Математика и опыт (стр. 42 )

Можно выделить три механизма «взаимодействия» априорного и апостеорного (соответственно, механизмы взаимопереходов априорного и апостеорного; изменения «степени» априорности), различающихся своими временными масштабами.

Основным из них яатяется механизм, действующий на уров­не локального познавательного акта. Франку [18], любой локальный познавательный акт может быть описан в виде суждения «А есть X», где А — обозначает то неизвестное, что познается, а X — известный предикат. Тем самым в рамках мо­дельной концепции познание есть не двучленное, а трехчленное

565

отношение между субъектом познания S, объектом А и репрезентатором (моделью) X: «S познает А как X», или «S познает А через посредство А»26. Тем самым имеющиеся у субъекта «знания» высту­пают как априорные фильтры, которые предопределяют процесс познания: познать можно лишь то, для чего у нас есть соответ­ствующий репрезентатор (модель) X. Однако в ходе познаватель­ного процесса происходит не только познание эмпирического А, но и уточнение априорного X, которое в самом начале познава­тельного процесса выступает как фантазийная (вообразительная) — может быть, ошибочная — априорная догадка. Если на начальных стадиях познания рассогласование между априорным Х опытом велико, то в ходе последующей модификации X (уточнения моде­ли) происходит такое его «насыщение», что позволяет говорить о появлении уже не изменяющейся впоследствии локальной априор­ной формы27.

При переходе на следующий более длительный временной — исторический — масштаб сформированная локальная априорная форма выступает (или входит как составная часть) уже как «пара­дигма» (Т. Кун), или «эпистема» (М. Фуко), или «онтологическое допущение» (У. Куайн), т. е. является фактором социокультурной обусловленности научного познания того или иного историчес­кого периода. В данном случае можно говорить об историко-куль­турном типе априорной формы, «степень априорности» которой по сравнению с локальными априорными формами значительно выше, а историческим транслятором априорности этого типа является механизм «социальных эстафет» (), например связка «учитель — ученик».

Наконец, на историческом макроуровне формируются наибо­лее устойчивые глобальные априорные формы, которые, например, соответствуют «архетипам» (К. Юнг) или «идолам рода» (Фр. Бэ­кон), Некоторые из них настолько устойчивы, что «встраиваются» в познавательный механизм человека чуть ли не на физиологи­ческом уровне и являются «врожденными» — типа кантовских априорных форм пространства и времени — априорными форма­ми28 (именно они имеют максимальную степень априорности, т. е. являются абсолютными a priori); другие — более вариабельны, хотя их историческая модернизация вследствие больших временных промежутков практически незаметна для нескольких поколений человечества.

Заключение

Суммируем основные тезисы нашего исследования.

1. (Основной тезис) Математика не является однородной — «одноцентровой» — научной дисциплиной. Говорить об единстве

566

математики надо с некоторой долей осторожности. По своей приро­де математика разнородна, в ее составе есть два различных «центра», «арифметика» и «геометрия» [или даже три «центра», если разли­чить арифметику как науку о числе и алгебру как науку об опера­циях (алгоритмах)]. Эпистемологический статус этих составляю­щих математического знания различен. Если «арифметическая» составляющая тяготеет к априорному метафизическому знанию, то «геометрическая» составляющая тяготеет к апостериорной «фи­зике». Следовательно, при решении вопроса об априорности математического знания надо учитывать ее неоднородный, «двух-центровый» характер. На протяжении истории развития матема­тического знания происходит последовательная смена основной «центровости» математического знания. В отдельные историчес­кие периоды преобладает либо «арифметическая» составляющая математики, либо ее «геометрическая» составляющая. Наряду с этим процессом «внутренней» флуктуации между «геометрией» и «арифметикой» статус математического знания в ту или иную эпоху определяется «внешними» детерминантами: математика сближа­ется то с «физикой», то с «метафизикой».

