательства существования объектов, построенных посредством диагональной процедуры. Подобные объекты используются, на­пример, в доказательстве существования несчетных множеств, которое анализируется в работах [9—11].

386

Вопрос о степени «естественности» и логической обосно­ванности введения несчетных множеств сохраняет актуальность и в отношении бесконечных множеств в целом. Действительно, из опыта (явным перечислением элементов) могут быть получе­ны только конечные множества. В рассуждениях о бесконечных множествах можно было бы потребовать, чтобы они во всем походили на конечные, поскольку и те и другие называются множе­ствами. Подобное требование неизбежно приводит к противоре­чиям, так как бесконечным множествам присущи некоторые «странные» свойства: числовое множество может не иметь наи­большего и наименьшего элемента, биективно отображаться на собственное подмножество и т. д. Наличие указанных противо­речий порождает альтернативные способы построения теории: следует либо отказаться от дальнейшего изучения (и примене­ния в математике) таких необычных совокупностей, либо посту­лировать, что бесконечные (например, счетные) совокупности также являются множествами, но с новыми свойствами (по это­му пути пошел Г. Кантор). Далее можно перейти к рассмотре­нию несчетных множеств, которые отличаются от счетных, и снова либо остановиться (полагая, что таких множеств «не мо­жет быть»), либо повторно расширить класс множеств. В канто­ровской теории множеств вопрос «законности» решается сразу для всей лестницы мощностей при помощи аксиомы степени, постулирующей существование множества подмножеств, и аксио­мы выделения.

Аналогичная альтернатива возникает и при рассмотрении упо­рядоченных бесконечных множеств. Можно заметить, что струк­тура доказательства теоремы о втором числовом классе подобна структуре антиномии Бурали—Форти о совокупности всех поряд­ковых чисел. В первом случае к противоречию приводит предполо­жение о счетности второго числового класса, во втором — предпо-можение о том, что совокупность всех порядковых чисел является множеством. В каждом из случаев показано, что рассмотренные пнюкупности не являются множествами в ранее известном смыс­ле этого слова, однако выводы относительно рассматриваемых обьектов делаются противоположные: второй числовой класс признается множеством, а совокупность всех порядковых чисел — нет.

Подобную ситуацию можно продемонстрировать и на более принычном примере — числах. Для приближенных расчетов вполне достаточно рациональных чисел, например, карманный калькулятор оперирует конечным множеством чисел с фиксированным количеством знаков в мантиссе. Этому множеству не принадле­жат Ö 2 и p. Возможно ли «доказать», что они и им подобные

387

являются числами? Доказательство отсутствия у некоторого урав­нения рациональных (либо положительных, действительных) ре­шений не является доказательством существования иррациональ­ных (соответственно, отрицательных, комплексных) чисел. Так как в практических вычислениях можно обходиться без иррацио­нальных чисел, имеются две возможности: следует либо считать числами только рациональные и не рассматривать такие объекты, как Ö 2 или p. (выражая, например, отношение длины окружности к ее диаметру числом 3,14), либо ввести класс действительных чисел и постулировать существование чисел, отличных от рацио­нальных. Во всех рассмотренных выше случаях имеются теоремы, опровергающие предположение о принадлежности объекта неко­торому классу, однако необходимость расширения класса объек­тов не вытекает автоматически из такого опровержения, а требует отдельного обоснования.

В статье рассматриваются совокупности, не обязательно являющиеся множествами. В какой мере можно при­знать их «законными»? С точки зрения «наивной» теории мно­жеств, необходим выбор: назвать эти совокупности множествами либо же считать их «несуществующими». Проведя некоторые рассуждения относительно свойств последних, можно доказать, что они не являются множествами, но именно возможность таких рассуждений и их результаты позволяют рассмотреть более общее (по сравнению с множеством) понятие «совокупность». При этом появляется возможность говорить о незавершенных, потенциаль­но бесконечных объектах метаматематики.

