Математика и опыт (стр. 4 )

Регресс, понимаемый как своего рода ослабление исходных принципов, вообще характерен для процессов роста знания. Это один из важнейших механизмов роста научного знания, особенно широко представленный в истории математики и логики. Именно так, например, через ослабление, эволюционировала логика от клас­сической к неклассической (отказ от тех или иных основных зако­нов логики). Другим мощным механизмом здесь яапяется выбор альтернативных существующим законов (своего рода принцип «ди­хотомического» формирования базисных структур и оснований теорий и концепций). Достаточно очевидно, что математический априоризм (или программа априористского истолкования матема­тики) развивался от достаточно жестко фиксированной точки зре­ния к более размытым и слабым, в большей степени соответствую­щим глубине понимания сложности предмета и задачи.

Полагаю, что концепция априоризма в математике может допускать несколько не вполне эквивалентных истолкований, и она не обязательно, как утверждается в статье Алексея Георгиевича, означает «обусловленность математики субъектом» в смысле «су-

40

ществования априорных оснований познания». Тогда не стоит рас­сматривать и открытие неевклидовых геометрий как «удар» по этой позиции. Кроме того, я не соглашусь с автором этой интересной статьи, когда он утверждает, что «признание идей, содержащихся в математических утверждениях, врожденными» означает «идеалис­тическую трактовку» (природы математики). Я вообще не склонен употреблять понятие идеализма без привязки к известной марк­систской точке зрения, но если и пытаться это сделать, то по отно­шению к классической концепции платонизма в математике.

Несмотря на ясность заявленной позиции, ос­тавляет непроясненным, в чем именно состоит описываемый им регресс. Обращаясь к приведенным в статье историческим примерам, можно увидеть две расходящиеся линии трансформации априоризма. Хотя обе эти линии связаны с тем, что весьма емко обозначено словом «регресс», они выражают противоположные тен­денции. Одна из них состоит в последовательном сокращении сфе­ры априорного знания. Другая же, как ни странно, напротив, ведет к существенному (подчас неограниченному) расширению априор­ной сферы. Однако это расширение достигается за счет размыва­ния самого понятия «априори» и смешению априорного с другими видами представлений. Эти две линии не различены автором, хотя указания на оба вида регресса в статье присутствуют.

К регрессу второго типа следует, по-видимому, отнести и фе­номенологию Гуссерля, вплетающую априорные представления в структуру опыта, и неокантианские реконструкции научной мыс­ли, делающие априорной любую теоретическую идеализацию. Дальнейший регресс можно тогда увидеть в явной профанации ап­риоризма в ряде современных работ, когда статус априорных суж­дений присваивается общим эмпирическим гипотезам, выступаю­щим в качестве предварительных условий некоего частного опыта.

Гораздо интересней обсудить регресс первого типа. В общем виде его можно представить как последовательный отказ от апри­орности тех представлений, которые не выдерживают, следуя вы­ражению , «удара фактами». Например, можно допустить, что открытие неевклидовых геометрий и их последую­щее использование в естествознании требует перевода евклидо­вых постулатов в разряд эмпирических гипотез. Не исключено, что появление теории относительности дает возможность посту­пить так же с принципом причинности. Но при таком регрессе сохраняется некий остаток, априорный в строгом смысле слова.

41

Вопрос в том, что это за «строгий смысл». Понять это можно рассуждая от противного. Попробуем допустить, что все наши представления так или иначе происходят из опыта (понятого в самом широком смысле), т. е. что все они суть результаты интер­претации чувственных данных, адаптации к окружающей среде, прагматически оправданных конвенций (список можно продол­жить). Если мы это принимаем, то перед нами стоит задача опи­сания происхождения всех формальных условий знания (включая самые обшие), доказательства их адекватности внешним обстоя­тельствам, объяснения их релевантности постаааенным прагмати­ческим целям и т. д. Но каковы формальные условия этих наших описаний, объяснений и доказательств? Не окажутся ли они теми же, о которых мы пытаемся рассуждать? Избежать циркулярности поможет лишь обнаружение ряда таких формальных условий вся­кого мышления, которые ниоткуда не возникают и ничем не объясняются, но сами служат для построения всех объяснений и доказательств. Обнаружение таких условий требует некоего по­граничного рассуждения, которое и яатяется собственно фило­софским. Оно возникает на краю мысли и о его условиях нет смысла спрашивать. Дальше просто невозможно сделать ни шагу, не впадая в антиномии, порочные круги и прочие индикаторы бес­смысленности. Именно такие, последние условия мысли и называ­ются априорными. Следует поэтому признать, что само название статьи очень точно выражает суть априоризма. Это философское направление регрессивно по своей природе, я бы даже сказал, по своему призванию. Его задача и состоит в том, чтобы отступать до последней возможности, двигаясь к гра­ницам мышления. Но это отступление не может быть ни беско­нечным, ни безрезультатным. Первое означало бы бесконечное число существенно различных предпосылок мысли, второе — уже упомянутую циркулярность.

