Математика и опыт (стр. 19 )

В отрывке (целиком он занимает примерно страницу) речь идет о поле сложной конфигурации, извилистые границы которо­го могут быть восстановлены лишь приблизительно с помошью межевых камней), мское поле не знает изгороди, и поэтому при восстановлении границы обычно исходят из расположения меже­вых камней). Данный тип поля отличается от делимитированного поля тем, что на нем нет прямоугольной сетки центурий. Судя по технике, описанной в отрывке, землемеру на таком поле прихо­дилось решать две проблемы. Первая состояла в определении (а впоследствии — восстановлении) линии внешней границы поля, с тем чтобы как можно точнее фиксировать его форму и располо­жение (veritas loci). Эти данные затем в масштабе переносились на земельный план. Вторая проблема состояла в том, чтобы дать официальный отчет о площади этого поля (veritas modi). В отрыв­ке говорится о том, что при решении этих проблем специальным образом проводятся прямые линии, доступные измерению. В пер­вом случае эти линии используются для визирования межевых камней. Техника этого визирования описана неясно (Гинрикс дважды пытался реконструировать ее, но обе реконструкции выг­лядят неубедительно). Во втором, речь идет о разбиении поля на несколько частей посредством прямых линий с последующим подсчетом их площадей. К сожалению, по отрывку невозможно восстановить сам способ разбиения (Гинрикс реконструирует этот способ как разбиение на прямоугольные треугольники, что снова выглядит не слишком убедительно). Единственная достаточно достоверная информация об использовании математических мето­дов, содержащаяся в отрывке, касается двух технических проблем, связанных с проведением на местности упомянутых прямых ли­ний. Первая состоит в том, чтобы провести такую линию (interversura) через область, на которой расположено препятствие — высокий холм, роща, поселение и т. д. В этом случае (по Гинриксу) поступают

249

Рис. 5. Способ проведения прямой линии и нахождения расстояний на поле (реконструкция текста Фронтина) 

так: встречающееся препят­ствие огибают, используя при этом ортогональные ли­нии. Метод римского зем­лемера напоминает метод Герона для прокладки тун­неля с двух сторон холма (рис. 5, 6).

Второй метод — он но­сит название cultellatio — состоит в проведении пря­мой линии через долины и впадины. В отличие от пер­вого метода этот прием носит чисто технический характер), хождение ко­личественного параметра сводится к простому измерению): Фронтин советует переносить землемерный шест по пути промера каждый раз на небольшое расстояние, измеряемое затем горизонтально натянутой  веревкой (на план наносилась не линия, соединяю­щая точки на склоне долины, а ее проекция на горизонтальную плоскость). При измерении расстояний до недоступных точек, вероятно, применяли прием, описанный в задаче о нахождении ширины реки.

Подведем итог. Исследование собственно математических тек­стов Римского землемерного корпуса показывает, что лишь очень небольшая их часть была приспособлена для использования в прак­тическом землемерии: к ним относятся грубые землемерные формулы для вычисления площадей и одна задача на определение расстояния до недоступного предмета. Анализ описанной в кор­пусе практики землемерия также приводит к весьма скромному результату: собственно математическая составляющая делимита­ции сводится к проведению на местности прямых линий под прямым углом и вычислению площадей прямоугольников. Никакой достоверной информацией о вычислении площадей полей нере­гулярной формы — subcessiva и ager per extremitatem mensura comprehensus – мы не обладаем.

250

Рис.6. Метод Герона прокладки туннеля

Сложным остается вопрос о применении в римском землеме­рии «формул ложной плошади». В эпоху, отмеченную живой тра­дицией сакрализации ландшафта (примерно до конца республи­канского периода), эти формулы, скорее всего не использовались. Такой вывод можно сделать не только из анализа пространствен­ных структур (их ортогональность), но и из отсутствия в юриди­ческой практике этого периода юридических споров о площадях (controversia de modo). Когда обсуждался вопрос о покупке или аренде земельного надела, продавец и покупатель выходили на поле и обсуждали детали сделки прямо на местности, имея перед глазами предмет договора в виде «телесного» объекта. Цена этого объекта определялась качеством земли, наличием на ней постро­ек и плодовых деревьев, близостью источников воды, видами на будущий урожай, характером засеваемых культур и т. д. Точное значение площади участка было последним пунктом в сделке, ее проверка производилась лишь в случае, когда возникали подозре­ния в честности продавца. В целом при составлении договора более важными были вопросы фиксации границ участка или их восста­новления по межевым камням: именно эти проблемы приводили к типичным для данной эпохи юридическим спорам о местоположении (controversia de loco).

