Математика и опыт (стр. 20 )

3. Квантовая динамика как фундаментальное

вероятностное описание природы на микроуровне

Исходный толчок к кардинальному пересмотру роли теории вероятностей в физике был дан открытием в 1900 г. закона теплового излучения М. Планка. Хотя это обстоятельство и было осознано не сразу, из анализа этого закона следует, что на микроуровне

263

первичным, фундаментальным является неклассическое (вероят­ностное) описание природы. Последнее связано с тем, что на микроуровне любой материальный объект испытывает неконтролируемое квантовое воздействие, мерой которого служит посто­янная Планка. Эта величина определяет минимальную долю воз­действия, которой способны обмениваться любые объекты, в том числе объект и сам исследователь при изучении свойств объекта.

В этих условиях число характеристик, совместно задающих физическую реальность, как бы удваивается. Наряду с привычны­ми характеристиками объектов самих по себе (энергия, заряд и т. п.) не меньшую роль играют характеристики состояния объекта, учитывающие наличие неконтролируемого квантового воздействия окружения (длина волны де Бройля, плотность вероятности обна­ружения микрочастицы и т. п.).

Многолетняя история утверждения квантовой теории как фун­даментального описания природы на микроуровне характеризуется несколькими этапами. На первом этапе (1900—1925) приходилось иметь дело лишь с полуклассическими представлениями, прежде всего с моделью атома Бора. Сегодня ее можно трактовать как квазиклассическое приближение, в котором классическое описа­ние еще не стало явным и последовательным.

После завершения создания квантовой механики (1925—1927) в работах В. Гейзенберга, П. Дирака, Э. Шрёдингера и М. Борна центром дискуссии стал вопрос о первичности, фундаментально­сти микроописания природы в квантовой динамике. В течение многих десятилетий предпринимались попытки доказать его вторичность либо путем введения так называемых «скрытых пара­метров», либо истолковывая поведение микрообъектов как своеобразную диффузию. Следует, однако, отметить, что еще в 1932 г. Дж. фон Нейман доказал, что всякая теория, в которой операторы координаты и импульса не коммутируют, не может быть истолко­вана как теория со «скрытыми параметрами» локального типа.

В 60-е гг. XX в. Дж. Белл показал, что вопрос о существовании подобных параметров можно решить путем экспериментальной проверки ряда неравенств между наблюдаемыми физическими величинами. В последние десятилетия подобные эксперименты были поставлены, и они с высокой точностью подтвердили спра­ведливость представлений о том, что квантовая динамика дает первичное вероятностное описание природы.

Определенную трудность все эти годы представляло и то об­стоятельство, что в квантовой динамике помимо понятия плотнос­ти вероятности используется и комплексная амплитуда вероятности. Это приводило к тому, что довольно долгое время многие матема­тики не рассматривали квантовую динамику как математически корректную теорию и тем более как часть теории вероятностей.

264

Однако во второй половине XX в. эта точка зрения изменилась. Как было показано в работах Дж. Макки и , квантовая динамика представляет собой еще одну, более изощренную стати­стическую модель, которая органично входит в современную математическую теорию вероятностей.

Иными словами, сегодня большинство и физиков, и матема­тиков рассматривают квантовую динамику как фундаментальную неклассическую теорию вероятностного типа, дающую максималь­но полное описание природы на микроуровне. Это описание яв­ляется первичным, фундаментальным, а детерминистсткое опи­сание следует из него лишь в среднем при наличии определенных условий.

Внешним признаком, позволяющим отнести квантовую дина­мику к истинно неклассическим теориям, можно считать наличие в ней флуктуации любых микропараметров. При этом в произ­вольном микросостоянии одновременно флуктуируют пары со­пряженных величин, например координата и импульс. Более того, средние дисперсии этих величин в простейших случаях связаны между собой соотношениями неопределенностей Гейзенберга, Это означает, что в природе не существует таких микросостояний, в которых значения этих величин были бы одновременно абсолютно точными. Наконец, корреляция флуктуации сопряженных величин в этом случае может быть названа корреляцией «в противофазе», поскольку соответствующие дисперсии обратно пропорциональны друг другу. Тем самым, выбирая микросостояние, в котором дис­персия координаты больше, мы одновременно убеждаемся в том, что дисперсия импульса в нем оказывается меньше, и наоборот.