   

«Я утверждаю, что история математического априоризма, на­чиная с момента его возникновения у Канта, представляет собой периоды все более и более слабых версий, каждая из которых в свою очередь опровергалась новыми фактами», — такими словами начинает свою статью. Против этого утверждения (рассматриваемого, правда, с некоторыми оговорками, из которых основная касается употребления слов «слабых версий» — но об этом ниже) возразить трудно. Следом автор пишет: «Поэтому можно

42

сказать, что вся история математического априоризма как исследо­вательской программы предстаатяет собой регресс». И вот уж с этим согласиться, на мой взгляд, нельзя. И вот почему.

Рассмотрим случай первого такого «опровержения» — откры­тие неевклидовой геометрии. «Опровергающий» «новый факт» — наличие новой геометрии наряду с единственной, как полагал И. Кант, априорной евклидовой вовсе не зачеркнул подход априористов. Они довольно быстро поняли, что наличие новых геомет­рий вовсе не препятствует евклидовой быть априорной формой созерцания. Следует лишь соблюдать известную аккуратность в фор­мулировках, что они и стали делать. Так продолжалось и далее, и это превосходно показывает в своем докладе . «Но­вые факты» заставляли априористов уточнять свою позицию. Ав­тор, правда, трактует такие уточнения исключительно как форму защиты (даже как нападение, которое, как известно, лучшая форма зашиты). И, конечно, формы, в которых ныне выступает априо­ризм, чрезвычайно отличны от кантовских. Но это и естественно. Как естественно меняется лицо эмпиризма. Это ведь особая и вовсе не затронутая автором тема — какова эмпирия сегодня? И показал­ся ли бы факт (из современной электродинамики или тем паче — из квантовой механики), безоговорочно рассматриваемый как эм­пирический сегодняшним философом, таковым Канту?

Этот процесс постепенного уточнения позиции философской доктрины в результате открытия «новых фактов» напоминает, ско­рее, уточнение формулировки теоремы в результате открытия новых контрпримеров.

И еще одно замечание. Ход нашей дискуссии показывает (во всяком случае, мне), несколько неудачный выбор оппозиции «ап­риоризм» — «эмпиризм». (Всегда ли это оппозиция?) В докладе обсуждаются иные и, на мой взгляд, более удач­ные «системы координат», в которых рассмотренные в дискуссии проблемы выглядят более естественно.

Можно ли говорить о регрессе кантовского априоризма?..

Наше риторическое вопрошание говорит о том, что это не так, однако для этого надо подвергнуть критическому анализу как высказанный в статье тезис, так и изложенную в удобной для критики — «тезисной» форме — аргументацию. Воспользуюсь для этого различением И. Лакатоса (из работы «Доказательства и опровержения»), основателем концепции научно-исследовательских

43

программ, к которой явно тяготеет и автор данной статьи, и ра­зобью свой комментарий на две неравные части: (1) общее — гло­бальное — несогласие с основным тезисом статьи; (2) конкретные — локальные — неточности в аргументации, которые искажают (под­час существенно) представленные в статье концепции априоризма и прежде всего базовую — кантовскую — концепцию априоризма.