Иная ситуация складывается во времена Империи, когда в результате политической нестабильности начинает процветать спекуляция земельными участками. Тогда купля-продажа, служив­шая быстрому приобретению наличных денег, нередко происхо­дила «вслепую»: при совершении сделки покупатель не видел са­мого участка и исходил только из знания его размеров. В этот период юридически значимыми становятся споры о площади (controversia de modo). К сожалению, о роли количественных пара­метров в этих спорах мы мало что знаем. Известно лишь, что продавец, завысивший размеры продаваемого участка, должен был заплатить штраф, величина которого устанавливалась в зависимо­сти от разницы между декларированной и реальной площадью участка. Как при этом вычислялась площадь, остается неясным.

И, наконец, о слове «опыт» (experimentum), которое несколько раз появляется на страницах рукописей римских землемеров. В контексте римского землемерия данное понятие не обладает техническим значением, которое оно приобретает в философии Нового времени. В римских источниках оно служит для указания на метод «проб и ошибок», в результате которых повышалось мас­терство землемера и, соответственно, происходил его профессиональный рост. Отметим попутно, что землемерные навыки при­обретались будущими профессионалами не на школьной скамье (никакого систематического образования землемеры не получали,

251

кроме, возможно, начал юридических знаний), а непосредственно на поле, сначала под руководством более опытного специалиста, а затем самостоятельно [6]. Эти навыки, если судить по источникам (а не пытаться домысливать того, чего не было) касались чисто технической стороны дела; математика в опыте римского земле­мерия, по-видимому, оставалась на вторых ролях.

Список литературы

1.  Friberg J. Mesopotamian Mathematics: A Survey //Ref:Reallexikon der Assyrologie und Vorderasiatischen Archaeologie, Chapter «Mathematik», Preprint N 1991 — 06/ ISSN 0347—2809, Department of Mathematics, The University of Goeteborg, 1991 .

2.  Вычисление площадей в землемерной практике // Историко-математнческне исследования. Вторая сер. М., 1997. ВыпС. 262—280.

3.  Folkerts M. Mathematische Probleme im Corpus Agrimensorum // Die roemische Fedmesskunst (Hrsg. von Behrends O., Capogrossi Colognesi L), Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften in Goettingen, Philol.-Hist. Kl. N 193, Goettingen: Vandenhoeck & Ruprecht, 1992. S. 311—334.

4.  Blume F., Lachmann K., Rudorff K. Die Schriften der roemischen Feldmesser, 2 Bde., Bd. 1, Berlin, 1848; Reprint: Hildesheim: Olm, 1967.

5.  Thulin C. Corpus Agrimensorum Romanorum, Leipzig: Teubner, 1913.

6.  Schindel U. Nachklassischer Unterricht im Spiegel der gromatischen Schriften // Die roemische Feldmesskunst. S. 375 — 398.

7.  Hinrichs F. T. Die «agri per extremitatem mensura comprehensi». Diskussion eines Frontintextes und der Geschichte seines Verstaendnisses // Die roemische Fedmess-kunst. S. 348—374.

КОММЕНТАРИИ

*

Предметом статьи является практическое землемерие в эпоху Римской империи. Интересно сравнить методы, применявшиеся в европейской цивилизации, с тем, что происходило в странах Востока — Китае и Индии.

В древнекитайских текстах аналогом термина геометрия — землемерие — являлось выражение «измерение полей». При этом необходимо было измерить площадь плоской фигуры. Для про­стоты в «Математике в девяти книгах» прямоугольное или квад­ратное поле называлось просто полем; порой полем называлась любая плоская фигура.