Надо, правда, отметить, что при описании микромира приходится встречаться и с соотношениями неопределенностей типа «энергия — время» или «число частиц — фаза», в которых только одной из величин можно сопоставить эрмитов оператор, а другая величина (например, время или фаза) при этом носит числовой характер. В этом случае соотношения неопределенностей, связан­нее с некоммутативностью операторов двух сопряженных величин, уже не имеют места. Тот факт, что корреляция флуктуации в этих случаях все-таки имеется, заставляет задуматься о необходимости использования соотношений неопределенностей более общего типа, чем соотношения неопределенностей Гейзенберга.

4. Статистическая термодинамика как фундаментальное

вероятностное описание природы на макроуровне

Традиционно принято считать, что вершиной применения вероятностных методов при макроописании природы является статистическая механика Гиббса и основанная на ней термодина-

265

мика. Выше уже было отмечено, что это далеко не так. В методе Гиббса, исходя из функции распределения в фазовом простран­стве, удается вычислить только некоторые макропараметры и их флуктуации. Поэтому этот метод имеет смысл квазиклассического приближения к истинно неклассической теории, дающей после­довательное описание макромира.

Такой теорией сегодня является статистическая термодинами­ка, в которой функция распределения задается непосредственно в пространстве макропараметров. Она зародилась в 1903—1910 гг. в основополагающих трудах Эйнштейна и в дальнейшем получила развитие в 20—30-е гг. XX в. в работах Л. Сциларда, Л. "Орнштейна, Р. Фюрта, и . Основу статистической термодинамики состаштяют теория термодинамических флуктуации и теория броуновского движения, заложенные Эйн­штейном.

В математическое обоснование теории броуновского движе­ния существенный вклад внесли Н. Винер в 20-е и Э. Нельсон в 60-е гг. XX в. Что касается теории флуктуации Эйнштейна, то интерес к ней среди математиков возродился в 50-е гг. XX в. после появления работ Мандельброта. В последние десятилетия математическим обоснованием статистической термодинамики в целом активно занимались Ф. Шлёгль, Б. Лавенда, С. Уффинк и др. авторы, привлекавшие для этой цели современные методы математической статистики (Р. Фишер, С. Кульбак, Е. Дынкин, Г. Джеффрис).

Интересно отметить, что исходным толчком к развитию ста­тистической термодинамики также послужило открытие Планком закона теплового излучения (1900). Дело в том, что в закон Планка входят не одна, а две фундаментальные константы — постоянная Планка и постоянная Больцмана, физический смысл которых был впервые выяснен Планком. С его точки зрения, постоянная Больцмана играет роль характеристики неконтролируемо­го теплового воздействия на объект на макроуровне, анатогичную роли постоянной Планка на микроуровне.

Решающий шаг в становлении статистической термодинами­ки был сделан Эйнштейном. Он первым предложил отказаться от жесткой формулировки нулевого начала термодинамики, исполь­зовавшейся и Клаузиусом, и Гиббсом. Вместо нее он предложил положить в основу макроописания природы утверждение, соглас­но которому в тепловом равновесии температура объекта совпада­ет с температурой бесконечного термостата лишь в среднем. Она способна испытывать флуктуации, величина которых растет с ро­стом температуры и убывает при увеличении теплоемкости объекта.

266

Исходя из новой формулировки нулевого начала, Эйнштейн в 1903 г. начал построение новой версии термодинамики — стати­стической термодинамики, в которой на равной основе флуктуи­руют все макропараметры. Вычисление средних значений флуктуирующих макропараметров и отклонений от них в этой теории производится на основе экспоненциального распределения в про­странстве макропараметров, которое внешне весьма напоминает каноническое распределение Гиббса в пространстве микропара­метров. В дальнейшем, в 50-е гг. XX в., в трудах и Э. Джейнса было показано, что экспоненциальная форма, харак­терная для канонического распределения, должна возникать в лю­бом пространстве в условиях теплового равновесия, исходя из тре­бований максимальности функционала энтропии при выполнении условий сохранения средней энергии и нормировки.

