Математика и опыт (стр. 31 )

.

Примечания

1  КрамерХ. Полвека с теорией вероятностей. Наброски воспоминаний. М., 1979. С. 38,

2  О статье «Частотная теория и современные идеи теории вероятностей» // Вопросы философии. 1981. № 1. С. 91.

11 -Н. О таблицах случайных чисел // Семиотика и информатика. Вып. 18. М., 1982. С. 4. (Впервые опубликована в индийском журнале «Sankhya» в 1963 г.)

4 , Сложность конечных объектов и обоснование поня­тий теории информации и случайности с помощью теории алгоритмов // Успехи математических наук. 1970. Т. XXV, Вып. 6. С. 111.

s Подробный анализ концепции Ми^еса см. в статье; Теория ве­роятностей Р. фон Мизеса: история и философско-метологические основа­ния // Историко-математические исследования. Вторая сер. Вып. 3(38). М.,1999.

6  См. переписку Маркова с Чупровым, в которой обсуждался, в частности, воп­рос о том, следует ли в теории вероятностей говорить о вероятности отдель­ного события [О теории вероятностей и математической статистике (Пере­писка и ). М., 1977].

7  Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М., 1967. С. 14.

я Там же.

9 Теория вероятностей // Математика, ее содержание, методы и значение. М,, 1956. С. 253. 

414

10 Там же. С. 254. 

11  Там же. С. 270. 

12 Там же.

13 Там же. С. 271. 

14 Там же. 

15 Там же. С. 274. 

16 Там же. С. 274-275. 

17 Там же. С. 275.

18 Так, для того чтобы статистически обнаружить постоянство частот с точностью до 0,0001, необходимо пользоваться сериями примерно 1 000испыта­ний. Поэтому гипотезы о верятностно-случайном характере явлений обосно­вываются, как правило, косвенным образом, например на основании сообра­жений симметрии.

19 См.: KotmogorovA. N. On cables of random numbers// Sankhya. 1963. Series A. 25, 4. P. 369—376. В 1982 г. эта статья в переводе А. Шеня была опубликована на русском языке. В предисловии к переводу , в частности, пи­сал, что сгатья отражает определенный этап его попыток осмыслить частот­ную интерпретацию вероятности Мизеса (см.: О таблицах случайных чисел. С. 3).

20 О таблицах случайных чисел. С. 4.

21 Там же. С. 4—5.

22 См.: там же. С. 3, 6—7.

23 Комбинаторные основания информации и теории вероят­ностей // Успехи математических наук. 1983. Т. 38. Вып. 4, С. 28.

24 Там же.

25 Три подхода к определению понятия «количество информа­ции» // Проблемы передачи информации. Т. 1. Вып.С. 6.

26 Там же.

27 Природа вероятности (философские аспекты). М., 1970. С. 87.

28 Проблемы теории вероятностей и математической статисти­ки //' Вестн. АН СССР. № 5. С. 95.

29| Три подхода к определению понятия «количество информа­ции». С. 6—7.

30 Ingarden R. S., L'rbanic К. Information without probability // Colloquium Mathema­tician. 1962. Vol. IX. N 1. P. 136.

3l Проблемы теории вероятностей и математической статисти­ки. С. 95.

32 Первые публикации, содержащие замысел «перестройки» теории информации, у Соломонофа (США) и Колмогорова были в 1964 и 1965 гг. соответственно. Затем разработкой новой концепции основательно занялся шведский матема­тик Мартин-Леф, работавший в середине 60-х гг. в Москве.

33 К. логическим основам теории информации и теории вероят­ностей // Проблемы передачи информации. Т. 5. Вып.С. 6.

44 См.; Там же. С. 5.

35 Комбинаторные основания теории информации и теории вероятностей // Успехи математических наук. 1983. Т. 38. Вып. 4. С. 31.

36 Там же.  . 

37 О науке. М., 1983. С. 336.  :

38 Частотный подход к определению понятия случайной последователь­ности // Семиотика и информатика. 1982. >й 18. С. 19.

39 См.; Там же. С. 34-39. 