2. Высказанный в предыдущем пункте тезис о неоднороднос­ти математического знания должен быть дополнен указанием на иерархичность — «вертикальную» неоднородность — математи­ческого знания, что особенно проявилось (и было осознано) на более зрелом этапе ее развития (XX в.). Если в п. 1 математика мыслилась как двухчленная — арифметико-геометрическая — иерархия, то теперь оказывается, что и сами эти дисциплины нео­днородны, иерархичны. Например, согласно концепции Г. Кан­тора, в составе «арифметики» есть как «порядковые» (результат первой абстракции), так и «надпорядковые» — кардинальные — числа (результат второй абстракции). Тем самым внутренняя струк­тура математического знания еще более усложняется. Соответ­ственно это также накладывает существенные ограничения на ре­шение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, так как верхние ее этажи являются более «априорными», чем нижние.

3. Кроме того, необходимо отказаться от мифов (1) неизмен­ного статуса метафизических сущностей, к которым относятся кантовские априорные формы, и (2) абсолютного противопостав­ления «априорное vs. апостеорное», которое выражает лишь крайние степени шкалы «содержательное — формальное». Это проти­вопоставление имеет ограниченное методологическое примене­ние и значимо (а) для анализа простых познавательных практик и (b) на начальных этапах анализа сложных познавательных практик. При более детальном анализе знания (познания) это различение

567

является слишком грубым и теряет свою эвристическую ценность. В качестве альтернативы предлагается использовать оригиналь­ные концепции динамического априоризма и эпистемологического гилеоморфизма, являющиеся определенными вариантами априо­ризма.

Примечания

1 Впервые о применении этой методологии было заявлено нами в статье «Созна­ние и бесконечность» [1] (см. «электронные версии» этой статьи «Способ бы­тия сознательных объектов»: http://www, *****/library/ksl/katr_011.htm]; http://www. *****/library/ks[/katr_008.htm]. Обратим внимание на то, что здесь пропущена гегелевская категория, или этап анализа, «количества». Это связано с тем, что при проведении гуманитарного исследования, а в данном случае мы анализируем математику как социокультурный феномен, количе­ственный этап исследования вырожден до минимума.

2 Определенным аналогом «дискретного» подхода {непрерывность vs. прерыв­ность) М. Фуко в области естествознания является «парадигмальный» подход Т. Куна.

3 Восходящий к «археологии» М. Фуко вопрос об «историческом» единстве мате­матики, т. е. является ли она единым историческим феноменом, а не разроз­ненной цепью различных — «дискретных» — исторических практик, будем все время держать в уме на протяжении нашего исследования, хотя начнем его с несколько наивного предположения об исторической «непрерывности» мате­матической практики, вполне возможно, значительной модифицируемой, вплоть до постулируемых Фуко «разрывов», на протяжении ее истории.

4 Заметим, что отмеченный чуть выше «сериальный» подход М. Фуко очень бли­зок к концепции «семейного сходства» Л. Витгенштейна, предназначенной для анализа феноменов с «размытыми» границами и не имеющим единого концеп­туального ядра, к которым можно отнести любой исторический феномен, в том числе и математическую деятельность (см. изложение концепции «семейного сходства» в |3, с. 110—111]). Уточняя нашу методологию в данном исследова­нии, можно сказать, что мы придерживаемся сильного варианта концепции «семейного сходства», при котором некоторое общее «ядро» (математической деятельности) — пусть и довольно расплывчатое — все же можно указать. Сам же Л. Витгенштейн предложил слабую версию концепции «семейного сход­ства» для работы с такими «размытыми» в коннептуальном отношении фено­менами, для которых единую общую черту (формально «общее») указать в прин­ципе невозможно.

5 Заметим, что предложенное состоящее из двух частей разделение единого мате­матического псевдокомплекса на «геометрию» и «арифметику» является доста­точно устойчивым на протяжении всей истории математики (здесь и далее закавыченные «геометрия» и «арифметика» будут пониматься предельно широ­ко; они, в частности, «покрывают» вейловское различение «топология vs. алгеб­ра»), В данном случае это яапяется лишь предварительной гипотезой, которая обладает эвристическим потенциалом в пользу неоднородности математичес­кого знания. Принципиальным в данном случае является переход от единственности математики к множественности математик, а вопрос о «количе­ственной» стороне этого перехода в данном случае не так важен. Например, если обратиться к работе Н. Бурбаки «Архитектура математики», в которой высказан тезис об единстве математики, можно найти трехмастное разбиение «единой» математики на структуры топологии, алгебры и структуры отношения