I. О доказательствах Кантора и Геделя.

Нарушение аристотелевской логики эйдосов подмечено пра­вильно. Кантор использует на самом деле еще не сформулирован­ную в его время аксиому выделения Цермело как определяющую подмножества какого-то множества, и отрицание для универсу­ма этих подмножеств корректным образом понимается как внут­реннее.

Появляющееся с помощью диагонального определения гипо­тетическое множество между тем имеет именно «эйдетическое» определение, и это не случайно, потому что множеств с «только существованием» из аксиомы выбора и более сильных аксиом для содержательной математики не хватает.

Те же соображения mutatis mutandis применимы и к геделевскому доказательству неполноты формальной арифметики. Ана-

388

лиз автора, указывающего на переход от рекурсивных к перечис­лимым множествам, правилен, что не означает, однако, замены внешнего отрицания внутренним, поскольку переход предшествует применению отрицания. Но, разумеется, в обоих доказательствах нужно сначала расширить понятие множества «за пределы опы­та», т. е. за пределы «эйдетических», или разрешимых, множеств.

2.  Об отрицании в исчислении предикатов.

Мне не очень понятно, почему под отрицанием в исчислении предикатов нужно понимать «внешнее» отрицание. Как вообще понимать это исчисление, отвлекаясь от предметных областей? Рассказ о нем следует вести именно с квантором по области зна­чений переменных. Иначе непонятно, о чем речь.

3. С общим выводом я согласен. Если метаматематика призва­на интерпретировать математику, ей нужны абстрактные принци­пы. Интересно было бы очертить границы применимости «эйдети­ческой» («родовидовой», по терминологии автора) логики в этом направлении.

ОТВЕТ АВТОРА

Начну с ответа , без критических работ кото­рого данная статья если бы вообще и появилась, то, во всяком случае, не «так скоро». Не буду спорить, построение актуальной родовидовой иерархии для универсальной предметной области, увенчивающее авторский замысел гармонической логики, свело бы значение представленной работы к нулю. Вместе с тем, и это никакой не секрет для Вадима Кармленовича, «гармонизация» умопостигаемого универсума — глубоко нетривиальная задача. Укажу в связи с этим на одну из трудностей, которая требует своего разрешения.

В случае построения указанной родовидовой иерархии разли­чие между внешним и внутренним отрицаниями в логике должно стать чисто формальным, т. е. лингвистическим. В нынешнем, «промежуточном» состоянии гармонической логики это условие пока не выполняется, причем как раз в отношении этих двух видов отрицаний. Внешним отрицанием метасуждения «Суждение р ис­тинно» (р — логическая переменная) является метасуждение «Суж­дение р не яазяется истинным» или, эквивалентно, «Суждение р является неистинным». Последнее же в гармонической логике может быть заменено на следующую строгую дизъюнкцию: «Суж­дение р либо бессмысленно, либо является недостаточно опреде­ленным, либо ложно». Внутренним отрицанием исходного мета-

389

суждения (в предположении, что для содержания суждений р за­дача отождествления внешнего и внутреннего отрицаний решена) должно стать метасуждение «Суждение р ложно», которое не тож­дественно внешнему отрицанию.

В приведенном рассуждении в качестве суждений р достаточ­но взять только суждения, касающиеся реального мира и входя­щие в обиход современной человеческой мысли. Если считать для них тождественность внешнего и внутреннего отрицаний имею­щей место, то на метауровне различие двух видов отрицаний все равно должно проявиться. В окончательной редакции гармони­ческой логики все проблемы подобного рода, связанные с соот­ношением объектного уровня и метауровней, должны быть удов­летворительным образом разрешены. Отсутствие в этом полной ясности сохраняет, на мой взгляд, актуальность рассмотрения воп­роса о степени «всеобщности» теоремы Геделя по отношению ко всему человеческому знанию с позиций «старой» аристотелевской логики.