415

КОММЕНТАРИИ

Статья представляет собой очень хороший историке-науч­ный экскурс в весьма актуальную проблему оснований совре­менной теории вероятностей. В этом комментарии я хотел бы акцентировать внимание на одной чисто философской пробле­ме, к размышлению над которой подталкивает текст ­ряна, но которая в нем недостаточно выявлена (впрочем, может быть, это и не было задачей автора).

Успехи алгоритмической теории вероятностей могут создать иллюзию, что категория случайного в принципе устранима и яв­ляется лишь отражением нашего временного неполного знания о мире. Между тем современные исследования (в частности, ра­боты И. Пригожина) показывают, что случайность есть фунда­ментальная онтологическая категория, не сводимая ни к сложно­сти, ни к нечеткости, ни к чему-либо, что отражает «неполноту» нашего знания, неполноту, потенциально устранимую. Такое воззрение возрождает, по существу, хотя и в модернизирован­ном варианте, известное кредо классического детерминизма: «Наука — враг случайности». Но, несмотря на то что алгоритми­ческая теория вероятностей позволяет строго определить понятие индивидуального случайного объекта (точнее, индивидуальной случайной последовательности), она не может принципиально устранить объективную ограниченность всякого наблюдения и знания, которую Пригожий называет временным горизонтом, т. е. устранить принципиальную непредсказуемость «индивиду­ального поведения на любом уровне нашего знания»1. Тем не менее такая непредсказуемость вовсе не свидетельствует о «кон­це науки»: просто наука должна четко осознавать пределы своей компетенции. С философской точки зрения, это означает, что наука на каждом этапе своего развития должна по-новому ста­вить кантовскую проблему критики «чистого» (если угодно, на­учного) разума (вспомним о названии одной из фундаменталь­ных работ К. Хюбнера). Сложнейшей проблемой этой критики будет тогда проблема «квантовой» неразделимости субъекта и объекта, принципиальной неустранимости наблюдателя из кар­тины мира. На новом уровне мы приходим к кантовской вещи самой по себе и. по-видимому, вынуждены признать неосуще­ствимость эйнштейновского идеала абсолютно объективного знания. Наверное, можно даже сказать, что попытки элимини-

 -----

Время, хаос, квант. М„ 2000. С. 72.

416

ровать случайность, как бы изощренно они ни обстаашлись и как бы ни тешили научное сознание, равносильны попыткам элиминировать время. С этой точки зрения, мне кажется не со­всем убедительным пример с сотней шестерок, выпадающих на игральном кубике. Я думаю, что появление такой чудесной се­рии есть ничуть не меньшая случайность, чем появление какой-либо другой конкретной последовательности ста чисел — нет никаких гарантий, что за пределами наблюдаемого отрезка по­ведение кубика не станет абсолютно случайным (с точки зрения алгоритмической теории). Эту абсолютную безразличность случая к чему-либо индивидуальному и схватывает классическая теория. Вспомним, что Гегель определял случайное как то, что имеет основание и одновременно не имеет его, т. е. как то, что одновре­менно закономерно и не закономерно. Однако, насколько мне известно, гегелевская диалектика случайного не становилась пред­метом серьезного математического обсуждения, хотя, на мой взгляд, это принесло бы большую пользу математике. Во всяком случае, обыденное предстаатение о случайном как о лишенном закономерности не столько естественно, сколько кажется тако­вым. Что такое отсутствие закономерности? Хаос? Но что такое хаос? И тут мы опять «естественно» приходим к пригожинской трактовке хаоса как препятствия на пути к полному описанию индивидуального поведения, и вряд ли столь же естественно мы придем к понятию хаотического как «очень сложного».

Сказанное не следует понимать как негативную оценку алго­ритмической теории вероятностей в целом: эта теория наряду с другими математическими теориями имеет свою сферу примене­ния. Но надо заметить, что ведь и теория алгоритмов, служащая базой алгоритмической трактовке вероятностей, сама не свободна от тяжелых внутренних проблем (о которых, правда, специалисты предпочитают не говорить). Так, теория алгоритмов, в некоем зер­кальном соответствии с классической теорией вероятностей, не может объяснить причин неразрешимости той или иной массовой проблемы, а может только констатировать факт неразрешимос­ти, погрузив данную массовую проблему в «коллектив» равносиль­ных (т. е. взаимно сводимых) проблем. Не следует ли ей в таком случае привлечь на свою сторону методы классической теории вероятностей, построив теоретико-мерную концепцию вычисли­мости2? Это вписывается в несомненную тенденцию, усиливаю­щуюся в современной дискретной математике, которую можно

-----. 