568

порядка. К этому же близок и Г. Вейль, говорящий о наличии в математике промежуточных между алгеброй и топологией структур «количественных», или порядковых, чисел [4, с. 26]. Однако, несмотря на выявление в «единой» математике разнородных структур, вопрос о разнородности математики как таковой молчаливо обходится стороной. Заметим, что это связано с тем, что «внутри» математики действуют мощные «центростремительные» силы, восхоадшие еще к mathesis universalis Декарта—Лейбница, которые, согласно Бурбаки, проявляются, например, в единстве методов математической деятельности (аксиоматический метод) и создании единого математического языка и базиса (теория множеств). Хотя тот же Г. Вейль указывает на альтернативу аксиоматического метода — метод конструирования.

6 Памятуя об отмеченной Фуко ошибке «поспешного единения», вполне воз­можно, что вместо единою понятия «бесконечности» необходимо говорить о двух бесконечностях: топологической (непрерывной) бесконечности—континуальности и алгебраической (дискретной) бесконечности—множественности. В этом случае разрыв между «арифметикой» и «геометрией» остается.

7  Исходя из общих соображений, понятно, что вейлевское разделение математики на топологию и алгебру не строго соответствует античному разделению на геометрию и арифметику. Если античная геометрия в большей, мере соот­ветствует современной топологии, то различие между античной арифметикой и алгеброй более значительно. Это связано с тем, что собственно алгебра была привнесена в европейскую математику через Арабский Восток. Однако если в качестве критерия различения выбрать пару «дискретность vs. континуаль­ность», то сближение (отождествление) арифметики с алгеброй и геометрии с топологией вполне правомерно.

8 Вот как Прокл конституирует способность воображения: «Именно поэтому иног­да воображение решаются назвать "аффицируемым умом", Однако же, если это ум — как он может быть аффицируемым и материальным? И если он действует на основе аффектов, то правильно ли называть его умом? Ведь уму и умной природе (с чем, например, "работает" арифметика. — С. К.) соответству­ет неаффицируемостъ, а сфера аффектов далека от нее. Впрочем, я думаю, что воображение названо так в силу желания выявить его срединное положение между самыми, высшими и самыми низшими познавательными способностями: "умом" — поскольку оно имеет сходство с наивысшими, но в то же время — "аффицируемым", поскольку оно имеет сродство с низшими (т. е. познанием через органы чувств, как пишет Прокл чуть ниже. — С. К..)» [7, с. 137).

9  Заметим, что выделенная «внешняя» детерминация математического комп­лекса «внутри» пары «физика vs. метафизика», где «физика» и «метафизика» задают нижнюю и верхнюю границы возможного местоположения математи­ки, является как бы самой «внешней» детерминантой, т. е. одной из детерми­нант, по критерию априорности. Если же мы несколько меняем критерий анализа математического знания, например, нас интересует не его априор­ность, а близкие к ней степени его абстрактности, формальности (взаимоот­ношение с логикой), то можно выделять другие, «внешние» по отношению к математике «интервалы». В этом случае картина «флуктуации» математики будет более детальной, но его анализ усложняется. Поэтому здесь мы ограни­чимся заведомо упрощенной «картинкой», пренебрегая различиями между указанными критериями, т. е. понимаем «априорность» в расширенном — не­уточненном — смысле. Анализ и уточнение смысловых компонентов концеп­та «априорное» будут проведены ниже, во второй части нашего исследования.

10  В. задачи нашей работы не входит детальное исследование той интеллектуаль­ной революции в области математики, которую совершил Р. Декарт. Некоторое