(1) Прежде всего вызывает сомнение собственно методология предложенного автором статьи подхода. Дело в том, что методо­логия И. Лакатоса изначально была предназначена для анализа развития естественно-научного знания (включая математику) и поэтому сам «перенос» данной методологии на область гумани­тарного знания (математический априоризм является прикладной философской концепцией, а не частью математики как таковой) должен быть предварительно обоснован. А серьезные возражения против подобного распространения подхода Лакатоса на область гуманитарного знания имеются. С одной стороны, математичес­кий априоризм может быть соотнесен с «парадигмальным» под­ходом Т. Куна (в качестве принимаемого мной тезиса парадигма Куна является более глубинным — философским, в терминах кон­цепции строения научного знания B. C. Степина, — ядром на­учного знания, чем выделяемое ядро — уровень общенаучной кар­тины мира, по Степину, — научно-исследовательской программы Лакатоса). Если же вслед за этим принять куновский принцип несоизмеримости, т. е. рассматривать разные версии математичес­кого априоризма как различные — несоизмеримые — концепции, то само их сравнение и тем более утверждения о имеющем месте регрессе окажется неправомерным. Более того (полемически заост­ряя свою мысль), можно сказать, что нет математического априо­ризма И. Канта как такового (это противоречит одному из цент­ральных тезисов ; см. п. 5—7): в лучшем случае можно говорить об общей кантовской концепции априоризма и зачатках математического априоризма, которая была развита нео­кантианцами. Анализ кантовской «Критики чистого разума» (да­лее — КЧР; ссылки даны по 2-му изд.) и других его работ показы­вает, что перед Кантом стояла задача обоснования, прежде всего не математики, а естествознания (точнее — феномена наличия при­чинно-следственной связи, подвергнутого сомнению Д. Юмом). Математика же рассматривается Кантом, скорее, как вспомогательная — «низшая» — ступень естествознания и соотносится с деятельностью не рассудка, а «низшей» познавательной способ­ности чувственности. Достаточно примечательным в этом плане является тот факт, что (чувственная) математика, и (рассудочная) логика рассматриваются Кантом совершенно в разных разделах

44

КЧР, что коренным образом отличается от анализа математики с конца XIX в., когда логика и математика «сливаются» (благодаря деятельности Пеано, Фреге, Рассела, Гильберта, etc) в единый логи ко-метаматематике-математически и комплекс логизированной (аксиоматической) математики (см. об этом в моей статье наст, сб.). Поэтому «второй этап математического априоризма», свя­занный с деятельностью неокантианцев и Э. Гуссерля, «работает» с совершенно другим предметом (математикой), чем Кант.

С другой стороны, проделанная методологическая работа шко­лы французских постструктуралистов в лице М. Фуко и Ж. Делеза (+ «менталистский» подход школы «Анналов») в области гума­нитарного знания даже усиливает куновский тезис о несоизмери­мости. М. Фуко в своей работе «Археология знания» говорит о типичной ошибке «непрерывной хронологии» и предлагает заме­нить ее анализом имеющих место в истории мысли концептуаль­ных разрывов. В этом смысле (повторюсь еше раз) нет никаких (ослабленных) версий априоризма, а есть дискретная серия разнородных концепций уже хотя бы потому, что изменяется «предмет» этих концепций — математика.

Вызывает несогласие и объединение в одну апрйористскую «серию» того набора концепций, которые в статье анализируют­ся. Если, например, собственно кантовский априоризм (отнюдь не узко понятый как математический; см. выше), неокантианская концепция математического априоризма, феноменологический подход к анализу математического знания Э. Гуссерля, неомарк­систский — праксеологический — подход могут быть объединены в одну серию на определенных методологичес­ких основаниях (хотя две последние я бы априоризмом не на­звал), то рассматриваемая в статье «натуралистическая» версия кантианства (п. 14), основанная на привлечении идей эволюци­онной эпистемологии, уже никакого отношения к априоризму как таковому не имеет, так как идеи априоризма и эволюционизма внутренне несовместимы.

Более того, представленная в статье априористская «серия» (что, несмотря на вышеизложенную критику, является интерес­ной идеей), на мой взгляд, позволяет сформулировать противопо­ложно-дополнительный тезис: любая концепция математики так или иначе содержит «элементы» априоризма, так как априоризм яв­ляется необходимым компонентом любого математического знания (этот тезис может быть назван тезисом о неуничтожимости (неиз­бежности) априоризма математического знания). То есть априо­ризм — это та неизменная «составляюшая» различных (философ­ских) концепций математики, наличие которой создает иллюзию об их единстве («регрессе» или «прогрессе»).