2 См., в частности, постановку такого рода в работе: Алгорит­мическое пространство // Вестник МГТУ им. . Сер, Естественные науки. 2002. № 1, С. 3-17.

417

охарактеризовать как «тоску по непрерывности» (одним из прояв­лений этой «тоски» является мощная топологизация прежде чис­то комбинаторных разделов: теории грамматик и языков, теории автоматов и т. п.). Так отражается совершенно естественная связь логики и геометрии: структуры мышления должны быть как-то фундированы свойствами пространства-времени. Тогда случайность и классическая вероятность оказываются теми принципами, ко­торые позволяют с единой точки зрения взглянуть на логику и геометрию, причем алгоритмическая теория вероятностей вносит существенный вклад в трактовку понятий сложности, информа­ции, энтропии.

Так или иначе, но можно говорить о дополнительности (в боровском смысле) дискретного и непрерывного в математических моделях. Алгоритмическая и классическая теории вероятностей должны тогда взаимно обосновывать друг друга. И здесь не нужно бояться «круга» в рассуждениях. Такой «круг» неизбежен, лишь только речь заходит именно об основаниях той или иной науки. «Решающее — не выйти из круга, а правильным образом войти в него» (М. Хайдеггер). И это, скорее, не круг, а неразмыкаемая спираль субъект-объектных связей. Методы классической матема­тики в большей степени онтологичны, пытаются схватить бытие «в-себе», характеризуют замкнутое, т. е. находящееся за пределами некоторого горизонта, бытие; методы же дискретной математики в большей мере характеризуют наблюдателя, описывают размыка­емое бытие. Но как раз в «круге» таких попыток разомкнуть не­размыкаемое и движется вся наука.

Проблема, рассматриваемая в работе , отно­сится к числу тех вопросов, над которыми изучающие математи­ческую теорию вероятностей задумываются редко, что, наверное, правильно, так как раздумья над данным вопросом могут увести очень далеко. Чтение статьи приводит к выводу, что в «теоретико-мерном» варианте и в нефинитной алгоритмической теории веро­ятностей в настоящее время отсутствует удовлетворительная ин­терпретационная схема, и лишь в финитном случае существует последовательный подход, объясняющий совпадение предсказаний идеальной математической модели с реальностью. Проанализи­руем более внимательно п. 2 и 3 приведенного в конце работы описания применительно к двум простейшим реализациям схемы Бернулли: бросание монеты и погода в Москве в один и тот же день календаря в разные годы.

И в том, и в другом случае адекватность описания физическо­го процесса при помощи схемы Бернулли устанавливается на ос-

418

нове методов нелинейной динамики. Независимость отдельных испытаний оказывается следствием отсутствия детерминации ре­зультата испытаний начальными условиями. При подбрасывании монеты необходимо, чтобы она перевернулась в воздухе несколь­ко раз, а в случае с погодой важно, чтобы период времени между двумя «испытаниями» превышал две недели. После этого в п. 4—6 уже чисто математическими средствами гарантируется правомер­ность математической модели.

Наиболее важным и интересным обстоятельством здесь, на мой взгляд, является то, что п. 2 и 3 требуют выхода за рамки математики. Получается, что, несмотря на наличие аксиоматики, современная теория вероятности требует для обоснования своей применимости обращения к естествознанию, а значит, как и во времена Лапласа и Пуанкаре, оказывается не строго математичес­кой, а естественно-научной дисциплиной. Не означает ли в таком случае использование финитного алгоритмического варианта для объяснения практической эффективности теории вероятности отход от замысла Гильберта сделать данную науку чисто матема­тической дисциплиной?