569

представление о величии этого революционного переворота можно почерпнуть из приводимых ниже цитат исследователей творчества Декарта, взятых из учеб­ника «Западная философия от истоков до наших дней» Дж. Реале и Д, Антисе­ри (СПб., 1996. Т. 1 С. 208—211): «Геометрия греков может быть сравнима с изяшной ручной работой, алгебра арабов — с автоматическим производством. Мы можем сказать, что современная математика началась три столетия назад, когда алгебраические механизмы стати применять в геометрии и изучение кри­вых, поверхностей, геометрических фигур стало переводиться в изучение определенных уравнений» (Л. Ломбарде—Радиче): «Концепция Декарта наносит последний удар по концепции греков, геометрия окончательно утратила свой титул королевы математики, и на место геометрической математики приходит математика алгебраическая... Западная цивилизация, посредством применения двойного алгоритма в физике и механике, трансформировала облик Земли. Из фазы ручного труда математика перешла в фазу промышленного развития» (Э. Колериус). Как мы уже отмечали ранее, есть тонкое различие между (антич­ной) арифметикой и (арабской) алгеброй, которое связано с тем, что алгебра выступает как алгоритмо-функциональная «работа» с числами. Однако на этом этапе различием между арифметикой и алгеброй можно пренебречь и говорить об едином «арифметико-алгебраическом» математическом комплексе в его от­личие от геометрического комплекса. В настоящее время, время развития ЭВМ, алгебра (дискретная математика, программирование) выступает уже как третья самостоятельная составляющая, наряду с «геометрией» и «арифметикой», математики.

11 Обратим  внимание на одну удивительную особенность новой парадигмы мате­матики: ее онтологическим базисом в отличие от эпистемологии выступает уже не «арифметика», а «геометрия» в виде декартовской «субстанции протяжен­ной» {ср. с декартовой системой координат как общем «поле» любых представ­лений). Этот же ход мысли затем повторяется у И. Канта и будет настойчиво воспроизводиться в европейской культуре вплоть до начала XX в. (подробнее об этом см. ниже). Поэтому говорить о безоговорочной победе «арифметики» над «геометрией» (см. предыдущую ссылку) было бы слишком опрометчиво.

12 Заметим, что Кант существенно переосмысливает античную – аристотелевс­кую — «категориальную сетку», выводя из ее состава категории «места» и «времени». Причем эта редакция более радикальна, чем может показаться на первый взгляд, так как в аристотелевской категориальной сетке {см. соответ­ствующие главы аристотелевской работы «Категории»), по существу, рассмат­риваются две различные категории пространства и времени: (1) как разновид­ности категории «количества» («математизированные» анатоги пространства и времени как модусы непрерывного количества) и (2) как «физические» ка­тегории (собственно аристотелевские категории «места» и «времени»). Кант же анализирует лишь математизированные анаюги пространства—времени.

13 Заметим, что согласно Канту, математика по степени своей априорности (аб­страктности, теоретичности) значительно уступает «физике», что не согласу­ется с общепринятым сейчас положением о большей абстрактности матема­тического знания по отношению к другим наукам и указывает на значитель­ную модификацию кантовской парадигмы математики в настоящее время.

14 Статейный формат нашего текста не позволяет подробно анализировать кантовскую концепцию пространства—времени. Конечно, отношение Канта к категории «времени» намного сложнее, чем это представлено здесь. «Время» в отличие от «пространства» рассматривается Кантом не только как «чистое чувственное созерцание», но и как «посредник» между чувственностью и рас­судком. Однако в контексте нашей работы этим можно пренебречь, поскольку

570

категория «времени» у Канта все же не является категорией рассудка. Более того, анализ каитовской «Критики чистого разума» (далее — КЧР) показыва­ет, что сам Кант различает пространство и время как чувственные созерцания и рассудочные категории, но развернутого учения о категориальных простран­стве и времени (например, о трехмерности пространства и одномерности вре­мени) не дает. Более подробное изложение кантовского учения о времени можно найти в работе М. Хайдеггера «Кант и проблема метафизики» (хотя здесь предложена оригинальная и не всеми принимаемая интерпретация), а также в обстоятельном анализе «Время и сознание». Другим интересным развитием темы соотношения чувственного и рассудоч­ного является «реабилитация» пространства в качестве (рассудочной) катего­рии. Наметим здесь только основную линию такой «реабилитации», оставаясь в рамках априоризма. «Пространство» как априорное условие познания ока­залась настолько значимым для эволюционного выживания человека, что для повышения его биологической эффективности произошла модификация рассудочной категории «пространства» в сущность более «низкого» уровня — чистое чувственное созерцание «пространства», «работать» с которым намно­го эффективнее из-за более быстрого — без рассудочной рефлексии — «вре­мени загрузки».