Рассмотрим, далее, конкретные замечания , касающиеся степени «защищенности» работы «Метаматематика и опыт» от содержащейся в его работах критики формальной ло­гики и канторовской теории множеств.

Понятие потенциальной бесконечности, к которому Гильберт сознательно прибег в своей метаматематике, чтобы «спасти» по­нятие актуальной бесконечности собственно в математике, про­тиворечиво только с точки зрения «сильного закона тождества» (закона противоречия), который великий немецкий математик не собирался ограничивать на объектном уровне. Напротив, до­казательство непротиворечивости аксиоматических систем и должно было обосновать «сильный закон тождества» в теорети­ко-множественной математике при помощи более слабого зако­на тождества, утверждающего на неформальном уровне необхо­димость вкладывать в одни и те же слова постоянный смысл, а на формальном математическом языке записывающегося соотношением а = а в исчислении предикатов с равенством. Дедуци­ровать средствами метаматематики сильный закон тождества из его слабой версии не получилось, однако это лишний раз под­тверждает, что на содержательном метауровне Гильберт вовсе не предполагал закон противоречия a priori выполненным. Но в та­ком случае его не должна была волновать возможная противоре­чивость потенциальной бесконечности (слова «не должна» сле­дует понимать с точки зрения естественного в данном контексте историко-научного подхода). Во всех рассуждениях статьи мною везде использовался только слабый закон тождества и «релевант-

390

ный» ему закон контрапозиции вместо более сильного закона противоречия, поэтому возможная противоречивость потенциальной бесконечности, недопустимая для теории множеств, но не доставляющая неприятностей гильбертовской метаматематике, которая не предполагает априорной выполнимости постулатов теории множеств на метауровне, не страшна и для содержащего­ся в статье анализа геделевской критики замысла Гильберта.

Что касается корректности обоснования утверждения пунк­та 3 о том, что совокупность Т теорем формальной арифметики является не-множеством «расселовского» типа, то это утверждается исключительно в рамках аристотелевской родовидовой ло­гики (в рамках современной «канторовской» логики и в рамках создаваемой гармонической логики данное утверждение теряет силу). В его обосновании использовалось только сравнение фор­мы получающегося противоречия «п Î Т и п Ï Т» с правилами родовидовой логики, а также ограничение класса множеств только теми совокупностями, для которых по отношению к произвольному элементу х из универсума выполняется либо ус­ловие х Î Х", либо противоположное условие х Ï X.

Почему в статье уделяется столь большое внимание именно аристотелевской родовидовой логике? Это вызвано двумя различ­ными обстоятельствами. Во-первых, в ней в отличие от современ­ной формальной логики (и гармонической логики тоже) два вида отрицания различаются не только лингвистически, но и по смыс­лу. Во-вторых, что особенно существенно с точки зрения проблематики конференции, именно аристотелевская логика в отличие от ее современной «канторовской» версии «близка» к опыту, как это обосновывается в первом параграфе работы. Гармоническая логика в отличие от «канторовской» также будет благодаря родо­видовой структуре хорошо согласована с опытом, но для этого необходима актуальная родовидовая иерархия не только понятий, отражающих чувственную реатьность, но и всех осмысленных «аб­страктных конструктов». Последнее от аристотелевской логики не требуется.

Теперь о замечаниях . При оценке тех или иных новаций всегда уместен «здоровый консерватизм», отсеивающий сходу концепции, единственная цель которых ограничивается «со­трясением основ». Именно с этой точки зрения я рассматриваю чрезвычайно деликатные критические соображения, содержащи­еся в комментарии Валентина Александровича. Постараюсь в меру сил откреститься от подозрений в «революционаризме».