Изложенные факты интересны в том смысле, что они выявля­ют логику совершенствования математической теории в ее исто­рическом соединении с практикой. Несомненно, что мы должны проводить четкое различие между внутренней строгостью математической теории и надежностью ее выводов, относящихся к внематематичеекой реальности. Непосредственное заключение от строгости к надежности (достоверности) покоится на предпосылке полной адекватности интерпретации, которая не во всех случаях имеет место. Проведенный автором анализ развития теории веро-нтпостей показывает, что понятийное вызревание теории посте­пенно меняет ситуацию к лучшему. Мы видим, что экспликация интуитивных принципов Мизеса в алгоритмических понятиях ниляется одновременно и обогащением аппарата теории, и уточнением критериев выбора вероятностной ситуации. Вопрос, однако, в том, можем ли мы считать выявление этой закономерности полным решением вопроса о механизме соединения математической теории с опытом. Представляется, что мы выявляем здесь лишь одну сторону дела. Формальная структура не определяет сферы своего приложения, а это значит, что между ней и миром эмпирических ситуаций всегда остается неопределенность, преодо­леваемая только на основе здравого смысла, аналогии и интуиции. Иными словами, некоторая степень иррациональности здесь всегда остается, и, по-видимому, она зависит прежде всего от качества

419

понятий в описываемой области. В этой связи было бы интересно исследовать конкретные примеры использования теории вероят­ностей, с тем чтобы выявить вес интуитивных и собственно мате­матических критериев в определении степени достоверности ее выводов применительно к физике, биологии, социологии и т. п. Здесь, на мой взгляд, имеет место градация достоверности, с ко­торой мы должны считаться в оценке вероятностных методов в различных областях знания. Я думаю, что вопрос о сфере приме­нения теории вероятностей будет открытым до тех пор, пока эта градация не будет исследована и объяснена.

ОТВЕТ АВТОРА

Содержательный и интересный комментарий Алексея Ива­новича далеко выходит за рамки тех проблем, которые я анализи­ровал ь своей статье. В свете своих дальнейших размышлений и хотел бы сформулировать в виде вопросов наиболее заинтересо­вавшие меня идеи комментария.

1.  Возможно ли и каким образом серьезное математическое обсуждение гегелевской диалектики случайного?

2.  Каким образом и насколько недостатки теории алгорит­мов, о которых говорится в комментарии, ограничивают возмож­ности алгоритмической теории вероятностей?

3.  Каким образом философские представления о случайности и, в частности, отмеченные в комментарии идеи И. Пригожина могут стать методологической основой рассмотрения классического (теоретико-мерного) и алгоритмического подходов в теории вероятностей как взаимно дополнительных (в боровском смысле) и обосновывающих друг друга?

По поводу одного из конкретных замечаний хочется сказать особо. Известно, что при бросании правильной монеты среди всех серий «орел—решка» наибольшее среднее время ожидания имеют те серии, которые состоят только из «орлов» или только из «решек». Например, до появления серии, состоящей из N «орлов», нужно произвести в среднем (в смысле математического ожида­ния) почти в два раза больше бросаний, чем до появления серии, состоящей из (N— 1)-го «орла» и одной «решки»1. В то же время вероятности пояаления этих серий одинаковы. С точки же зрения

___________________________

1 См.: Парадоксы в теории вероятностей и математической стати­стике. М., 1990. С. 61.

420

алгоритмической теории вероятностей последовательность из N «орлов» имеет максимальный для всех возможных последователь­ностей дефект случайности! И именно об этом нам настойчиво свидетельствует наш здравый смысл. Аналогично обстоит дело и с игральным кубиком. Так, при бросании правильного кубика шес­терка, как, впрочем, и любая другая грань, появится два раза под­ряд в среднем при 7 бросаниях, а три раза подряд при 43 бросани­ях2. Именно эти соображения я имел в виду, говоря о максималь­ной «неслучайности» последовательности из ста шестерок, хотя вероятность появления этой последовательности равна вероятно­сти выпадения любой другой конкретной последовательности. И действительно, на это указывают не только наш здравый смысл икупе с алгоритмической концепцией случайности, но и рассуж­дения, проводимые в рамках классической теории вероятностей! Все это, впрочем, не ставит под сомнение утверждение Алексея Ивановича о том, что достижения алгоритмической теории не означают, что случайность как фундаментальная онтологическая категория сводима к понятию сложности.