Современное развитие статистической термодинамики позво­лило установить общность основ теории флуктуации и теории броуновского движения Эйнштейна. Более того, оно положило конец доктрине редукционизма Ньютона. Было установлено, что отнюдь не все макропараметры имеют прообразы на микроуров­не. Последнее приводит к необходимости отказаться от идеи, неявно принятой в статистической механике Гиббса, согласно кото­рой обобщенные координаты и импульсы атомов играют роль «скрытых параметров» при описании природы на макроуровне.

Тем самым статистическая термодинамика имеет статус само­стоятельной неклассической (вероятностной) теории на макроуровне описания природы, в которой существенную и равноправную рать играют характеристики ее окружения (например, температура), от которых зависит макросостояние системы. Это описание является первичным, фундаментальным, а детерминистское описание сле­дует из него лишь в среднем при наличии определенных условий.

Как и в случае квантовой динамики, внешним признаком, позволяющим отнести статистическую термодинамику к истинно неклассическим теориям, можно считать наличие в ней флуктуа­ции любых макропараметров. При этом в произвольном макросостоянии теплового равновесия одновременно флуктуируют пары термодинамически сопряженных величин, например внутренняя энергия и температура.

Новым обстоятельством, окончательно осознанным лишь в последние десятилетия, явилось наличие в статистической термо­динамике не только флуктуации сопряженных величин, но и кор­реляций этих флуктуации. Воплощением последних служит соотношение неопределенностей Эйнштейна между флуктуациями энергии и температуры, а также между флуктуациями других пар сопряженных макропараметров.

267

  Важно отметить, что сам факт наличия соотношения неопре­деленностей Эйнштейна в статистической термодинамике концеп­туально сближает эту теорию с квантовой динамикой как другой не классической теорией. Однако на этом аналогия заканчивается. Соотношения неопределенностей Эйнштейна в статистической термодинамике и исходные соотношения неопределенностей Гейзенберга в квантовой динамике оказались качественно раз­личными. Среди макросостояний в тепловом равновесии не су­ществует таких, в которых значения внутренней энергии и темпе­ратуры системы были бы одновременно точными. Вместе с тем корреляция соответствующих флуктуации может быть названа корреляцией «в фазе, поскольку их характеристики прямо про­порциональны друг другу. В итоге для любого равновесного макросостояния реальной системы флуктуации ее внутренней энергии и температуры убывают и возрастают синхронно.

С математической точки зрения, существенно, что в стати­стической термодинамике соотношения неопределенностей име­ют место для флуктуации величин, задаваемых числами, а не опе­раторами. Тем самым многолетняя традиция связывать наличие соотношений неопределенностей с некоммутативностью соответ­ствующих операторов оказалась ограниченной. Это позволило по-новому оценить смысл подобных соотношений для величин типа «энергия—время» и в самой квантовой динамике, в которой время является числовой, а не операторной характеристикой.

5. Возможность установления взаимосвязей между двумя

фундаментальными неклассическими теориями

Таким образом, современная физика основана на двух неклас­сических теориях вероятностного типа — квантовой динамике на микроуровне и статистической термодинамике на макроуровне. Обе теории соответствуют первичному фундаментальному описа­нию природы. И в той, и в другой теориях любые физические величины флуктуируют относительно своих средних значений, а между флуктуациями пары сопряженных величин имеются кор­реляции. В связи с этим возникает вопрос о возможности установления взаимосвязей между этими теориями на основе теории вероятностей, тем более что в современной физике можно обна­ружить такие явления и такие условия проведения эксперимента, когда одновременно имеют место и квантовые, и тепловые флук­туации.

Постановка данного вопроса оправдана еще и тем, что, не­смотря на мощь и разработанность указанных неклассических тео­рий, каждая из них не является замкнутой. Сегодня можно утверж-

268

дать, что в каждой из них имеются недоработки и даже взаимные противоречия. Прежде всего, корреляции сопряженных величин в этих теориях совершенно различны. В первоначальной формули­ровке квантовой динамики мы имеем дело с корреляцией «в противофазе». Она отражает наличие соотношений неопределеннос­тей Гейзенберга для флуктуирующих микропараметров, которым сопоставляются некоммутирующие эрмитовы операторы. В то же время в статистической термодинамике мы имеем дело с корреля­цией «в фазе». Она отражает наличие соотношений неопределенно­стей Эйнштейна для флуктуирующих макропараметров, которым сопоставляются обычные числа. В результате, хотя в обоих случаях и имеет место корреляция флуктуации, ее последствия совершен­но различны. В частности, флуктуации пары физических величин в первом случае обратно пропорциональны, а во втором — прямо пропорциональны друг другу.