45

С этих же позиций (принципа несоизмеримости) не так очевидна и постулируемая в п. 4—7 статьи преемственность кантовского априоризма и платоновского идеализма. Здесь можно вспомнить неоднократные замечания Канта о недопустимости отождествления его позиции с позицией идеализма (специальные кантовские вставки-примечания к главе «Трансцендентальная эсте­тика» 2-го изд. КЧР; кантовские замечания об идеализме в «Пролегоменах...»). Ограничусь здесь более точной ссылкой на «черно­вые заметки» Канта 1790—1791 гг. (цит. по: Соч.: В 8 т. Т. 8. М., 1994), которые даны с такими подзаголовками «[Опро­вержение проблематичного идеализма]», «Против идеализма», «Об идеализме»: «идеализм разделяют на проблематичный (идеа­лизм Декарта) и догматичный (идеализм Беркли); последний от­рицает существование всех вещей, кроме бытия того, кто утверж­дает их существование (с. 650); ...[первый] признает, ...что мы не имеем никакого внешнего чувства, но лишь способность вообра­жения в отношении внешних созерцаний (с. 654)». В «Пролего­менах...» Кант делает характерное замечание, что предложенный им в КЧР термин «трансцендентальный идеализм» не совсем уда­чен и может быть заменен на термин «формальный идеализм», что принципиально отличает «идеализм» Канта от «содержательного» идеализма Платона — Декарта — Лейбница, выраженного, например, в концепции «врожденных — содержательных! — идей». [Замечу, что предложенное Кантом определение идеализма суще­ственно отличается от «субъективистской» (эпистемологической) трактовки идеализма, данной в п. 4 статьи: идеализм как онтологическое учение определенным образом решает вопрос о статусе математической реальности, а не о наличии соответствующих «идей» у познающего субъекта; т. е. автор статьи совершает кате­гориальную ошибку, смешивая (онтологическое) различение «идеализм vs. материализм» с гносеологическими различениями «эмпиризм vs. рационализм» и рассматривая различение «субъек­тивизм vs. объективизм».] Если несколько заострить лейтмотив кантовской — антиидеалистической — мысли, то можно сказать, что кантовский априоризм вообще идеализмом не является! Он представляет собой как бы «срединную» между идеализмом и ма­териализмом онтологическую позицию (+ «срединную» между эмпиризмом (сенсуализмом) и рационализмом эпистемологичес­кую концепцию), а именно, сочетание «содержательного» мате­риализма (признание реальности) и «формального» идеализма (признание априорных форм познания). В этом смысле кантов­ский подход, скорее, может быть соотнесен не с платоновским идеализмом, а с идеализмом (гилеоморфизмом) Аристотеля.

46

(2) Перейдем теперь к «локальным» неточностям отдельных пунктов статьи (прежде всего п. 7—8), связанных с вольным или невольным искажением кантовского учения о познании (кантов­ский априоризм, специфика математического познания, природа математического конструирования). Здесь можно выделить два типа неточностей. Первый тип я бы соотнес с феноменом «ис­порченного телефона», когда критикуется (излагается) не ориги­нальная кантовская мысль, а результаты ее (мысли) интерпрета­ции другими мыслителями, на которые и опирается автор статьи. Против этого главным нашим оружием изберем опору на ори­гинальные тексты самого Канта, посвященные этой проблемати­ке. Вторая ошибка может быть названа ошибкой презентизма и связана с тем, что мысль Канта «применяется» к посткантовской математике, статус которой принципиально иной («чувственная» математика Канта vs. «рассудочная» посткантовская математика). Формат (критического) комментария не позволяет подробно раз­вернуть «позитивную» аргументацию в пользу выдвинутых здесь тезисов, поэтому сошлюсь на «электронный» — расширенный — вариант комментария (http://www. *****/library/ksl/philmath_ 2001.html), а также на свои тексты, где дается более детальное из­ложение моей интерпретации кантовской концепции познания  см. форум «Как возможно творческое воображение?» (http:// www. fido7.net/cgi-bin/forumm. fp/?user= Kant&num).