Прежде всего хотелось бы выразить Сергею Николаевичу при­знательность за то, что он обратил мое внимание на интересные результаты, изложенные в статье физика Дж. Форда1. Разобран­ные в этой статье и упомянутые в комментарии примеры ценны юм, что совершенно конкретно показывают, каким образом алго­ритмическая теория и нелинейная динамика совместными усили-ими обосновывают возможность применения классических теоретико-вероятностных представлений. Эти примеры, несомненно, подтверждают то, что пункты 2 и 3 интерпретационного механиз­ма выходят за рамки математики. Однако значит ли это, что современная теория вероятностей оказывается не математической, м естественно-научной дисциплиной, как это фактически обстояло во времена Лапласа? Думается все-таки, что это не так. Дело в том, что алгоритмическая теория вероятностей играет сейчас ту же роль для теоретико-мерной теории вероятностей, какую в свое время играла естественнонаучная по своему построению частотная концепция Р. фон Мизеса. А именно, алгоритмическая тео­рия вероятностей, как и до ее появления частотная теория служит

------

1 См.: Там же. С. 66.

1 См.: Форд. Дж. Случаен ли исход бросания монеты? // Физика за рубежом, Сер. А. М., 1984.

421

мостом между чисто математической теоретико-мерной теорией ве­роятностей и конкретными научными теориями, вроде нелинейной динамики. Другое дело, что реализующая одну из важнейших идей Мизеса — принцип иррегулярности — алгоритмическая теория свободна от противоречий и ограничений мизесовского подхода. Именно поэтому, как утверждается в статье, финитная алгорит­мическая теория может считаться достаточно приемлемой интер­претационной схемой теоретико-мерной математической теории вероятностей. Однако благодаря комментарию Сергея Николае­вича я должен сделать существенное уточнение, состоящее в том, что финитная алгоритмическая теория вероятностей вряд ли мо­жет считаться чисто математической теорией, поскольку для ко­нечных последовательностей характерна лишь приблизительная иррегулярность. Причем «мера» этой «приблизительности» опре­деляется соображениями, характерными для предполагаемой об­ласти применения теории вероятностей.

В заключение, хочется еще раз выразить авторам комментари­ев искреннюю признательность за доброжелательные замечания, наводящие на весьма плодотворные размышления.

Не могу согласиться с Василием Яковлевичем в том, что по­явление алгоритмической теории полностью решает вопрос о ме­ханизме соединения математической теории вероятностей с опытом. Алгоритмическая теория вероятностей лишь позволяет стро­го определить понятие индивидуального случайного объекта, что дает возможность выделить класс объектов (последовательностей), для исследования свойств которых применение теоретико-мер­ной теории вероятностей можно считать достаточно надежно обо­снованным. При этом критерии эффективности применения тео­рии вероятностей определяются главным образом внематематическими обстоятельствами. Так, например, исследуя проблему корреляции некоторых признаков и строя уравнение регрессии, исследователь сталкивается с необходимостью решить, насколько важна для него в каждом конкретном случае оценка значимости уравнения и его отдельных параметров. Таким образом, градация достоверности, о которой идет речь в комментарии, зависит не столько от самого математического аппарата теории вероятнос­тей, сколько от тех требований к «качеству» конечного результата, которые определяются особенностями конкретной предметной области.

422

АПРИОРНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ

С НУЛЕВОЙ ОНТОЛОГИЕЙ

1. Математика и современное мульти-медийное

экспериментирование

В конце XX в. возникло и быстро обрело черты взрывоподобного развития новое, я бы сказал, научно-технологическое направ­ление научного познания, имеющее прямое отношение к фило­софской проблеме «Математика и опыт». С точностью до несущественных терминологических нюансов это направление называют «Экспериментальной математикой» или «Визуальной математи­кой». Методологическую основу этого направления составляет когнитивная компьютерная графика (ККГ) и основанная на ней ККГ-технология семантической визуализации математических абстракций с целью порождения принципиально нового матема­тического знания [1—16].