15 Как уже отмечено выше, Кант, развивая принципиально новое — априорное — понимание пространства и времени, не дал их развернутой концепции, как впрочем у него нельзя найти и развитого анализа математической деятельности. Фактически он обозначил лишь начальные контуры этой концепции, а его анализ математики ограничен лишь элементарными примерами геометричес­ких — «чертежных» — доказательств. Поэтому приписывать самому Канту те или иные положения о природе математического знания представляется не­сколько натянутым. Учитывая это, мы все же рискнули назвать анализируе­мую нами концепцию математического априоризма «кантовской», поскольку (1) в ее основе лежат взгляды И. Канта о чувственно-априорной природе про­странства и времени, которые он использовал для анализа математического : знания; (2) именно так были восприняты и функционировали кантовские по­ложения в интеллектуальной культурной среде конца XVIII — начала XIXв.

16 Следуя выявленному нами феномену исторического чередования «арифметического» и «геометрических» периодов в развитии математики, можно ожидать, что на смену «алгебраизации» математики конца XIX — первой половины XX в., связанной с деятельностью Кантора. Фреге, Гильберта, должен прийти ренессанс «геометрической» компоненты математического знания, что и проис­ходит во второй половине XX в. и связано с появлением более «геометризированной» теории категорий как радикальной альтернативы «арифметическому» теоретико-множественному подходу. Неизбежным следствием этого является определенное снижение (внутреннего) эпистемологического статуса — степени априорности — математического знания при общем повышении степени ее абстрактности.

17 Как уже отмечалось выше, «метафизическая» позиция Фреге гораздо ради­кальнее канторовской. В самом начале своей работы «К обоснованию уче­ния...» Г. Кантор дает ставшее классическим определение множества: «под "множеством" мы понимаем соединение в единое целое определенных хоро­шо различимых предметов т нашего созерцания или мышления» [10, с. 173]. Как показывает текстологический анализ работ Г. Кантора, здесь «предмет» понимается в обычном — «эмпирическом» — смысле, а числа возникают пу­тем абстрагирования от предметов, что дало основание Г. Фреге отнести Г. Кан­тора как сторонника понимания математики как опытной науки [11, с, 48].

571

18 Я думаю, что мысль Фреге станет понятней, если мы выразим ее так: «число (один) не может быть реальным, или содержательным, предикатом» (ср. с известной кантовской фразой о том, что «бытие не является реальным преди­катом»), т. е. таким предикатом, который привносит нечто новое (содержа­ние) в субъект суждения. Тем самым сказать «Солон один» — это просто сказать «Солон», а «добавка» термина «один» в первой фразе ничего не добав­ляет к «содержанию» термина «Солон». В этом смысле языковое употребле­ние термина «один» сходно с использованием основного метафизического термина «бытие»: «Солон» тождествен «(одному, существующему) Солону» в отличие от выражения «мудрый Солон», которое высказывает нечто новое о Солоне, т. е. является синтетическим суждением. Чуть позже Фреге приводит еще один пример, поясняющий его (и нашу) мысль: «Помыслите (eine) и попробуйте, изменится ли представление, если неопределенный артикль за­менить числительным "один". Ничего сверх того не происходит, в то время как слову "зеленый" в представлении все-таки нечто соответствует» [11, с. 84]. Заметим, что фундаментальное различие между числами и содержательными предикатами закреплено в грамматике языка, так как числа являются числи­тельными, в то время как содержательные предикаты — прилагательными.

19 Обратим внимание на концептуальное сходство в понимании числа Кантора и Фреге. Кантор расширил понятия числа за счет совершения второй — «над-порядковой» — абстракции (см. его определение «кардинального числа»). Фреге, аналогично Кантору, рассматривает числа как характеристику не предметов, а понятий, т. е. как абстракцию второго уровня (подробнее об этом см. ниже).