Замечания относительно корректности разде­ления в работах [9—11] совокупностей на множества и не-множе-

391

ства заслуживают обстоятельного ответа, от которого здесь меня удерживают два извинительных, на мой взгляд, обстоятельства: вполне понятные ограничения на его объем и, что более существенно, моя осознанная попытка обосновать в данной статье указанное разделение на иных, более прямых, соображениях, которые я повторил несколькими строчками выше. Да, эти соображения «экстенсиональны» и не учитывают возможностей интенсиональ­ного подхода, но, по моему глубокому убеждению, интенсиональ­ная логика в настоящее время фактически не используется в «эмпирических» науках и потому в контексте «Метаматематика и опыт» может — пока?! — не рассматриваться. На этом же основании я не хотел бы сопоставлять свой анализ и с подходом, основывающим­ся на паранепротиворечивой логике: в настоящее время и она не используется в качестве прикладного инструмента в эмпиричес­ких науках.

Что касается ссылок на различные математические результа­ты (в том числе теорему Париса—Харрингтона), то вопрос о том, в какой мере они согласуются не только с фактически использо­ванной «канторовской» логикой, но и с аристотелевской, заслуживает всяческого внимания. Под «подозрение» ставится не их чисто математическая значимость, а значимость их для наук за пределами собственно математики (в том числе для философии), поскольку те де-факто пользуются аристотелевской логикой.

Резюмируя: в работе проблематизируется не математическая, а общенаучная (и лишь постольку — метаматематическая) значи­мость теоремы Геделя. Поэтому появление важных применений неклассических логик в естественных и гуманитарных науках по­будило бы к пересмотру и выводов рассматриваемой работы.

При обсуждении замечаний и нам удобно будет остановиться сначала на моментах, связанных с со­держанием понятия множества, отложив анатиз проблематики соотношения внешнего и внутреннего отрицаний на самый конец.

не согласен с утверждением о «неэйдетическом» характере «диагональной совокупности». В качестве дополнитель­ного аргумента в защиту «неэйдетичности» можно привести сооб­ражения, связанные со сложностью выделения элементов подмно­жества А множества X из п элементов. Если количество элементов подмножества А порядка п, то для отделения их от не входящих в А элементов Х требуется порядка п2 операций сравнения. Если же подмножество Z задается не простым перечислением своих эле­ментов, а при помощи диагональной процедуры, то для «определивания» каждого из подмножеств вида f(х), где х Î Х, требует­ся такое же число сравнений, а вместе с проверкой условий х Ï f(x)

392

это даст в результате п3 операций. Иными словами, «диагональная совокупность» Z устроена, с алгоритмической точки зрения, слож­нее любого задаваемого непосредственным перечислением эле­ментов подмножества А. Для больших значений п произвольные подмножества множества X вряд ли вправе претендовать на эйдетичность. Тем меньше оснований для этого у «диагональной со­вокупности».

Предложение о расширении понятия множества за пределы «эйдетических», или разрешимых, множеств выглядит естествен­ным, однако каким образом это можно сделать, мне совершенно не ясно. Форма противоречия «t Î Z и t Ï Z» должна вступать в конфликт с любым родовидовым расширением аристотелевской логики, допускающим рассуждения о «логическом будущем», ввиду минимальности требований, предъявляемых совокупности для того, чтобы быть множеством.

предлагает воспользоваться более совершенны­ми представлениями о природе множеств, развитыми Б. Рассе­лом и другими исследователями. На мой взгляд, подобный подход должен развиваться параллельно изысканиям в области логики. Если же сохранить аристотелевскую логику, то форма противоре­чия «t Î Z и t Ï Z» будет одинаково «неудобна» как для «платонистской», так и для «номиналистической» трактовок понятия множества.

Перейдем, наконец, к замечаниям, связанным с использова­нием различения внешнего и внутреннего отрицания примени­тельно к анализу первопорядковых теорий в математической ло­гике. При их рассмотрении я воспользуюсь идеями из подготовительных материалов к работе [16], не включенных в ее окончательный вариант.