Как известно, Эйлер, Гаусс и многие другие выдающиеся ма­тематики широко использовали математические вычисления как иажную в прямом смысле слова экспериментальную составляющую своих научных теоретических изысканий: нередко именно резуль­таты такого (естественно, ручного) вычислительного эксперимен­та подсказывали им новые математические идеи и гипотезы. Се­годня ККГ-технология визуализации математических абстракций открывает принципиально новые возможности математического экспериментирования: математик впервые получает возможность прямого общения с абстрактными объектами своих теоретичес­ких исследований на концептуальном уровне одновременно по нескольким мульти-медийным каналам, а именно, по визуально-цвето-музыкально-динамическим и даже художественно-эстетическим каналам [1; 9—11].

Использование ККГ-технологии математического экспериментирования порождает ряд новых теоретико-познавательных и логико-философских вопросов. В частности, как связаны платонов­ское «существование» идеальных (абстрактных) математических сущностей с реальным существованием их мульти-медийных ККГ-образов, как эти образы воздействуют на кантовскую «интеллек­туальную интуицию», порождая в голове человека принципиаль­но новые идеи, относятся ли такие идеи к области изобретаемых или открываемых сущностей, какие «априорные формы мышле­ния» актуализируются в процессе визуального погружения в се-

423

мантику той или иной предметной области математики, какие когнитивные способности интуиции и образного мышления ма­тематика в интерактивной системе «человек — ККГ-образ» явля­ются «врожденными, приобретенными или иными», являются ли и в какой мере ККГ-образы математических абстракций легитим­ными «субъектами» достоверного математического познания и т. д., и т. п.

Некоторые из указанных выше проблем ранее рассматри­вались в [1; 6—9]. В настоящей работе излагаются результаты, подсказанные ККГ-визуализацией парадокса «Лжеца» [13; 14] и канторовской проблемы континуума [17; 9] сточки зрения «онтологического наполнения» потенциально-бесконечных форм соот­ветствующих парадоксальных «рассуждений».

2. О связи семантики понятия и его онтологии

Онтология, по определению, есть наука о бытии. Онтология (абстрактных) понятий есть проблема связи их содержания с вне­положным бытием их семантики или, другими словами, с вопро­сом о существовании прототипа (модели, интерпретации) этой семантики в «объективной реальности». Учитывая иерархическую структуру процесса абстрагирования, связь семантики (содержа­ния) понятия с ее онтологическим прототипом может быть весь­ма отдаленной, опосредствованной и далеко не очевидной. Это приводит к тому, что для понятий высших уровней абстрактности и, следовательно, общности (таких, как «пространство», «время», «бесконечное» и т. п.) установление связи «семантика — онтоло­гия» является процедурой весьма нетривиальной и даже поводом для «подозрений» в том, что в некоторых случаях такой связи просто не существует, а потому соответствующие понятия имеют якобы чисто априорный, т. е. внеонтологический, характер.

3. Безынерционное мультиплицирование сущностей

как фундаментальное условие рационального мышления

В настоящей работе я рассматриваю особый тип логических и математических понятий и суждений, которые имеют изначально априорный характер, т. е., вообще говоря, обладают нулевой онто­логией, но не потому, что они являются априорными формами нашего мышления в кантовском смысле, а потому, что такие по­нятия и суждения являются результатом запредельных (т. е. недо­пустимых, с точки зрения классической логики) мыслительных процедур абстрагирования, обобщения и экстраполяции. Сама возможность подобного выхода «за границы всякого возможно-

424

го опыта» обусловлена уникалъным свойством нашего мозга — безынерциотостъю мышления, что связано с очевидным наруше­нием основных законов «диалектики природы» и прежде всего закона перехода количества в (новое) качество.

Например, с точки зрения энергетических и временных затрат, представить себе, т. е. вообразить, нарисовать на «экране» нашего внутреннего зрения песчинку или целую галактику — совершен­но одно и то же, хотя, с другой стороны, очевидно, что, для того чтобы изменить, например, положение в пространстве песчинки или галактики потребуются несоизмеримо различные величины реальных энергетических и временных «затрат». Другим характер­ным примером нарушения законов диалектики безынерционностью нашего мышления является наше представление о конечном и бесконечном. Эталонным примером бесконечного со времен Пифагора является ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, ... Как известно, Гегель назвал бесконечность этого ряда «дурной». Логическим основанием для такого неоправданно пренебрежительного «определения» данного типа бесконечности является тот факт, что, с точки зрения фундаментального свойства «быть натуральным чис­лом», переход от п к n + 1 не зависит от величины п, т. е. такой переход не порождает никакого нового качества относительно применимости операции «+1» к очередному п, независимо от того, каким бы большим ни было это п. т. е. здесь вновь нарушается диалектический закон перехода количества в новое качество. Тем мс менее мы без труда можем представить себе одну «вещь», две, три, десять, сто, тысячу и т. д. Правда, уже после первой сотни онтологическое «наполнение» числительных начинает размываться, и после первой тысячи все числительные «коллапсируют» в абст­рактное «много». Однако при этом уникальная способность на­шего воображения мультиплицировать любое количество таких абстрактных «многих» сохраняется.