Для плоских фигур, отличных от прямоугольника и квадрата, существовали специальные термины: треугольник — поле в виде яшмы, трапеция — косое поле, равнобедренная трапеция — поле

_________________

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитар­ного научного фонда (код проекта: 01—03—00259).

252

в виде совка, круг — круглое поле, кольцо — дырявое поле, сегмент круга — лук для стрельбы, сектор круга — поле в виде лука. Порой необходимо было определить площадь криволинейного поля, имею­щего форму рога буйвола, месяца, барабана, змеи, свирели.

Аналогичные задачи стояли и перед математиками Индии. Им также необходимо было вычистить площадь криволинейной фигуры, имеющей форму бивня слона, молодого месяца, ячмен­ного зерна, обода колеса, барабана. Сходство с Китаем здесь не­сомненное. При этом криволинейная фигура, имеющая форму бивня слона, индийцами рассматривается как треугольник; фор­му молодого месяца — как два остроугольных треугольника, при­ложенных друг к другу основаниями; форму ячменного зерна — как два тупоугольных треугольника, приложенных друг к другу основаниями; форму обода колеса — как прямоугольник; форму барабана — как прямоугольник, к большим сторонам которого приложены два равновеликих сегмента. Начиная с IX в. индий­ские математики выделяют десять геометрических фигур, которые они считают основными и к которым можно свести остальные фигуры: равнобедренный, равносторонний, разносторонний треугольники, квадрат, прямоугольник, четырехугольники с двумя и тремя ранными сторонами, разносторонний четырехугольник, круг, сегмент круга.

Таким образом, нахождение площади криволинейной фигу­ры последовательно сводилось к двум операциям: дроблению на основные стандартные фигуры и нахождение их площадей по из­вестным формулам. (Математика древнего Китая. М, 1980. С. 245—246) делит древних вычислителей на «инжене­ров» и «математиков». «Инженеры» рассматривали геометричес­кие модели, максимально близкие к конкретным фигурам, но при этом пользовались приближенными формулами для их вычисле­ний. «Математики» предпочитали точные формулы для правиль­ных фигур, которые довольно сильно отличались от реальных объектов. (История математики в Средние века. М., 1961. С. 15) делит вычислителей на «астрономов» и «матема­тиков», которые, впрочем, решали задачи, весьма отличные от нахождения площадей криволинейных фшур. Такое деление на «инженеров» и «математиков», на «астрономов» и «математиков», на «прикладников» и «теоретиков», на практическое землемерие и теоретическую геометрию вполне коррелирует с эмпирическим и априорным подходами в догреческой математике ( О природе доказательного мышления в догреческую эпоху разви­тия математики // Историко-математические исследования. Вторая сер. М., 1997. ВыпС. 180-200).

253

В июне 1913 г. на XIII съезде русских естествоиспытателей и врачей замечательный историк математики высту­пил с докладом «Об изучении кавказских народных математичес­ких знаний» (Труды ХШ-го съезда русских естествоиспытателей и врачей. Тифлис, 1916. Т. VI. С. 519—532). Он выдвинул программу изучения кавказских народных математических знаний, неко­торые пункты которой имеют непосредственное отношение к рас­сматриваемой теме: «Геометрия. Геометрические предстааления и понятия. Измерение расстояний и линий вообще. Употребляемые в ремеслах и искусствах геометрические построения. Способы и орудия этих построений. Рисование и геометрическое черчение. Выделение и формы земельных участков в сельском хозяйстве и строительном искусстве. Измерение площадей земельных участ­ков и вообще поверхностей. Учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров. Разложение площадей и способы исполнения над ними арифметических действий. Квадратура кру­га. Непосредственное измерение вместимости сосудов для жидко­стей, а также и помещений зернового хлеба и вообще плодов. Способы посредственного измерения той же вместимости. Изме­рение объемов. Их сложение и разложение. Приемы и способы предварительного определения необходимых для возведения по­строек количеств строительных материалов» (С. 531).

Таким образом, задачи, стоявшие перед учеными по изучению математики в древности и в Средние века, вполне сопоставимы с проблемами, которые волнуют исследователей XX в.