Далее, неполностью разработанным разделом в традиционной квантовой динамике является теория измерений, в которой важнейшей проблемой является редукция волновой функции. В последние годы ее пытаются решить в рамках так называемой «теории декогеренции»1. В связи с этим интересно "отметить, что, как подчеркивает , в процессе декогеренции микро­состояния системы качественно изменяются, приобретая некото­рые термодинамические особенности.

Наконец, в последние десятилетия был открыт ряд эффектов (Казимира, Хокинга, Унру), в которых открытые квантовые сис­темы обнаруживают тепловые свойства. Наиболее разработанной с этой точки зрения моделью является черная дыра. Для нее и квантово-динамический, и термодинамический расчеты дают во многом одинаковые результаты. Из них следует, что эти чисто кван­товые объекты объединяют отличные от нуля значения энтропии и, соответственно, температуры. В связи с этим возникает необхо­димость заново проанализировать начала термодинамики. В част­ности, новый смысл приобретает утверждение третьего начала о недостижимости абсолютного нуля температуры.

На самом деле предпосылки установления взаимосвязей меж­ду двумя неклассическими теориями были известны давно, но до последних лет не были востребованы. Напомним в связи с этим, что и Планк, и Эйнштейн большинство своих открытий сделали «в термодинамической оболочке». В частности, закон теплового излучения Планка, положивший начало развитию неклассической физики, в общем случае зависит сразу от двух фундаментальных констант — постоянных Планка и Больцмана, характеризующих наличие одновременно и квантового, и теплового неконтролируе­мых воздействий окружения на систему. И только в пределе низких

269

или высоких температур термостата в этом законе остаются ха­рактеристики только одного типа воздействия — либо квантово­го, либо теплового, соответственно. В связи с этим есть все основания полагать, что, следуя идеям Планка и Эйнштейна, можно построить единую теорию флуктуации, объединяющую кванто­вые и тепловые флуктуации.

Важнейшим элементом такой теории могли бы стать обоб­щенные соотношения неопределенностей, впервые полученные Э. Шрёдингером еще в 1930 г. Они являются воплощением нера­венства Коши-Буняковского-Шварца в наиболее общем простран­стве состояний — комплексном гильбертовом пространстве. В ле­вую часть неравенства в таких соотношениях неопределенностей, как, впрочем, и в других случаях, входит произведение дисперсий соответствующих физических величин. В правую часть неравенства входит целостная характеристика корреляции флуктуации этих величин. Она включает в себя два слагаемых, знакомых по от­дельности из соотношений неопределенностей Гейзенберга и Эйнштейна.

Одно из них является вкладом среднего значения коммутато­ра соответствующих операторов и представляет собой правую часть соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другое слагаемое является вкладом среднего значения антикоммутатора тех же опе­раторов. Его важнейшей особенностью является то обстоятельство, что в квазиклассическом пределе оно сводится к коррелятору флук­туации, стоящему в правой части соотношения неопределенностей Эйнштейна в статистической термодинамике. Иными словами, два этих слагаемых отражают два типа корреляции флуктуации — «в противофазе» и «в фазе», причем в общем случае они имеют место одновременно. Что же касается соотношений неопределен­ностей Гейзенберга или Эйнштейна самих по себе, то они справед­ливы только в частных случаях, когда тот или иной тип корреляции флуктуации оказывается единственным.

Интересно отметить, что даже в тех случаях, когда имеют мес­то оба типа корреляции флуктуации, их относительная роль может зависеть от времени. Более того, в квантовой динамике возможны ситуации, когда корреляция флуктуации имеет характер корреля­ции «в фазе», что качественно близко к ситуации в статистической термодинамике.