П. 7: 1. Идеализм Платона и априоризм Канта, достаточно разнородные явления (об этом мы уже говорили выше). 2. Утверж­дение о том, что Кант «даже усилил... статус математических утверждений... отрицая чувственные основания математических утверждений» представляется неправомерным, так как математи­ка, по Канту, основывает свои положения на чувственных созер­цаниях и пространственно-временных конструкциях (особенно явно это прописано при сопоставлении природы деятельности математики и философии в главе «Дисциплина чистого разума в догматическом применении» КЧР). В этой связи, скорее, спра­ведлив обратный тезис о том, что статус математики (матема­тических утверждений) у Канта наименьший (по сравнению со статусом других естественнонаучных дисциплин). 3. Термин «синтетическое» у Платона и Канта используется в совершенно разных смыслах: «синтез» Канта связан с появлением нового зна­ния, а «синтез» Платона — с направлением познания (собственно, сам автор статьи говорит об этом чуть выше; см. п. Претен­зии Рассела (Китчера, автора статьи) к Канту о неразличении им априорного как процесса и результата познания неосновательны,

47

так как для Канта (чисто) «априорный процесс познания» — нон­сенс [см. ключевой (начальный) тезис Канта о природе познания в КЧР: «без сомнения, всякое наше познания начинается с опыта» (с. 32; курсив мой. — К. С.)]. В каком-то смысле Кант вообще не рассматривает «динамику» познавательного процесса, а анализиру­ет познавательную деятельность, посредством анализа его результа­тов, отвечая на вопрос «как возможны синтетические суждения а priori?». Поэтому не случайно, по признанию самого Канта, самым трудным для него в КЧР оказалось изложение учения о схематизме, в котором анализируется «динамика» взаимодействия рассудка и чувственности.

П. 8: 1. Утверждение о наличии у Канта концепции матема­тического априоризма — ошибка презентизма. У Канта есть толь­ко «зачатки» этой — более прикладной — концепции, которую можно «достраивать» различными способами. 2. В прочитанных мною текстах я нигде не нашел слов Канта о единственности ма­тематики, например евклидовости геометрии, говорить же о «единственности [чувственного] созерцания» неправомерно, так как это уже рассудочная (количественная) оценка созерцания (см. также расширенные критические замечания по этому поводу к п. 11 ниже). 3. «Для этого у нас есть неэмпирическая интуиция»: у Канта нет и не может быть (в отличие от Декарта, Лейбница, Гуссерля) неэмпирической интуиции, любая кантовская интуиция имеет чувственно-эмпирическое происхождение. Причем это яв­ляется одним из центральных положений всей теории познания Канта, которая может быть названа концепцией (дискурсивного) рассудочного познания. В этом смысле Кант категорически отвер­гает возможность познавательной интуиции, хотя допускает (гипо­тетическую, явно нечеловеческую) возможность «интуитивного рассудка» (интуитивный) [прообразный рассудок vs. (человечес­кий) дискурсивный рассудок] при эстетической — создании произведений искусства — деятельности [см. знаменитый § 77 из «Критики способности суждения» (далее — KCС]. Основой по­знания, т. е. его необходимым компонентом, являются («внешние») чувственно-эмпирические созерцания, которые «запускают» любой познавательный акт. Именно они, если субъект стремится к ис­тинному познанию природы, являются «ограничителями» твор­ческой активности воображения и рассудка, с ними должны быть согласованы понятия рассудка (а воображение, в свою очередь, подчиняется рассудку как «законодателю» познания). Вот как Кант уточняет невозможность нечувственной интуиции в своей

48

«Антропологии...»: «другими словами, воображение бывает или производительным (продуктивным), или воспроизводительным (репродуктивным). Но продуктивное воображение все же не бывает творческим, т. е. способным породить такое чувственное представ­ление, которое до этого никогда не было дано нашей чувственной способности (выделено мной. — К. С.)... Тот, кто из семи цветов никогда не видал красного, никогда не может иметь ощущение этого цвета...» ( Соч.: В 6 т. Т. 6. М., 1966. С. 402—403).

4.  Утверждения автора «Независимость от чувственного опыта в обоих типах конструирования — первая важнейшая черта матема­тических суждений» и термин «априорное синтетическое созерцание» также имеют весьма условное отношения к оригинальной кантовской позиции: любое созерцание для Канта имеет чувственный характер (см. аргументацию выше), а в основе кантовского «кон­струирования понятий» лежит соотнесение этого понятия с (чув­ственным) созерцанием (КЧР. С. 423), которое осуществляет кантовская способность суждения.