Я нигде не встречал сколько-нибудь приемлемого (с точки зрения классической логики) определения словосочетания «фор­мы мышления». Еще меньшей логической определенностью обладает словосочетание «априорные формы мышления», и что в таком случае означает, например, «дополнительное» словосочета­ние «апостериорные формы мышления»? Мне, однако, представляется, что указанная способность нашего мышления к безынерционному мультиплицированию «вещей» любого уровня абстрактности если и не является «формой мышления» в традиционно-туман­ном значении этого термина, то, во всяком случае, представляет изначальный психофизиологический базис и необходимое условие для любого типа (как конкретного, так и абстрактного,

425

как интуитивного, так и рационального, как априорного, так и апостериорного) мышления.

Рассмотрим несколько примеров хорошо известных логичес­ких и математических конструкций, которые имеют явно внеэмпирическое происхождение, с одной стороны, но столь же явно выхо­дят за границы любой осмысленной рациональности — с другой.

4. Потенциально-бесконечная форма

парадокса «Лжеца»

Одна из канонических формулировок этого парадокса звучит так [18]. Некто утверждает: «Я — лжец», — лжец ли он? Если он лжец, то он лжет, когда утверждает, что он лжец. Следовательно, он не лжец. Но если он не-лжец, то он говорит правду, когда утверждает, что он лжец. Следовательно, он — лжец. Обозначая А = «Я — лжец», получаем следующую традиционную формаль­ную запись «Лжеца»:

[А→ ⌐А] & [⌐А→А].  (I)

Анализу парадокса «Лжеца» посвящена обширная литерату­ра, предложено множество его «решений» [18—20], однако ни одно из этих «решений» не является пока удовлетворительным и обще­признанным.

С точки зрения, анонсированной в заглавии данной статьи, представляет интерес анализ так называемых бесконечных форм парадокса «Лжеца».

По-видимому, первым, кто вплотную подошел к интерпре­тации «Лжеца» как бесконечного «рассуждения», был Б. Рассел. В своей «Автобиографии» [21, с, 149—150] он пишет: «Противоречие, совершенно подобное Эпименидову, может быть получено следующим образом. Человеку предлагают лист бумаги, на кото­ром написано: «Утверждение на обратной стороне этого листа — ложно». Человек переворачивает лист на другую сторону и на этой стороне читает: «Утверждение на обратной стороне этого листа — истинно». Любой человек, который впервые знакомится с этим парадоксом, начинает, не без удивления, переворачивать этот лист с одной стороны на другую, и прервать эту «познава­тельную процедуру» могут, вообще говоря, различные причины, но ни одна из них не является по своей природе логической или математической».

Назовем для краткости этот парадокс Рассела парадоксом «Переключателя». Очевидно, что Рассел был прав, полагая, что парадокс «Переключателя» имеет такую же формальную структуру (I), как и парадокс «Лжеца». Уместно, однако, обратить внима­ние на два существенных различия между этими, формально эк­вивалентными, парадоксами.

Во-первых, «пресловутая» самоприменимость, с которой всю жизнь так безуспешно боролся Рассел, в рамках «Лжеца» и «Пере­ключателя» имеет разный характер. А именно, если в «Лжеце» мы имеем самоприменимость как бы 1-уровня («Я — лжец»), то в «Переключателе» появляется самоприменимость 2-уровня (1-сто­рона листа ничего не говорит «о себе», но отсылает читателя к 2-стороне, а вот уже эта 2-сторона ссылается на 1-сторону). Это свойство парадокса «Переключателя» яачяется важным в связи с тем, что в конце 80-х годов Яблу [22] предложил бесконечную форму «Лжеца» якобы без использования самоприменимости (па­радокс «Очередь»). Все это говорит о том, что мы сегодня еще далеко не все знаем о таком важном понятии, как самоприменимость, которое играет важнейшую роль в вопросах оснований математики, проблемы парадоксов и философии математики.