В своей статье анализирует интереснейший пласт позднеантичной и средневековой культуры: землемерную прак­тику и ее отражение в землемерно-математических текстах. На основе этого анализа автор убедительно обосновал утверждение о том, что в землемерных процедурах никоим образом нельзя ви­деть прообразы планиметрических конструкций. При этом, в прин­ципе, не важно, имеется ли в наличии теоретическая традиция или нет (очень удачно проведение аналогии между позднеантичными европейскими и древневавилонскими землемерными тех­нологиями). Действительно, планиметрическая теория площадей может быть развита лишь при принятии трех предпосылок, кото­рые оказываются абсолютно несущественными в рамках землемер­ной практики. Речь идет о том, что, во-первых, фигуры должны лежать на плоскости, а не на криволинейной поверхности, во-вто­рых, границы фигур должны быть обязательно прямолинейны и, в-третьих, численное значение площади инвариантно относительно

254

способа разбиения фигуры, с помощью которого производится измерение площади.

В статье подробно анализируется комплекс текстов Римского землемерного корпуса и делается вывод о том, что из имеющихся в нем текстов математического содержания в практике землемерия использовалась лишь очень небольшая их часть. К сожале­нию, в статье не дается ответа на напрашивающийся в связи с этим вопрос: каково было функциональное назначение этих «тео­ретических» математических текстов в рамках имевшего вполне прагматический характер землемерного кодекса? 

Анализ автором Римского землемерного корпуса, положен­ный в основание обсуждаемого нами текста, заставляет пересмот­реть очень многие сложившиеся в культуре Нового времени сте­реотипы в представлениях о взаимодействии теоретического и прикладного знания — прикладного знания, которое, согласно этим представлениям, с одной стороны, приспосабливает к прак­тическому использованию результаты, полученные теоретиками, с другой — служит источником новых задач для знания теорети­ческого. Автор показывает, что характер этого взаимодействия в Древнем Риме совершенно иной. Эти два вида знания как бы сосуществуют друг с другом, практически не взаимодействуя. Заме­чательно, что в своих выводах, касающихся римской землемерной практики, он старается следовать исключительно источникам. Всякие, не опирающиеся на них предположения он стремится исклю­чить. Однако перестает следовать этому правилу, как только переходит к выводам общего характера, что, на мой взгляд, совершенно естественно, особенно в данном случае, когда речь идет о такой деликатной материи, как генезис математического знания, где источники попросту отсутствуют. Автор обсуждает проблему возникновения геометрического знания на материале римской землемерной практики. Традиция (в частности, античная) не связывает его возникновение с Апеннинским полуостровом. Поэтому сам факт привлечения для его рассмотрения римской гсмлемерной практики указывает на то, что основывает свои рассуждении на не формулируемом явно предположе­нии о том, что вопрос возникновения геометрического знания протекает одинаковым образом везде и всегда — в Египте, у этрус­ков или у современных индейцев из джунглей Амазонки. Предположении основательном, но все же только предположении.

Автор не проводит жесткого разграничения между процессом формирования геометрических представлений, начало которого

255

мы различаем уже в эпоху неолита, и возникновением теорети­ческой геометрии, что случилось только в Древней Греции. От­сюда и предъявляемое автором сопоставление римской землемер­ной практики не с геометрической (или псевдогеометрической) практикой обитателей, скажем, Древнего Египта или Вавилона (единственный пример такого рода заимствован им у J. Friberg'a), а с теоретической геометрией Евклида, представленной в «ак­сиоматической форме». Мне кажется, что конструкции автора, в основе которых лежит целый ряд умозрительных правдоподобных предположений (только одно из которых мы привели выше) не уменьшают убедительность гипотезы о происхождении геометрии из измерительной практики — не обязательно практикующих зем­лемеров (для этого, быть может, нужно не столько мерить зем­лю, сколько размышлять об этой процедуре), — на что указывает этимология термина «геометрия», которую автор при почти пол­ном отсутствии источников не посчитал серьезным аргументом.