5.  Вернусь к началу «моего» п. 7 и обращу внимание на сноску <3>, в которой затрагивается ключевая тема «конструирования ма­тематических объектов» (эта тема — лейтмотив п. 8; частично она затрагивается в п. 16). Здесь автором приводятся два положения: (1) позиция Канта при переходе от КЧР к КСС на «механизм» формирование правил конструирования меняется; (2) «в КСС пра­вило формируется через рефлектирующую способность суждения, оно гибко». На наш взгляд, это существенное искажение кантовской позиции на процесс (математического) познания. Анализ кантовского текста КСС (см. цитаты и развернутый анализ текста в элек­тронном варианте комментария) позволяет, скорее, сформировать два противоположных тезиса. (1) В процессе познания «законода­телем» (правил) является лишь рассудок, а (определяющая) спо­собность суждения выполняет роль «подведения» под это правило особенного (в случае математического познания — соответствую­щего чувственного созерцания), причем это Кант подтверждает и в КСС [см. с. 37 (предисловие); с. 50—56 (гл. «О способности суж­дения как априрорно законодательной...»). (2) Рефлектирующая деятельность способности суждения никакого отношения к позна­нию не имеет, сферой ее деятельности является эстетическая [«при­внесение» в природу (идеи) красоты] и телеологическая деятель­ность («привнесение» в природу целесообразности).

П. 9—11. Видимо, наиболее адекватно исходная кантовская позиция в понимании априорности пространства—времени была

49

выражена Л. Нельсоном, которая близка и мне. Однако для раз­решения спорных моментов опять-таки надо обращаться к тексту оригинала, т. е. к самому Канту. Обратимся к «локальным» за­мечаниям по данному пункту 1. «Первый "удар фактами" по ма­тематическому априоризму был нанесен открытием неевклидовых геометрий», и именно с этого, по мнению автора, начался «регрес­сивный сдвиг программы» математического априоризма. Сосредо­точим нашу критику на аргументе, т. е. попробуем «выбить опору» из-под данного тезиса. Открытие неевклидовых геометрий не могло нанести «удар» по кантовскому априоризму, так как в п. 3 своего доказательства априорности пространства Кант особо под­черкивает, что пространство — «не… понятие, а... созерцание» (КЧР, с. 51; курсив мой. — К. С.), а это значит, что оно не явля­ется евклидовым или неевклидовым, поскольку это иррелевантная характеристика для чувственного созерцания! В каком-то смысле пространство как созерцание даже не обязательно трех­мерно (хотя о трехмерности Кант в своих текстах говорит), трехмерность — это вторичная рассудочная «оценка» пространства и поэтому она не обладает статусом «первичной» априорности. По­тому, например, упомянутое в тексте (п. 9) понятие «двуугольни­ка» для Канта яатяется (рассудочной) фикцией, так как под него нельзя подвести никакое (чувственное) созерцание. [Замечу, что для современной рассудочно-логизированной математики оперирова­ние с нечувственными понятиями типа «двуугольника» в принципе возможно, если мы предложим приемлемый критерий отличения пустых рассудочных фикций от «хороших» понятий (Гильберт).] 2. «Действительно, общим местом для всех было отождествление единства априорного созерцания с единственностью евклидова про­странства». Отмечу, еще раз (см. замечание к п. 8.2), что прямого указания в кантовских текстах на единственность евклидовой геометрии или невозможность неевклидовых геометрий я не об­наружил. Вполне возможно, что это положение долгое время фигурировало как «идол площади» и было соотнесено с кантовским априоризмом (замечу, что это «привнесение» вполне совместимо с априоризмом). Евклидовость или неевклидовость геометрии — это «вторичная» (одна из возможных) концептуализация априор­ного пространственного созерцания, которая в общем случае ста­тусом априорности не обладает. Вполне возможно, что эта идея сформулирована рефлективной способностью суждения или «син­тезирована» деятельностью продуктивного воображения, однако прямого отношения к (научному, математическому) познанию, согласно Канту, она не имеет: это только красивая гипотеза, кото­рая должна быть проверена опытным, т. е. созерцательным путем.