20  Термин «концепт» будет употребляться здесь в том специальном значении, которое придали ему Делез и Гваттари [12]. т. е. «концепт» не является сино­нимом любого понятия. Более точно: (I) «концепт» — это то, с чем «работает» философия в отличие от «функтивов» науки и «перцептов» искусства; (2) любой «концепт» (например, кантовское a priori) является составным, т. е. обладает сложной «смысловой» структурой, которую и надо выявить в ходе анализа.

21 Отметим, что здесь Кант не столько переосмысляет, сколько существенно раз­вивает концепцию Лейбница о том, что «в уме нет ничего, что не происходило бы из чувств, — кроме самого ума, или того, что он понимает» [13, с. 374]. У Канта лейбницевский «сам ум» является уже не красивой метафорой, а впол­не конкретным набором априорных форм. Здесь можно указать на еще одного неявного предшественника Канта — Аристотеля, который трактовал ум как «форму форм». Однако если Аристотель и его средневековые последователи склонялись к трактовке «ума» как «пустой формы», способной отождествлять себя с любой другой «формой» (идеей) веши и тем самым достигать ее полного познания, то Кант эту вариабельность ума ограничивает определенным набо­ром априорных форм, а сами «формы» (идеи) лишает природного статуса и помешает их «внутрь» ума.

22 В содержательно-концептуальном аспекте, опираясь на Декарта. Кант в мето­дологическом аспекте опять-таки опирается на Лейбница, который разделил все «понятия» на три уровня: «только чувственные — составляющие предмет каждого отдельного чувства, чувственные и умопостигаемые одновременно — при­надлежащие обшему чувству, и только умопостигаемые — присвойственные только уму (или "рассудку", в кантовской терминологии. — С. К.)» [13, с. 374).

23 Заметим, что если же признать в качестве базовых математических структур только «топологические» и «алгебраические» структуры, то кантовские апри­орные формы «пространства» (как соответствующие непрерывным топологи­ческим структурам) и «времени» (как соответствующие дискретным алгебраическим структурам) выполняют функцию трансцендентальных оснований математического знания.

572

24 В современной эпистемологии предложен интересный подход к разрешению этой проблематики в рамках так называемой эволюционной теории познания [20]. Этот подход предлагает слишком уж кардинальный отход от кантовской мысли в сторону «эмпиризма», так как объясняет их возникновение апосте­риорным приспособлением к среде обитания. Но именно поэтому (в силу своей излишней кардинальности) он не столько решает проблему «происхож­дения» априорных форм, сколько (неявно для своих приверженцев) загоняет ее вглубь: объяснять возникновение априорных форм эволюционным приспо­соблением — не отказываться от априоризма в принципе, а вводить теперь уже априорную способность эволюционного приспособления, хотя теперь эта априорная форма имеет в отличие от Канта не статический, а динамический, или деятельностный, характер, что соответствует, скорее, не кантовским ап­риорным формам, а выделяемым Кантом познавательным способностям.

25 На роль «абсолютно» априорного может претендовать, например, высший тип кантовских априорных форм — «идеи разума», а на роль «абсолютно» апостеорного, т. е. эпистемологической «первоматерии», — кантовская «вещь в себе», или, если обратиться к более поздней философской традиции (на­пример, аналитической философии XX в.), так называемые первичные чув­ственные данные.

26 Такое понимание познания как трехчленного отношения в рамках модельной концепции познания является в настоящее время общепризнанным. В этой связи укажем лишь на две фундаментальные переводные работы, посвящен­ные изложению этой концепции [19; 20].

27  Интересную конкретизацию указанной модели познавательного акта на при­мере процесса понимания (смысла) слов предложена В. Налимовым [21]. Он использует байесовскую формулу р (т/у) = k*p (у/т)*р (т), в которой р (т) — априорное начальное знание, а р(у/т) — апперцептивный (по Лейбницу) «фильтр» (например, наше настроение), который тоже имеет локально-апри­орный характер, хотя и другой, отличной от р(т) природы. Последующий познавательный — понимательный, по Налимову, — акт в качестве априорного базиса будет использовать уже модифицированное в ходе начального этапа априорное р(т/у) и т. д.

28 Механизмы образования и модификации этого типа априорных форм — кан­товских априорных форм в собственном смысле этого слова — исследуются в рамках эволюционной эпистемологии (подробнее об этом см. в [20]). Выше мы уже говорили об этом подходе как об отходе от априоризма.