К сожалению, мы должны рассуждать на эту тему, не имея прямых, но лишь косвенные аргументы — вроде тех, которые мы можем почерпнуть из римской землемерной практики. Впрочем, можно попробовать извлечь некоторую информацию из других доступных, но пока мало используемых источников, например, тех, которые представляет нам этноматематика и детская психо­логия. Конечно, правомерность привлечения материала из этих двух областей также покоится на умозрительных предположени­ях, одно из которых (о том, что процесс возникновения геомет­рического знания протекает одинаковым образом везде и всегда) мы уже упомянули, другое основывается на нашей убежденности в том, что психика ребенка в своем развитии проходит через те же стадии, что и интеллектуальная история человечества. Любой полученный отсюда вывод при всей своей уязвимости для возмож­ной критики способен расширить пространство наших возмож­ностей для обсуждения общих проблем истории науки, в част­ности проблем генезиса математического знания.

Статья напоминает нам об одном важном обсто­ятельстве, которое можно упустить, если под математикой пони­мать только европейскую математику, рожденную Новым време­нем. Добытые математикой результаты не переходят от поколения к поколению автоматически, и культурный фон может оказывать на передаваемое математическое содержание очень существенное воздействие. К сожалению, из представленного текста нельзя строго

256

заключить, что греческая геометрия существовала в Риме поздней античности в весьма отличном от оригинала виде. Кажется, одна­ко, что полное игнорирование в «прикладном землемерии» дости­жений «теоретического землемерия», если бы таковое органично входило в римскую культуру, вряд ли было бы возможно. Это еше раз напоминает нам, что доступное в виде текстов математическое знание не обязательно «распредмечивается» адекватным образом культурой, которая имеет познавательные установки, отличные от тех установок, которые были присущи культуре, создавшей это знание. Пусть и не в таком кардинальном виде, но утрата математического знания вполне возможна и при передаче его от поколе­ния к поколению. При нынешних темпах культурных сдвигов про­блема передачи математического знания может оказаться столь же актуальной, как и в ситуации его передачи от утонченных гре­ков к грубоватым римлянам.

ОТВЕТ АВТОРА

справедливо указывает на то, что историки математики традиционно обращают внимание преимущественно на те исторические формы математики, которые могут быть легко проинтерпретированы в терминах современной теоретической математики. При этом без должного анализа остается внушитель­ный пласт той практической математики, которая не укладывается в прокрустово ложе математики современной. Ссылка на в данном контексте весьма уместна. Остается сожалеть о том, что предложенная замечательным русским историком мате­матики программа не была реализована.

Вопрос: «Каково было функциональное назначение "теоре­тических" математических текстов в рамках имевшего вполне праг­матический характер землемерного кодекса?»

Дело в том, что сам кодекс оформился на рубеже V—VI вв., когда золотое время римского землемерия было далеко позади. В его основу легли «записные книжки», принадлежавшие профес­сионалам землемерия высокого класса, живших в I—II вв. Что касается чисто математических фрагментов (они — также рим­ского происхождения, но принадлежат иной, «книжной» тради­ции), то, вероятнее всего, большая их часть вошла в корпус уже на

  257

излете античности или даже в раннем Средневековье. Мне пред­ставляется, что в V в. в античной культуре на латинском Западе произошел последний «взлет», который характеризовался составлением сводных трудов энциклопедического характера. Такой «эн­циклопедией» землемерия и стал Римский землемерный корпус.

С. С. Демидову

Первое из замечаний заключается в том, что я обсуждаю проблему генезиса геометрического знания на мате­риале римской практики, в то время как традиция не связывает его возникновение с Апеннинским полуостровом. Второе — в том, что не следует сбрасывать со счетов возможность возник­новения теоретической геометрии из землемерия.

1.  Дело в том, что вывод о принципиальном отличии земле­мерной практики от теоретической геометрии (или ее фрагмен­та — теории площадей плоских фигур) я делаю на основе идей, развитых мною в статье [2], где кроме римских источников ис­пользованы шумеро-вавилонские, древнеегипетские, эллинисти­ческие (Египет эпохи Птолемеев) и византийские землемерно-матемэтические тексты. В данной же статье, которая задумана как продолжение предыдущей, я попытался ответить на более специ­альный вопрос о том, как могло бы функционировать математи­ческое знание, зафиксированное в Римском землемерном корпусе, в конкретном социально-экономическом контексте римской эпохи.