Таким образом, сегодня есть веские основания полагать, что дальнейшее развитие квантовой динамики и статистической тер­модинамики может в обозримом будущем привести к созданию целостной физической теории неклассического типа, основанной на современной теории вероятностей. В этой целостной теории

270

центральное место, бесспорно, займет теория флуктуации любых физических величин и корреляции между ними. Тем самым сама теория вероятностей, пройдя трехсотлетний путь развития как сугубо математическая дисциплина, сможет наконец в полной мере опираться на физические понятия и модели.

Список литературы

1.  Башкиров А. Г., Энтропия открытых квантовых систем и распре­деление Пуассона // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 123. № 1. С. 107-115.

2.  Обобщенные соотношения неопределенностей «энергия—время» // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 125. № 2. С. 221—241.

3.  , Термодинамические флуктуации в подходах Гиббса и Эйнштейна // Успехи физических наук. 2000. Т. 170. Вып. 12. С. 1265—1296.

4.  Новый подход к соотношениям неопределенностей «энергия-время» // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2001. Т. 32. Вып. 5. С. .

КОММЕНТАРИИ

Я вынужден возразить по существу вопроса. Автор пишет: «...Многие математики, например Б. Мандельброт. высказывались в том смысле, что макроописание природы не обязательно в пол­ном объеме следует из ее микроописания. Поэтому полное обо­снование термодинамики из динамики и невозможно, и никому не нужно».

По-моему, это «поэтому» слишком поспешно, нелогично и слишком узко по взгляду на вопрос. Сама невозможность обосно­вать термодинамику из динамики широко известна уже не менее ста лет — во всяком случае, не позже появления возвратной теоремы Пуанкаре. И даже найдены факторы, которые помимо дина­мики (лучше говорить о микромеханике или просто механике ча­стиц) ответственны за появление термодинамических эффектов у систем из механических частиц. Об этих факторах говорил еще Пуанкаре ( Ценность науки // О науке. М., 1983. С. 238—239), а Смолуховский подробно исследовал и описал их ( Доступные наблюдению молекулярные явления, противоречащие обычной термодинамике // Смолу­ховский М. Брауновское движение. Л., 1936. С. 166—198; Молекулярно-кинетические исследования по вопросу об обращении термодинамически необратимых процессов и о воз­врате аномальных состояний // Там же. С. 273—307).

Далее автор пишет: «В этих условиях вместо проблемы выво­да законов термодинамики из законов динамики принципиаль-

271

ным оказывается вопрос о том, какое описание природы — клас­сическое (детерминистское) или неклассическое (вероятностное) является первичным, фундаментальным как на микро-, так и на макроуровнях».

Хотелось бы заметить, что принципиальным является все же вопрос о возможности и механизме возникновения термодинами­ки при той или иной микромеханике. Я подчеркнул «при» для специального отличения от «из», как только и представляли(ют) себе этот механизм метафизические редукционисты, которым не пошел впрок урок Смолуховского. Увод же вопроса в сторону вы­яснения первичности реальных законов природы, с одной сторо­ны, оставляет проблему согласования механики и термодинамики нерешенной и даже ненужной, что довольно-таки удивительно, а с другой — сам по себе является совершенно ошибочным с точки зрения нормальной теории познания, которая говорит, что послед­них законов природы мы узнать не можем — это было бы знание бесконечно сложной абсолютной истины. И эта ошибка отнюдь не нова. утверждал в книге ( Динами­ческие и статистические закономерности в физике. М., 1973), что статистические законы более фундаментальные, чем динамичес­кие, и успешно защитил этот смешной тезис в своей докторской диссертации по философии.

Автор продолжает: «Ответ на него сегодня может быть най­ден в современных фундаментальных теориях физики, ...Сегодня большинство и физиков, и математиков рассматривают кванто­вую динамику как фундаментальную неклассическую теорию вероятностного типа, дающую максимально полное описание природы на микроуровне».