Спнсок литературы

1.  Бесконечность и сознание // Бесконечность в математике; философские и исторические аспекты. М., 1997. С. 329—337.

2.  Фуко М. Археология знания. Киев, 1996.

3.  Философские исследования // Философские работы. Ч. 1. М., 1994.

4.  Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в мате­матике // Математическое мышление. М., 1989.

5.    Математическое мышление // Там же.

6.  Бесконечность и теория поиска вывода // Бесконечность в мате­матике: философские и исторические аспекты (сборник). М., 1997. С. 190—196.

7.  Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М., 1993.

8.    Критика чистого разума (сер. «Философское наследие»), М.. 1994.

9.  Категории // Понятие сознания. М., 2000.

573

10.  К обоснованию учения о трансфинитных множествах // Труды по теории множеств. М., 1985. С. 173—246.

11.  Основоположения арифметики (логико-математическое исследова­ние о природе числа). Томск, 2000.

12.  Гваттари Фр. Что такое философия? СПб., 1998.

13.  Письмо Софии-Шарлотте (о том, что независимо от чувств и материи) //Лейбниц .: В 4 т. М„ 1984. Т. 3. С. 371-395.

14.  Критика чистого разума. М., 1994.

15.  Катречко возможно творческое воображение? // Воображение как познавательная способность http://www. *****/library/image/sb_image. doc), а также телеконферен­цию «Как возможно творческое воображение?» http://www. fido7.net/cgi-bin/ fonimi. fpl? user=Kant).

16.  Теория дедуктивных систем и ее применения. М., 1986.

17.  Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества // Семиотика и информатика. Т. 13. М., 1979. С. 17—46.

18.  Предмет знания. СПб.: 1995.

19.  Модели. Репрезентация и научное понимание. М., 1988.

20.  Эволюционная теория познания {гл. «Познание и действитель­ность»). М, 1998.

21.  Вероятностная модель языка. М., 1979. 

КОММЕНТАРИИ

Мне глубоко импонирует развиваемая автором концепция динамического априоризма. Эта концепция разбивает догму абсо­лютной неподвижности априорных структур познания и делает не только возможной, но и необходимой постановку вопроса о генезисе и превращениях того, что принято называть априорны­ми формами чувственности, рассудка и т. п. Совершенно уместна в связи с этим и ссылка на Гегеля, которому мы обязаны наиболее логически разработанной системой динамической структуры ло­гических категорий. В действительности же то, что называется априорным, есть, в терминах гегелевской философии, снятое опос­редствование. То, что на самом деле глубоко опосредовано, но опосредствование снято, отринуто, подвергнуто диалектическому отрицанию. Возникает иллюзия непосредственности, очевиднос­ти, первичности. Весьма интересна идея автора о творческой до­гадке (и/или творческой ошибке) как разрыве непрерывности в процессе познания, отказа от того, что Гуссерль называл «мотива­цией опыта». Но эту концепцию необходимо дополнить анализом категории противоречия как необходимой категориальной ступе­ни на пути к пониманию закона1

____________

1См. статью автора этих строк в настоящей сборнике.

574

Хотелось бы по этому поводу обратить внимание на один факт из истории науки. Как известно, Максвелл на основании опытов Фарадея мог написать только следующие два уравнения, связывающие напря­женности электрического (Е) и магнитного (Н) полей в вакууме: rotE = (— 1/с) (∂Н/∂t) и rotH = 0. Но он записывает уравнение rotH = (—1/с)(∂E/∂t), которое не следовало ни из каких опытов1.

Если бы Максвелл не ввел, «из соображений симметрии», как бы совершенно априори, понятие тока смещения (производной напряженности электрического поля по времени), то в разрабо­танной без этого понятия, исключительно на основании опытных данных, теории не было бы логического противоречия, но отсут­ствие симметрии в данном случае можно трактовать как своего рода эстетическое противоречие. Дальнейшее развитие теории электромагнитных процессов привело как раз к логическому противоречию между уравнениями Максвелла (и следующими из них волновыми уравнениями) и принципом относительности Гали­лея. Это противоречие было снято в специальной теории относительности также априорным предположением о постоянстве ско­рости света во всех инерциальных системах отсчета.