2.  Основная идея этих двух статей состоит в том, что земле­мерная практика не была геометрией в том смысле, который мы вслед за греками вкладываем в это понятие, — в ней качествен­ная сторона геометрической формы (прямизна или кривизна) не играла никакой роли. Использование тех или иных землемер­ных формул определялось исключительно ее количественной характеристикой — числом сторон измеряемого поля. Я пола­гаю, что указание на принципиальное различие между землеме­рием и геометрией является серьезным аргументом, ставящим под сомнение сообщение Геродота о возникновении геометрии из землеизмерения. Если пытаться связывать возникновение тео­ретической геометрии с практикой, то, прежде всего, следует обра­тить внимание на те области практической деятельности, в кото­рых прямизна линий и поверхностей играет решающую роль, т. е. на архитектуру и строительство. Интересные соображения на этот счет были недавно высказаны в статье «(Еги­петская геометрия и греческая наука» (Историко-математические исследования. Вып, 6 (41). М., 2001. С. 277—284). 

258

Римляне были знакомы с теоретической геометрией греков. Как и прочую Греческая литература, математические тексты, в том числе и «Начала» Евклида, они читали в оригинале, посколь­ку были двуязычны (первый перевод «Начал» на латинский язык был сделан Боэцием лишь ок. 500 г.). Известно высказывание Цицерона о том, что греки достигли значительных высот в гео­метрии, а римляне взяли из греческой геометрии лишь то, что им нужно было для практики. К сожалению, из текста Цицерона не­возможно понять, какие именно фрагменты греческой геометрии были приспособлены римлянами для практических нужд. Извес­тно, однако, что государственные землемеры не обучались в тех школах, где преподавались свободные искусства, но постигали азы ремесла непосредственно на местности под руководством опыт­ного наставника.

Мне представляется, что римляне не сами делали «выборку» из сочинений греческой геометрии, а пользовались текстами, со­ставленными в Египте во времена Герона или чуть раньше. Дело в том, что когда римские императоры инициировали в I в. межева­ние колониальных земель, то первых землемеров они пригласили из Египта, в котором уже в течение нескольких столетий существовала хорошая землемерная школа. Можно лишь сожалеть о том, что более детальных сведений о взаимодействии греческой математики с римским землемерием у нас нет.

_______________

РОЛЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

В СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКЕ*

1. Краткий исторический экскурс — от Паскаля до Гаусса

Проблема взаимоотношений математики и физики издавна занимала умы исследователей. На этот счет существуют достаточ­но крайние точки зрения типа: «теоретическая физика — это часть математики» (Д. Гильберт), «непостижимая эффективность мате­матики в физике» (Е. Вигнер) и даже «математика — это приклад­ная физика» ().

Конечно, математические идеи порождаются не только фи­зикой. Однако широкой научной общественностью они эффек-

_________________

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитар­ного научного фонда (код проекта: 02—03—18148).

259

тивно усваиваются лишь тогда, когда рождаются в «физической оболочке». В этом случае они воспринимаются как язык описа­ния окружающей природы, органично присущий физике, а не какой-то чужеродный, хотя и полезный математический аппарат.

Яркий пример качественно различного восприятия математи­ческих открытий дает сравнение судьбы физических приложений математического анализа и теории вероятностей. Эти два раздела высшей математики зародились примерно одновременно в сере­дине XVII в. в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница, с одной сторо­ны, и Б. Паскаля — с другой. Вместе с тем уровень их освоения физиками, а через них — и обществом, оказался совершенно раз­личным.

Исторически сложилось так, что понятия математического анализа вводились в широкий оборот на примерах из физики (про­изводная как скорость, интеграл как работа силы, поток вектор­ного поля как поток жидкости и т. п.) и в дальнейшем нашли применение во многих физических и прикладных задачах. В то же время понятия теории вероятностей были введены первоначально на примерах из азартных игр и оставались долгое время отвлечен­ными, будучи лишенными физических приложений.