Это мнение сродни бывшему распространенным у нас в кон­це 40-х и в течение 50-х гг. представлению об истинной элемен­тарности тогдашних элементарных частиц (что оставило следы даже в «Теории поля» Ландау и Лифшица), По его поводу автор первой работающей теории составных элементарных частиц Сеито Саката ( Новые представления об элементарных части­цах // Вопросы философии. 1962. № 6. С. 129—140) пошутил: «Нужно помнить, что, по-видимому, нейтрино так же неисчерпа­ем, как и атом». Так сказать, конкретные теории приходят и ухо­дят, а диалектика остается. X. Казимир справедливо призывал от­личать мир от математических построений: «Хотя подобный анализ общих принципов измерения и вопроса о недопустимости скрытых переменных и т. п. несомненно, представляет большую ценность для прояснения самого существа наших идей, я всегда ощущаю известный скептицизм, как только в результате такого анализа возникают предсказания о невозможности существования тех или иных теории вообще, ибо я всегда опасаюсь того, что

272

наш ум недостаточно всеобъемлющ, чтобы точно предвидеть все многообразие мыслимых парадоксальных ситуаций. Конечно, они (ситуации. — В. Г.) не разрушили бы изложенного математи­ческого доказательства — они просто стояли бы вне его рамок» (Успехи физических наук. 1970. Т. 101. Вып. 2. С. 328).

Изложенное затем в п. 4 представление о самостоятельности (фундаментальности) статистической термодинамики является естественным продолжением и реализацией отказа от попыток согласовывать микромеханику и термодинамику, т. е. от принципа «бритвы Оккама». Конкретно это означает допущение формально самопротиворечивых свойств мира даже в идеальной модели, по­скольку взаимно не согласованные термодинамические и механи­ческие характеристики и тенденции должны прилагаться одно­временно к одному и тому же объекту. Постулирование всерьез фундаментальности статистической термодинамики фактически запрещает исследовать связь микро - и макропараметров. В част­ности, это означает призыв не выяснять, почему в очевидной модели обычной тепловой машины с газом из классических частиц, которую изучают все инженеры, потребуется холодильник.

Становление «вероятностной картины мира» — необычайно интересный предмет исследования. Я вспоминаю завораживаю­щие доклады Ю. И, Манина и на подобные темы, проходившие в 70-е годы, увы, уже прошлого века в стенах Мос­ковского университета и собиравшие многочисленные аудитории.

Ни в коей мере не являясь компетентной в столь сложной области, я хочу сделать несколько замечаний исторического ха­рактера. Мне кажется, что говорить о том, что теория вероятно­стей прошла 300-летний путь как сугубо математическая дис­циплина, не совсем правильно. В истории математики имеется масса примеров математических теорий, созданных как бы впрок, так как длительное время они оставались без приложений. Клас­сическим примером такого рода является, как известно, теория конических сечений Аполлония, востребованная спустя 19 столе­тий. Однако этого нельзя сказать о теории вероятностей. С на­чала XIX в. вероятностные методы находили многочисленные приложения: в теории артиллерийской стрельбы, в теории оши­бок (кстати, этот пример приводил сам докладчик), в демогра­фии, страховом деле и т. д. В конце XIX в. благодаря созданию теории случайных процессов число новых применений теории вероятностей сильно возросло.

Небезынтересно, на мой взгляд, также небольшое дополнение, относящееся к столь важным в современной физике соотношени-

273

ям неопределенностей, связанным с некоммутативностью опера­торов. Малоизвестным фактом истории математики является то, что понятие некоммутативных операторов было введено в 60-х гг. XIX в. в работах британских математиков по интегрированию дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

ОТВЕТ АВТОРА

Я согласен сутверждением о существовании многочисленных приложений теории вероятностей, но все эти приложения находятся вне физики. Приведенная в статье характеристика теории вероятностей как изначально сугубо математи­ческой дисциплины дана по отношению именно к физике. За­мечание комментатора по поводу возникновения важного для квантовой теории понятия некоммутативных операторов в рабо­тах по интегрированию дифференциальных уравнений, разуме­ется, немаловажно с точки зрения истории науки.

Ответу на возражения я хотел бы предпослать замечание общего характера. В моей статье речь идет о новых ак­центах в проблеме взаимоотношений микро - и макроуровней описания природы и о современном понимании этих описаний на каждом уровне, получивших распространение в последние деся­тилетия XX в.