50

К весьма интересной статье я хочу сделать два замечания. Первое: в каком смысле можно толковать лакатосовское понятие регресса программы в отношении философских исследований? Как мне кажется, то, что происходит с философи­ей, в равной степени можно называть и прогрессом, и регрессом, и априоризм здесь не находится в каком-либо особом положении (некоторые авторы вообще считают, что философия умерла). Анализ весьма добротен и убедителен: версии априоризма, действительно, с течением времени становятся все более слабыми. Однако версии чего в философии становятся все более сильными? То, что некая идея переживает эпохи, даже если платит за это ослаблением своей категоричности, скорее, надо истолковывать в ее пользу.

Второе замечание более конкретное — о соотношении созер­цания и логического доказательства (п. 12). Вообще этот вопрос кажется мне обескураживающе неясным. Если бы от доказатель­ства требовалась только логичность, то идеальным доказательством было бы формальное (например, в исчислении предикатов). Одна­ко преподаватель математики, спрашивая ученика, всегда смотрит на доказательство, и если бы ученик предъявил формальный вывод теоремы, вряд ли это устроило бы учителя. Известный автор школь­ных учебников вообще считает, что для понимания геометрии не менее, чем известный список теорем, важно усво­ить некоторый набор задач. Задач, не имеющих большого значе­ния по сравнению с математическими утверждениями, но, с моей точки зрения, дающих опыт конструирования и созерцания.

В вопросе о доказательстве, возможно, телегу следует поста­вить впереди лошади. В зоне роста [для ученика это зона бли­жайшего развития (), а для профессионала — со­вершенно новые теории] не доказательство осуществляется в рамках некоторой заранее известной системы созерцаний-посту­латов путем логического выведения, а сама система созерцаний развивается и проясняется в процессе усвоения доказательства. Доказательство становится доказательным и убедительным в тот момент, когда актуализируется система необходимых созерцаний, когда доказанное утверждение становится очевидным.

Таким образом, первый тезис п. 14 о том, что из доказательств математический априоризм изгоняется, кажется мне слишком сильным. С этой оговоркой я присоединяюсь в качестве адепта к ядру слабой априористской программы, описанному в первых трех тезисах п. 14, касающихся чистой математики.

Остается ли после этого ослабления что-нибудь на долю трансцендентального субъекта познания — вот в чем вопрос.

51

Главное из того, что Алексей Георгиевич хотел показать в дан­ной статье, на мой взгляд, сделано. Обоснован тезис о прогресси­рующем ослаблении связи между математическим априоризмом в его исходной форме и реальной математикой. Попытки модерни­зировать априористскую концепцию математики трактуются Алек­сеем Георгиевичем как регресс математического априоризма, хотя желание представить априоризм в качестве философской методо­логии математики у приверженцев учения самого Канта и его после­дователей, судя по всему, с течением времени не ослабевает. Другое впечатление от статьи заключается в том, что в ней выявлена изна­чальная слабость указанной связи, если под последней понимать методологическую и предсказательную функции априористской концепции по отношению к практикуемой математике, т. е. что эта связь со временем становилась все слабее и слабее. И скорее всего это так, поскольку математический априоризм только пытается объяснить то, что создается в математике, а значит, он вторичен и обречен на вечное запаздывание и отставание. Впрочем, не такова ли участь всякой философии математики?

Однако математический априоризм может сохраняться как иррациональная вера в авторитет Канта и высказанного им «сло­ва». Например, особое почитание Канта было свойственно Д. Гиль­берту, тогда как его реальная математическая практика была во многом (если не совершенно) иной, о чем свидетельствует его де­виз: «Мы должны знать, мы будем знать». Математический априо­ризм в его разных, включая постнеокантианские, вариантах может оставаться еще и как ожидание и даже некая деятельность по фраг­ментарной реализации обширной виртуальной программы созда­ния «своей» математики, как-то соотносящейся с существующей и потому имеющей набор соответствующих фактов, но, с точки зре­ния скептиков, вряд ли когда способной обрести целостное вопло­щение, а потому в таком виде лишь абстрактно возможной.