Суть замечаний сводится к тому, что в исчисле­нии предикатов предикат следует считать заданным только в том случае, если указана его область определения. Тогда противопоставление внешнего отрицания внутреннему потеряет смысл и по­строениям математической логики ничто угрожать не будет.

Заметим, что это условие фактически лишено смысла приме­нительно к предикатам, входящим в схемы чистого исчисления предикатов, поскольку к ним могут добавляться нелогические ак­сиомы любого характера, и, следовательно, они могут «обслуживать» любую предметную область. Попробуем, однако, реализо-иать на практике идею фиксации области определения предиката.

Пусть Р(х) — предикат «четный». Областью его определения является множество целых чисел, задаваемое предикатом «целый» Q(х). Внутреннее отрицание предиката «четный» будет тогда задаваться формулой

393

ù(Р(х)) = Q(x) & ù Р(х),

где ùР(х) — предикат «не являющийся четным». Здесь предикат Q(x) отвечает за проверку аргумента на соответствие области оп­ределения предиката Р(х). Таким образом, для получения отрица­ния предиката необходимо задать как минимум два предиката — сам отрицаемый предикат и предикат, задающий его область оп­ределения. Но задание предиката Q(x) требует, в свою очередь, задание и его области определения, которой соответствует третий предикат R(x). В результате получается, что требование соблю­дения внутреннего характера операции отрицания предполагает построение явной родовидовой иерархии предметной области. В случае последовательного применения этой идеи к чистому ис­числению предикатов дело свелось бы к построению актуальной родовидовой иерархии в универсальной предметной области (на это, заметим, и претендует гармоническая логика ). Так как в математической логике этим специально не занимаются, то в результате и приходится трактовать операцию отрицания «внешним» образом.

Что касается замечания из п. 1.2 комментария , то складывается впечатление, что оно навеяно внешним видом взятой в исчисление предикатов в готовом виде из пропозиционального исчисления схемы аксиом

(ùB ÉùA) É ((ùBÉA)ÉB).

Исчисление предикатов в отличие от исчисления высказываний внутренне приспособлено (хотя бы посредством произнесения соответствующих фраз на естественном языке) к отражению субъектно-предикатной структуры суждения, и ссылка на номиналисти­ческую переформулировку статуса логико-математических объек­тов, как представляется, ничего не меняет в сути аргументации работы [16].

Построение в п. 2.1 различных видов отрицаний представляет интерес с точки зрения логики как таковой (замечу, что подобно­го рода построения содержатся в цитированной в статье работе [17]), однако вряд ли существенно в контексте более узкой про­блемы «Метаматематика и опыт», как я это уже отмечал в ответах на замечания . Современная формальная логика в некоторых аспектах не менее далека от реальной практики «эм­пирических» наук, нежели теоретико-множественная математика. Особая роль аристотелевской родовидовой логики в статье вызва­на именно ее ролью вне «канторовской» математики и новейших разделов современной формальной логики.

АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ

И ПРОБЛЕМА ОБОСНОВАНИЯ

ПРИМЕНИМОСТИ ТЕОРЕТИКО-МЕРНОЙ

ТЕОРИИ К РЕАЛЬНЫМ

СЛУЧАЙНЫМ СОБЫТИЯМ

X. Крамер, размышляя над историей теории вероятностей, заметил, что «если в 1920 году она едва ли заслуживала название математической теории, то в 1945 году вступила в послевоенный мир в качестве хорошо организованного раздела чистой математики, обладающего собственными задачами и методами и посто­янно расширяющимися сферами приложения в других науках, так же как и в различных видах практической деятельности»1. Действительно, переворот в теории вероятностей, завершив­шийся появлением и признанием научным сообществом фунда­ментальных результатов , не только карди­нально преобразовал уже существующее знание, но и открыл принципиально иные возможности получения мощных матема­тических результатов, существенно расширивших область при­менения теоретико-вероятностных методов. Однако было бы неверным утверждать, что теоретико-мерную аксиоматику при­няло подавляющее большинство ученых, многих из которых от­талкивали ее абстрактность и возникающие интерпретационные трудности. Не случайно, публикуя в 1961 г. написанную еше в 1934 г. статью Хинчина с критикой теории Мизеса, отмечал, что «внешне привлекательные и убедительные на первый взгляд концепции Мизеса продолжают находить много­численных сторонников, особенно среди представителей внематематических направлений исследований»2. Более того, работы Э. Бореля, написанные им после появления теоретико-мерной аксиоматики, в которых он из принципиальных соображений не использует аппарат теории меры, свидетельствуют о том, что и для математика, стремящегося к приложению теоретико-вероят­ностных методов, аксиоматика Колмогорова могла быть камнем преткновения из-за наличия ряда интерпретационных проблем.

Интерпретационная схема, предложенная Колмогоровым в 1933 г., не разъясняла, почему приложение теоретико-мерной теории вероятностей к решению естественно-научных проблем должно давать хорошие результаты, однако удивительным обра­зом рецепт применения, предложенный Колмогоровым, никогда

 395

не подводил. Поэтому в течение нескольких десятилетий после создания аксиоматики основные усилия ее сторонников были сосредоточены на получении далеко идущих математических результатов, в то время как проблема обоснованности применений стояла на втором плане. При этом ученые, применявшие теоре­тико-мерную теорию вероятностей, пытались дать неформальное обоснование эффективной применимости, пользуясь, как это ни парадоксально, языком отвергаемой ими в качестве логической основы теории вероятностей частотной концепции Мизеса. «Я уже высказывал точку зрения, — писал в 1963 г. Колмогоров, — что основой применимости математической теории вероятностей к случайным явлениям реального мира является частотный подход к вероятности в той или иной форме, неизбежность обращения к которому горячо доказывал фон Мизес... Я иногда выдвигал частотный подход к вероятности, включавший сознательное ис­пользование не вполне формальных соображений о "практичес­кой достоверности" "приблизительного постоянства частот при больших сериях испытаний" без точного описания того, какие серии "достаточно велики" и т. д.»3

Интерпретационные трудности были связаны прежде всего с истолкованием понятия вероятности. Обычно предполагалось, что при условии достаточно большого числа испытаний отноше­ние количества благоприятных исходов к общему количеству испытаний всегда дает число, близкое, а в пределе равное веро­ятности {или, пользуясь языком аксиоматики Колмогорова, мере) рассматриваемого события. «Однако сказать "всегда" здесь было бы неверно: строго говоря, это происходит не всегда, а лишь с вероятностью 1 (а для конечных серий испытаний с вероятнос­тью, близкой к 1. Тем самым понятие вероятности произвольного события определяется через понятие события, имеющего веро­ятность, близкую (а в пределе равную) единице, которое, следо­вательно, уже нельзя определить таким способом без явного ло­гического круга"4. Таким образом, неформальное использование частотных соображений без использования аксиом Мизеса не по­могало прояснению ситуации. Правда, формулировка самих ак­сиом Мизеса была совершенно неудовлетворительной с логиче­ской точки зрения5.

Поиски выхода из создавшегося положения, а также путей преодоления методологического кризиса в области, связываю­щей теорию вероятностей с ее приложениями, и привели наряду с другими факторами к созданию в начале 60-х гг. алгоритми­ческого подхода в теории вероятностей. Наибольший вклад и построение новой концепции внесли , Д. Соломоноф и ПА. Мартин-Леф. Важнейшей работой Колмогорова,

396

непосредственно предшествовавшей выдвижению алгоритмических идей в теории вероятностей, была написанная в 1956 г. глава «Теория вероятностей» в обзорном труде советских математиков «Математика, ее содержание, методы и значение».