Прежде всего, непонятно, в связи с чем вообще нужно обос­новывать термодинамику из динамики. Главное здесь понятие целостности состояния макросистемы и ее характеристик, прежде всего температуры, которые не имеют никакого отношения к характеристикам составляющим ее микрообъектов, которые су­ществуют сами по себе.

Сама постановка вопроса о «возможности» и механизме воз­никновения термодинамики при той или иной микромеханике звучит сегодня как анахронизм. Главное, что отличает термодинамику, — это ее независимость от какой-либо микромеханики.

Проблема согласования механики и термодинамики была пол­ностью решена Гиббсом и Эйнштейном в начале XX в., но реаль­но в тех пределах, в которых это вообще оказалось возможным. Именно экстенсивные макропараметры имеют смысл средних значений некоторых микропараметров. Однако у интенсивных макропараметров типа температуры нет прообразов на микро­уровне, так что здесь нечего и согласовывать. Что касается вопро­са о термодинамических флуктуациях, то он подробно изложен в статье моей и (Успехи физических наук. 2000. Т. 170. Вып. 12). Термодинамика, основанная на статической механике Гиббса, по отношению к современной статистической термоди-

274

намике играет роль квазиклассического приближения, что анало­гично соотношению между теорией Бора—Зоммерфельда и кван­товой механикой.

Я согласен с утверждением, что «последних законов природы мы узнать не можем». Однако из него ничего не следует относи­тельно первичности или вторичности вероятностного описания природы. Комментатор невольно стоит на позиции, что первичность детерминистского описания является абсолютной истиной. В данном контексте особенно удивляет ссылка на , который не является ни крупным физиком, ни крупным филосо­фом. Если говорить о философии и прежде всего о современной теории познания, то можно было бы рекомендовать книгу «Классический и неклассический идеалы рациональ­ности» (М., 1995).

Вопрос о полноте квантовомеханического описания приро­ды не является до конца решенным. Однако при всех его реше­ниях возврат к детерминизму исключительно маловероятен. Этот вывод основан на экспериментах последних десятилетий по проверке неравенств Белла.

Я согласен с мнением X. Казимира о том, что нужно «отли­чать мир от математических построений». Но, как известно, все наши теории — это математические построения на основе каких-либо моделей. Поэтому речь может идти лишь о сравнении одного математического построения с другим, а не о его сравне­нии «с миром». По-видимому, автор комментария настолько уверовал в идею истинности взглядов Демокрита, что считает их «миром», а не началом конкретного математического описания.

Провозглашение даже столь уверенного утверждения, как принцип «бритвы Оккама», библейской истиной само по себе не очевидно. Но в нем сказано «без надобности», так что каждый раз вопрос о надобности решается конкретно. Признание независи­мости термодинамики от динамики оказалось «надобно».

Независимость и самостоятельность статистической термо­динамики ничего не отменяет в возможности вычисления неко­торых и дажемногих макропараметров на основе динамики. Единственное, что она запрещает, — вычислять из динамики все макропараметры. Целостность макросистемы и ее характеристи­ки — это качественно новое свойство, отсутствующее в динамике. Потребность тепловой машины в холодильнике — это вопрос только термодинамики. Он не имеет никакого отношения к «оче­видной» (это, интересно, для кого?) модели тепловой машины с газом из классических частиц. Кстати, это понимал еще С. Карно, а сейчас не могут понять некоторые философы, застрявшие на позициях диалектического материализма.

_______________

275

ОПЫТ И ОНТОЛОГИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

1. Я хотел бы защитить здесь тезис, что отдельные выдающееся показания опыта или же общий его характер могут оказывать влия­ние на философию математики, но только тогда, когда они попада­ют в контекст некоторого осмысления реальности. С этой целью делается обзор двух этапов развития математико-философской мысли. Первый начинается с пифагорейской математики и дохо­дит до различных платоновских интерпретаций. Второй начина­ется с Декарта и доходит до Огюста Конта.

2.  В ранней греческой математике большую роль сыграло от­крытие, что музыкальные интервалы определяются рациональным отношением длин струн. Открытие было сделано ранними пифа­горейцами и не исключено, что самим Пифагором. Оно если не вызвало, то, во всяком случае, способствовало пониманию реаль­ности как построенной из чисел (точнее, телесных чисел), да и пониманию самого числа.