Во-вторых, в парадоксе «Переключателя» в явном виде содер­жится выходящий за рамки логики «директивный» элемент, а имен­но, в утверждениях на каждой стороне листа имеется неявное, но императивное указание па необходимость совершения физического действия — перевернуть лист па другую сторону. Это отнюдь не случайный момент, очень существенный и важный для понима­ния природы парадоксальности.

Так, в работах [13; 14] впервые сформулированы необходимые и достаточные условия явления парадоксальности в целом и с помощью классической теории моделей доказано, что «истинной» формой «Лжеца» (и ему подобных парадоксов) является именно бесконечное «рассуждение» вида:

  А→ ⌐А→ А→ ⌐А→ А→ ⌐А→ А→ …  (1а)

При этом выявляется следующий важный психологический и эпистемологический аспект «Лжеца»: если традиционная «конеч­ная» форма (I) акцентирует наше внимание на противоречивости парадоксального высказывания и знаменует собой состояние интеллектуально-психологического шока, которое (уже более 2500 лет) не позволяет человеку выйти за рамки этой конечной интерпрета­ции «Лжеца», то очень нетрадиционная бесконечная форма (1а) демонстрирует полную семантическую бессмысленность подобного «рассуждения» и его очевидную онтологическую пустоту.

В указанных работах также подчеркивается особая роль пре­диката «быть ложным». Оказалось, что этот предикат так же, как и расселовский парадокс «Переключателя», содержит императив-

426

427

ную составляющую, а именно фактически этот предикат «требует» «насильно», внешним образом изменить значение связки парадок­сального высказывания, независимо от текущего истинностного значения этой связи [13; 14].

Уместно отметить следующий факт. В работах [13; 14] с по­мощью физического моделирования структуры логического дока­зательства доказано, что парадокс «Лжеца» представляет собой внелогический переключатель истинностного значения внешней формы логического сигнала (X = И и X = Л) с помощью его же внутренней формы («X есть Л»). Этот факт хорошо согласуется с концепцией внешних и внутренних форм высказываний, впер­вые введенной [20], и, по-видимому, очень не случайным образом семантически коррелирует с концепцией внешних и внутренних форм отрицания, предложенной в рабо­тах с сотрудниками [23] с целью обоснования ло­гической некорректности канторовского диагонального метода.

5. Телеологические основания

«Учения о трансфинитном» Г. Кантора

Главная логическая ошибка апологетов канторовского «Уче­ния о трансфинитном» заключается в «телеологической», т. е. неосознанно-намеренной неспособности понять логическую природу диагонального метода Кантора (далее — ДМК). Утверж­дение канторовского доказательства: «Допустим, что (1) есть некоторый произвольный пересчет всех д. ч. из X, — содержит следующую довольно тонкую логическую амбивалентность: в этом пересчете (I) произвольной является только последователь­ность самих д. ч., а последовательность индексов 1, 2, 3, ... явля­ется жестко фиксированной. А это значит, что канторовское отображение f: R → N вовсе не является «отображением общего типа», а имеет очень даже «специфический характер».

Последний факт лучше других, не скажу — осознал, но «сфор­мулировал» известный символический логик В. Ходжес (быв­ший главный редактор журнала «The Bulletin of Symbolic Logic»), правда, вопреки своему собственному высокопрофессионально­му намерению доказать несостоятельность любых опровержений канторовского «диагонального доказательства» [24]. Суть этой формулировки мета-математического «запрета Ходжеса» (не пу­тать с физическим «запретом Паули») иллюстрирует следующий

«САКРАЛЬНЫЙ» ПОСТУЛАТ КАНТОРА. Единственным допустимым («хорошим», т. е. «ведущим к выводу Кантора о не­счетности») пересчетом д. ч. множества X является пересчет (1) с помощью индексов 1, 2, 3, 4, 5, ... Все остальные пересчеты