В процессе построения теоретике-мерной аксиоматики Кол­могоров и его последователи из всего комплекса философско-методологических проблем теории вероятностей обсуждали глав­ным образом их собственно методологическую часть (уровень абстрактности аксиом, принципы построения аксиоматики, вы­бор основных, неопределяемых понятий). Но в упомянутой нами работе Колмогоров вполне определенно ставит и пытается ана­лизировать онтологические и гносеологические проблемы, связанные с определением понятий случайности и необходимости, со статусом вероятностных и статистических закономерностей в структуре реальности.

Одним из фундаментальных представлений здравого смысла является представление о том, что случайность события означает отсутствие всякой закономерной связи между событием и комп­лексом условий, при котором зафиксировано его появление. Ра­зумеется, такое представление не может стимулировать создание и развитие науки о случайном, ибо в структуру понятия науки необходимым образом входит понятие закона (закономерности). В связи с этим стоит напомнить, что с точки зрения частотной концепции Мизеса говорить о каких-либо закономерностях появления единичного случайного события бессмысленно — зако­ны теории вероятностей могут давать ответ на вопрос о поведе­нии больших совокупностей событий—коллективов, в то время как утверждение о численном значении вероятности какого-либо отдельного события в рамках данной концепции не явля­ется допустимым.

Колмогоров вслед за 6 считает вполне воз­можным в теории вероятностей утверждение о вероятности по­явления отдельного случайного события А. Такая точка зрения неявно предполагает наличие определенной закономерности между событием А и комплексом условий S, при котором оно происходит или не происходит. Это предположение, столь необходимое для приложения математической теории вероятностей на практике, соответствует онтологическому принципу диалек­тической философии (как материалистической, так и идеалистической), гласящему, что случайность есть проявление необхо­димости. Надо отметить, однако, что упомянутый философский принцип, стимулируя поиски закономерностей, управляющих случайными явлениями, сам по себе мало что проясняет в суще-

397

стве проблемы создания прозрачной интерпретационной схемы приложения теории вероятностей.

Естественно считать, что природа закономерностей, описы­вающих яаления, которые мы называем случайными, существен­но отлична от закономерностей, управляющих событиями, называть случайными которые у нас нет достаточных оснований. Поэтому в отличие от динамических или однозначно определен­ных закономерностей закономерность, связывающую случайное событие А с комплексом условий S, мы вслед за Колмогоровым будем называть вероятностной. Так, можно говорить о сущест­вовании вероятностной закономерности, связывающей попада­ние в цель единичного выстрела при данных условиях стрельбы, или срок службы какого-либо прибора — с качеством исходных материалов и технологией его изготовления.

Как отмечал В. Феллер. говоря о теоретико-мерной теории вероятностей, «успех современной математической теории веро­ятностей приобретен следующей ценой: теория ограничивается лишь некоторыми сторонами общего предмета»7, а именно тем, что «может быть названо физической, или статистической, веро­ятностью»8. Другими словами, отвергая частотный подход Мизеса как принцип построения теории, математическая теория вероят­ностей формулирует лишь такие вероятностные закономерности, которые, будучи интерпретированными, могут быть выражены через закономерности частотного типа (или статистические, как их принято называть), которые Мизес сделал единственным пред­метом своего исследования. Только тогда, когда существует ус­тойчивость частот появления или непоявления данного события в больших сериях испытаний, современная математическая тео­рия вероятностей может быть использована для утверждения о наличии вероятностной закономерности. При этом статистичес­кая закономерность лишь отражает вероятностную закономер­ность, связывающую событие А с комплексом условий S.