Пифагор искал в реальности нечто устойчивое, способное противостоять текучести анаксиман дрова алейрона. Началом для такой устойчивости он провозгласил перас, определивающее. Чис­ла, т. е. построенные из монад материальные конструкции, обла­дают относительной устойчивостью. Арифметика — наука об этих числах. Опытным подтверждением этому для пифагорейцев и были музыкальные числовые соотношения, показывающие отражения числовых принципов в музыкальных данных.

«Подлинная» геометрия первоначально мыслилась тоже монадическим образом, так что две будущие науки имели одну и ту же онтологию. Они были науками об общей относительно устой­чивой структуре реальности.

3.  Открытие бесконечной делимости величин пифагорейцами школы Гиппаса отделило геометрию от арифметики и заставило искать для первой новую онтологическую основу. Это и привело к созданию «геометрии величин», где последние и выступали основными объектами геометрии, видимо, отождествляясь с объек­тами реальными. Статус точки, линии и поверхности оставался неопределенным там, где речь шла о вырождении измерений. Вопрос о том, что такое геометрия, как бы отрывался от опыта и решался спекулятивным образом в зависимости от мировоззре­ния. Можно угадать попытку Анаксагора привязать геометрию к телесной действительности, введя «семена» качеств, являвшиеся актуальными бесконечно малыми. В качестве примера выступали,

276

вероятно, «роговидные углы», меньшие любого прямолинейного угла, но остававшиеся углами.

4. Следующая эпоха, однако, выступает против стремлений осознать геометрию бесконечной делимости как что-то телесно-реальное. Она-то как раз не доверяет спекулятивным построениям и исходит из опыта действительности как она есть, т. е. из некото­рой чувственно данной «поверхности».

Зачинатель движения Протагор выступает с критикой мате­матики. До нас дошли только его аргументы по поводу «роговид­ных углов», направленные, надо полагать, против Анаксагора. Чувства говорят нам, что шар и цилиндр не касаются плоской поверхности в точке, а лежат на ней, образуя площадку касания.

Этот первый скепсис приходит к отвержению геометрии ве­личин и к отрицанию бесконечной делимости. Делаются даже по­пытки основать новую математику, согласующуюся с непосред­ственным чувственным опытом. От нее к нам дошло антифонтово решение квадратуры круга.

Суть этого решения, как известно, в приближении круга пра­вильным многоугольником с большим числом сторон. Рассуждая, как Протагор, Антифонт утверждал, что на некоторой стадии по­строения произойдет совпадение окружности и многоугольника, после чего обе длины становятся доступными измерению.

Есть основания полагать, что к этой же софистской матема­тике относится и гиппиева квадратура с помощью «квадратиссы». Ван дер Варден предполагает, что целью построения кривой была трисекция угла. Однако в рамках софистской математики недели­мых, т. е. опытно неделимых величин, вряд ли такая задача имела интерес: разделить угол можно подбором. Вместе с тем некоторые авторы (Прокл) недвусмысленно говорят о гиппиевой квадратуре. Вероятно, Гиппий устанавливал нужное равенство дуги и отрезка с помощью «протагоро-антифонтовых» расуждений, и такое доказательство действительно может быть реконструировано.

5. В это время Демокрит выдвигает свою дискретную матема­тику «математически неделимых, основанную на физической тео­рии, т. е. на «глубинном», а не «поверхностном» понимании опыта. Оба вида дискретной геометрии существуют рядом с традицион­ной, анаксагоровой и пифагорейской, но последняя вряд ли чув­ствует себя уютно. Представляется, что именно это время пришло к понятию «айтемы», требования принять определенные положе­ния без обсуждения, для того чтобы иметь возможность развивать геометрию. Тем самым последняя приобретает как бы гипотети­ческий характер, но это вполне согласуется с духом диалектики и риторики, требующих уметь вести рассуждения из воображаемых ситуаций.

277

В общем же ситуация предстааляется таковой: «втиснуть» гео­метрию в действительность после протагоровой критики не уда­ется. Новая, основанная на «опыте» геометрия неудовлетворитель­на, старая же вынуждена обращаться к предположениям.