 

Я согласен с тезисом , согласно которому ма­тематический априоризм с момента его оформления у Канта в качестве систематической концепции претерпевает изменения, в процессе которых он отказывается от некоторых исходных посы­лок. Неевклидовы геометрии, в этом смысле, хороший пример. В настоящее время мы, конечно, не можем настаивать на том, что вся математика априорна, и должны признать, что математи-

52

ческое мышление способно выходить за сферу самоочевидных (априорных) принципов. Таких дефектов в кантовской теории много. Представляется совершенно искусственной декларируемая в ней связь арифметики с понятием времени, не раскрыт генезис априорных форм мышления в индивидуальном сознании (коле­бания неокантианцев относительно этого момента совершенно законны), не определен должным образом и сам состав априор­ных принципов. И по всем этим пунктам традиционный априо­ризм, конечно, должен уточняться и, таким образом, в ряде мо­ментов отступать от исходной трактовки. Но мне кажется, что слишком субъективен в общей оценке ситуации и за естественной эволюцией кантовской концепции, которая в действительности является процессом ее уточнения и обоснова­ния, склонен усматривать только признаки ее регресса и деграда­ции. Я не вижу серьезных аргументов для такого рода оценки. Регрессом априоризма мог бы быть только частичный или пол­ный отказ от основной идеи Канта, согласно которой исходные математические представления относятся к универсальной форме мышления и, таким образом, не зависят от опыта. Нет ни одного факта, который принуждал бы нас отказаться от априорности арифметики и евклидовой геометрии в этом смысле. Сфера апри­орного знания исторически уточняется: некоторые принципы, которые Кант считал априорными, мы в настоящее время уже не можем считать таковыми. Это относится к законам механики, а также и к частным аналитическим суждениям. Мы должны, та­ким образом, существенно сузить сферу априорного знания, оп­ределенную Кантом. Однако это также не опровержение, а толь­ко уточнение кантовской концепции. С гносеологической точки зрения нам не так важно, насколько велик объем априорного знания, а важно — существует ли оно вообще в его исходном по­нимании. Я не вижу фактов, которые заставляли бы нас в настоя­щее время отказаться от утвердительного ответа на этот вопрос. Я не согласен с также и в его попытке, истол­ковать деятельностную концепцию априорного знания как не­которую ступеньку в регресивном развитии исходной версии ап­риоризма. Деятельностная концепция, несомненно, усиливает традиционную априористскую теорию, поскольку она позволяет понять истоки априорных представлений и с большей определен­ностью выявить их состав. Критика априоризма, с точки зрения общих законов эволюции знания, развиваемая ­вым, полезна для прояснения истины, но она явно недостаточна лля отказа от идеи математического априоризма и для опровер­жения кантовской точки зрения в ее существенных моментах.

53

ОТВЕТ АВТОРА

Я счастлив, что данная статья привлекла внимание коллег и благодарен им за благожелательно-бережное отношение (в целом, за единственным и вполне объяснимым исключением) к выска­занной в ней идеям. Ввиду многочисленности поступивших ком­ментариев по некоторым позициям целесообразно ответить ува­жаемым оппонентам «в совокупности», только в случае крайней необходимости адресуясь в ним персонально.

Во-первых, следует систематизировать как позитивные, так и негативные (по отношению к моей статье) соображения,

1. Позитивные.

1.1. То, что математический априоризм эволюционирует в на­правлении построения все более слабых версий, воспринято всеми без исключения комментаторами как ясно сформулированный и интересный для обсуждения тезис. Часть комментаторов поддер­жала этот тезис, часть не согласилась с ним, но все, даже наиболее строгие оппоненты, воспользовались той понятийной рамкой (про­грамма — математический априоризм — версии математического априоризма — факты — регресс), которая была предложена в статье.

1.2. Аналогично, естественной для восприятия оказалась и идея о разделении философии математики (и математического априориз­ма в том числе) на собственно философские концепции математи­ки, и на концепции в прикладном смысле (интересные настолько, насколько хорошо они описывают реально существующую матема­тику и совместимы с новыми направлениями и тенденциями ее развития, вплоть до предвидения общего хода дальнейшего разви­тия математики). Эта идея обсуждается во всех комментариях.

1.3.  Оказалась отмеченной связь предложенной мною конст­рукции с концепцией И. Лакатоса. Возможность использования концепции Лакатоса при изучении эволюции математического ап­риоризма я стремился показать всем содержанием статьи. Конеч­но, не все комментаторы безоговорочно восприняли такой ход мысли, но все они отметили его в своей реакции на статью. Соб­ственно, я пытался показать, что каркас концепции исследователь­ских программ хорошо встраивается в аморфное «тело» философии математики, делая его более структурированным и, значит, более анализируемым.