Считаю необходимым высказать еще одно замечание по су­ществу содержания статьи.

Автор совершенно справедливо указывает на полицентризм и иерархичность современной математики, но желание «спасти» гео­метро-арифметическую парадигму (в современной математике превращенную в парадигму тополого-алгебраическую) приводит к некоторым натяжкам. Топологические структуры вполне можно считать более обшими, чем алгебраические (алгебраическая сис­тема замыканий есть частный случай топологической2). Структу­ра порядка также есть частный случай топологической. Более того, разработанная и Д. Скоттом топологическая тео­рия вычислимости показывает, что топология «поглощает» и тео­рию алгоритмов. Так что речь нужно вести, скорее, не об оппози­ции топологии («геометрии») и алгебры («арифметики»), а об оппозиции и взаимодополняемости двух типов конструирования бесконечности в математике: условно назовем их «гилетическим» и «логическим»3. Первый ближе к «меону», апостериори естествен­ных наук, второй — к «эйдосу», априори «чистой» математики.

_______________________

2 См.: Специальная и общая теория относительности. М.; 1968. С. 4.

3  См.: Универсальная алгебра. М., 1968. С. 59.

1 См.: Эстетика и топология // Стили в математике. СПб.,1999. С. 172-187.

575

Анализ этих двух типов конструирования (как исторический, так и логический) помог бы пролить дополнительный свет на пробле­му математического априоризма. 

В конце статьи довольно отчетливо формулируются ее тези­сы, включая первый в качестве основного. Общий настрой автора представляется верным. В то же время имеются варианты, напри­мер, в толковании соотношения между математикой и метафизикой. Однозначность здесь очень сомнительна. Так, разведение алгебры и геометрии на базе различения, соответственно, диск­ретности и непрерывности (континуальности) не совпадает с про­тивопоставлением метафизики и физики. Метафизика внутри себя так или иначе различает онтологические вопросы о бытии континуума и бытии отдельных, дискретных единиц (монад), тогда как в физике тоже специфицируются характеристики вещества и поля.

Тезис о неоднородности математики принципиально важен и его нужно развивать дальше. Автор сам намечает путь развития, переходя от указания на простую двучленную иерархичность математического знания к рассмотрению еше более сложной иерар­хии (тезис 2). Но такой путь скорее всего вовсе не ведет к упро­щенному выводу о большей априорности «верхних» этажей мате­матики по сравнению с «нижними».

Следует согласиться с тезисом о мифологизации абсолютного противопоставления априорного и апостериорного, но вот о чем стоит подумать дополнительно: правда ли, что это противопоставление значимо «для анализа простых познавательных практик» и «на начальных этапах анализа». На самом деле «простое» и «на­чальное» в данном случае выглядят как «весьма сложное» и даже «итоговое».

Основной тезис статьи заключается в том, что математику невозможно рассматривать как гомогенную дисцип­лину и, следовательно, однозначно противопоставлять опыту. Ав­тор предлагает рассматривать a priori и posteriori в математике лишь как два условных (не абсолютных) полюса, к которым в разное время тяготеют математические концепции. Этими полюсами он условно называет алгебру как априорную дисциплину и геомет­рию как дисциплину, в большей степени склоняющуюся к опыту. Причем саму математику он рассматривает как находящуюся между

576

физикой и метафизикой при «восхождении» от первой к послед­ней, поэтому тенденция смещения «вверх» или «вниз» возможна и относительно математики в целом. Таким образом, становится довольно сложно или даже невозможно говорить о непрерывном стремлении всей математики к одному из «полюсов». Автор предлагает рассматривать историю математики как историю «внутренней» флуктуации этой дисциплины между двумя полюсами при переходе от одной теории к другой, а также и ее «внешней» флуктуации в разные эпохи. Такое общее рассмотрение математики представляет очень сложную картину этой дисциплины, являю­щейся настолько неоднородной, что становится не важно, как ее рассматривать: или как набор отдельных практик, или как общее явление. Целью данного комментария является попытка усилить позицию Сергея Леонидовича, предложив дифференцированный подход к рассмотрению математики.