В работе, опубликованной в 1956 г., Колмогоров приводит пример вероятностной закономерности, связывающей срок службы лампы с качеством материалов и технологией ее изготовления. Он замечает, что если рассмотреть графики n(T), вы­ражающие процент ламп, служащих не менее T часов, то оказы­вается, что эти графики при различных (но достаточно больших) сериях ламп мало отличаются друг от друга. Основываясь на этом свойстве больших совокупностей ламп, мы имеем возмож­ность утверждать о существовании вероятностной закономернос­ти, связывающей срок службы лампы с условиями ее изготовления. «Вероятностный закон, — отмечает Колмогоров, — задается при помощи функции Р(Т), где Р(Т) — вероятность того, что

398

отдельная лампа (произведенная при данных условиях) будет го­реть не менее Т часов»9. При этом существенно, что утвержде­ние о существовании у события А (срок службы отдельной лам­пы) определенной вероятности Р(А) = Р заключается в том, что в различных, достаточно больших сериях испытаний частоты появления события А [в данном случае v(A)] будут приблизи­тельно одинаковы и близки к Р. Гипотеза о существовании кон­станты Р, описывающей связь между событием А и условиями (в данном случае — это условия изготовления лампы), «к кото­рой частоты оказываются, "вообще говоря", тем ближе, чем больше число испытаний n, хорошо оправдывается для широкого класса явлений. Такого рода явления, — заключает Колмого­ров, — естественно называть вероятностно-случайными (или сто­хастическими)»10. Нетрудно заметить определенную расплывча­тость рассуждений о «близости» вероятности и частоты, однако эта расплывчатость в данном случае неустранима, ибо утвержде­ние о близости P и v имеет лишь вероятностный характер.

Таким образом, отход от представлений здравого смысла о природе случайного приводит на основе использования теорети­ко-вероятностных методов к выделению вероятностно-случайных явлений. Эти случайные явления характеризуются наличи­ем статистических закономерностей, которые отражают более фундаментальные, вероятностные закономерности. При этом если статистических закономерностей обнаружить не удается, то предположение о существовании каких-либо закономерностей, упраатяющих случайными явлениями, требует дополнительного обоснования. Отсюда следует особая важность самостоятельного научного и философско-методологического анализа статисти­ческих закономерностей, на чем определенно настаивал Мизес.

Чисто эмпирическое исследование статистических законо­мерностей вряд ли представляется возможным, тем более что тео­рия вероятностей обеспечивает возможность после установления экспериментальным путем некоторых исходных закономернос­ти логически выводить новые. При этом не поддающийся пол­ной формализации реальный смысл основных вероятностных понятий никак не влияет на полную формальную отчетливость аксиоматизированной теории вероятностей. Однако при таком подходе интерпретационние трудности не преодолеваются: они либо сглаживаются на уровне неформальных рассуждений, либо Новее игнорируются. Насколько велики должны быть по своей численности серии испытаний, чтобы можно было уверенно го­ворить о наличии или отсутствии свойства устойчивости частот интересующего нас события? Каковы могут быть допустимые отклонения частот друг от друга и от вероятности (или числа,

399

к которому «сходятся» частоты) при тех или иных численностях серий испытаний, чтобы считать применение теоретико-вероят­ностных методов обоснованными.

Уже получить ответ на эти вопросы оказывается очень не­просто, хотя, как отмечает Колмогоров, закон больших чисел и предельные теоремы теории вероятностей в определенной мере проливают свет на имеющиеся здесь неясности. «Существеннее другая скрытая в наших формулировках неясность, относящаяся к способу формирования тех серий, в которых должна наблю­даться устойчивость частот появления события А»11. Действи­тельно, способ формирования серий испытаний принципиально важен с точки зрения экспертизы явления на «случайность». Поэтому естественно, что «желая... искусственно создать но воз­можности чисто случайные явления, специально заботятся о том, чтобы никакими доступными средствами нельзя было зара­нее выделить те случаи, в которых явление А будет иметь тенденцию появляться чаше, чем с некоторой нормальной для него частотой»12. Руководствуясь именно такими указаниями, составляются, например, тиражи государственных займов. Отсюда можно заключить, что проблема формирования серий испыта­ний подспудно толкает исследователя к восстановлению в правах представления здравого смысла, гласящего, что случайность есть отсутствие закономерности.