Этому дополнительно способствовало окончательное торжество в конце XVIII в. доктрины Ньютона о возможности классического (регулярного) описания природы на основе детерминистских зако­нов движения отдельных микрочастиц материи. Наиболее отчет­ливая формулировка подобной доктрины была дана в фундамен­тальном труде П. Лапласа по небесной механике, в которой он уподобил Вселенную бесперебойно работающему «часовому ме­ханизму». В его подходе не оставалось места для физических при­ложений теории вероятностей, в математическую разработку ко­торой сам Лаплас внес существенный вклад.

Первым; кто попытался применить теорию вероятностей к физической проблеме, был . В 1809 г., анализируя метод наименьших квадратов, разработанный незадолго до этого А. Лежандром, он применил его для анализа данных наблюдений о движении планет. Гаусс впервые поставил вопрос о вероятности отклонения при оценке ошибок наблюдений и в связи с этим ввел и обосновал распределение вероятностей, известное как нормаль­ное распределение, или распределение Гаусса.

Начиная с этого момента, идеи теории вероятностей начали проникать в физику. Однако, с принципиальной точки зрения, ничего не изменилось. По-прежнему первичным, или фундаментальным, в физике считалось детерминистское описание приро­ды, основанное на моделях физических объектов, используемых в математическом анализе. Что же касается теории вероятностей, то ей отводилась роль вспомогательного математического аппара-

260

та, модели которого не имеют какого-либо отношения к физике и поэтому являются чем-то вторичным, нефундаментальным. Долгие годы областью физических приложений теории вероятностей фак­тически служила лишь теория ошибок эксперимента.

У большинства физиков продолжало господствовать убежде­ние в том, что с улучшением техники эксперимента и искусства экспериментаторов влияние ошибок на результаты опытов будет сокращаться. В итоге теорию вероятностей, в конце концов, удастся полностью изгнать из физики. На возможность другого подхода, в котором теории вероятностей могла бы принадлежать фундамен­тальная роль в описании природы, до начала XX в. указывали лишь немногие философы, начиная с Эпикура (IV в до н. э.).

2. Статистическая механика как первый шаг

к неклассическому (вероятностному) описанию природы

Впервые серьезная потребность в использовании теории ве­роятностей в физике обнаружилась, начиная с середины XIX в. в связи с развитием механической интерпретации тепловых яате-ний. Как известно, эта интерпретация не выходила за рамки док­трины Ньютона о принципиальной сводимости макроописания природы к микроописанию. Однако наличие в макроскопических телах огромного числа атомов делало обоснование законов термо­динамики из законов механики затруднительным. В условиях, когда сведения о начальных параметрах движения и точное опи­сание каждого отдельного атома практически недоступны, было предложено ограничиться описанием состояния теплового равно­весия макрообъектов в целом. В этом состоянии свойства макрообъектов можно было описать небольшим числом макропараметров, подчиненных законам термодинамики. Трактовка этих макропараметров как средних характеристик совокупности движу­щихся атомов в целом, образующих макрообъект, и привело к использованию вероятностного описания природы на микроуровне.

Для модели равновесного идеального газа такое описание впер­вые было предложено в 1860 г. Дж. Максвеллом. Чтобы иметь воз­можность вычислять макропараметры такой системы в тепловом равновесии, он ввел распределение вероятностей молекул газа по скоростям, которое принципиально ничем не отличалось от нор­мального распределения Гаусса. Впоследствии оно было обобщено Л. Больцманом на случай газа, находящегося во внешнем потенци­альном поле. Наконец, вершиной использования вероятностного описания равновесных макрообъектов в фазовом пространстве вхо­дящих в них атомов стала статистическая механика, разработанная независимо Дж. Гиббсом и А. Эйнштейном в 1902 г. последова-

261

тельно реализовавшими идеи Больцмана о взаимосвязи микро - и макроописаний природы.

Сам Гиббс назвал свою теорию методом рационального обос­нования законов термодинамики, прежде всего в состоянии теплового равновесия и вблизи него. Отличительной чертой статистической механики Гиббса является, как известно, последовательное вероятностное описание движения микрочастиц в определенных внешних условиях, согласующееся как с законами динамики, так и с законами термодинамики. Однако такое описание отнюдь не фундаментально. В подходе Гиббса детерминистские законы механики по-прежнему являются первичными, а использование вероятностного описания систем из большого числа микрочастиц определяется только неполнотой информации о движении последних. В то же время неявно предполагается, что при появлении такой информации потребность r использовании теории вероятностей исчезнет, так что свойства макрообъектов можно будет выводить непосредственно из свойств микрочастиц.

Следует также отметить промежуточный характер результатов Гиббса даже в рамках сделанных им исходных предположений. Прежде всего, распределение Гиббса позволяет в принципе вычис­лять только значения экстенсивных макропараметров в тепловом равновесии, например энергии или числа частиц. Что касается интенсивных макропараметров типа температуры, то они задают­ся изначально как модули распределения Гиббса. Это означает, что реально только часть термодинамических величин может быть расчитана как некие средние характеристики, исходя из известных законов динамики микрочастиц.

Еще более запутанна ситуация, связанная с вычислением характеристик флуктуаций макропараметров. С одной стороны, вероятностное описание в фазовом пространстве совокупности микрочастиц предполагает принципиальную возможность вычислять не только средние значения макропараметров, но и отклонения от них (флуктуации). Для отдельных макропараметров они характеризуются дисперсиями, а для двух взаимосвязанных макропараметров — корреляторами. Это утверждение, разумеется, не относится к флуктуациям температуры и других интенсивных макропараметров, ибо сама температура в подходе Гиббса жестко фиксирована.

Но даже с интерпретацией результатов расчетов экстенсивных макропараметров дело обстоит не так просто. Например, действуя формально, по известному распределению Гиббса нетрудно вычислить дисперсию энергии системы в фазовом пространстве ее микросостояний. Однако интерпретация ее как дисперсии энергии макросистемы весьма затруднительна, ибо в условиях постоянства объема требует обязательного допущения флуктуации температуры системы. Между тем сохранение нулевого начала термодинамики в формулировке Р. Клаузиуса, исходящей из жесткого равенства температур системы и термостата в условиях теплового равнове­сия, — один из краеугольных камней термодинамики Гиббса, ос­нованной на статистической механике.

Таким образом, вопреки первоначальным намерениям статис­тическая механика Гиббса не позволяет в полном объеме вывести законы термодинамики из законов динамики. В ней вероятностное описание по-прежнему играет вторичную роль. Фактически она является промежуточной теорией между динамикой и термодина­микой, ибо содержит одновременно и микро-, и макропараметры.

Принципиальная возможность рассмотрения в ней флуктуа­ции экстенсивных величин сообщает ей некоторые черты неклас­сической теории. Однако многие величины в подходе Гиббса либо вообще не флуктуируют (температура), либо вычисление соответствующих дисперсий дает неверные результаты (давление). В этом смысле подход Гиббса можно назвать квазиклассическим, проме­жуточным между классическим (чисто детерминистским) и неклассическим (чисто вероятностным) описаниями природы. На это обстоятельство обращал внимание ряд исследователей и, в частности, из математиков — .

Изложенные соображения позволяют заключить, что метод Гиббса отнюдь не является вершиной вероятностного описания природы. В связи с этим вековые усилия, потраченные на его обоснование и, в частности, на проблему эргодичности закономер­но дали ограниченные, с физической точки зрения, результаты. В связи с этим многие математики, например Б. Мандельброт, высказывались в том смысле, что макроописание природы не обя­зательно в полном объеме следует из ее микроописания. Поэтому полное обоснование термодинамики из динамики и невозможно, и никому не нужно.

В этих условиях вместо проблемы вывода законов термодина­мики из законов динамики принципиальным оказывается вопрос о том, какое описание природы — классическое (детерминистское) или неклассическое (вероятностное) — является первичным, фун­даментальным как на микро-, так и на макроуровне. Ответ на него сегодня может быть найден в современных фундаментальных тео­риях физики.