Математика и опыт (стр. 26 )

В статье выделяются существенно более крупные парадигмальные образования, в основном долго живущие и потому про­веренные временем: берутся во внимание такие планы изучения, где математика фигурирует как целое. Среди них есть давние, абсолютно несомненные в силу своей исторически сложившейся внутренней стройности, и относительно новые, может быть, раз­витые не настолько, чтобы вполне утвердиться в качестве не­сомненных.

Перечислим некоторые парадигмы современной математи­ки, рассматриваемой главным образом не на уровне отдельных ее теорий, различающихся своими объектами, а на уровне под­ходов более крупного масштаба, каждый из которых пригоден для изучения нескольких математических теорий. Наиболее объем­лющие парадигмы: 1. Математика как особая наука; 2. Матема­тика как совокупность математических методов; 3. Математика как логика; 4. Математика как физика; 5. Математика как язык науки; 6. Математика как искусство. Для всех перечисленных

344

случаев находятся их апологеты, у которых имеется большее или меньшее число сторонников.

Понимания математики или как системы математических знаний, или как определенной профессиональной деятельности входят по большей части в 1. Случай 1 — предметный в том плане, что подразумевается существование особого предмета математики. Случай 2 — такой, что предметность математики от­рицается. В 3-м случае проводится логицистская точка зрения, которую, как нам представляется, нельзя сбрасывать со счетов. В случае 4 не видят принципиальных отличий математики от физики. В случае 5 математика рассматривается как особая се­миотическая система. Эта парадигма имеет своего исторического предшественника в виде утверждения-философемы: математи­ка — язык природы. Случай 6, пожалуй, наиболее оригинальный, но, в принципе, неудивительный, поскольку известные анало­гии между музыкой и математикой (не только арифметикой и алгеброй) вполне могут быть проведены в более общей форме, например в той, какая обозначена здесь числом 6. Парадигма 6 ориентируется на концепцию, согласно которой человеческое творчество — удел искусства; тогда, если считать математика способным к творчеству в своей области, сферу его занятий — математику — надо причислить к разновидностям искусства, а математический метод — к совокупности художественных средств.

Возможно, что парадигмы, о которых тут говорится, не ум­рут, пока живет математика. До какой-то черты, чем больше па­радигм и сильнее конкуренция между ними и их сторонниками, тем богаче возможностями содержательное развитие математики, тем интереснее споры и дебаты, плодотворнее научная деятель­ность, разнообразнее тематика диссертаций и пути обновления образовательных программ. Однако, несмотря на такой обшир­ный «шестиаспектный» охват, намеченное рассмотрение мате­матики оставляет ощущение недостаточности. Кажется, что в перечне парадигм, даже взятом вместе с напрашивающимися уточнениями и конкретизациями, чего-то не хватает, может быть, самого главного. Но об этом, как было заяалено в плане статьи, — в ее конце.

Вопрос о сущности математики вполне определенным обра­зом решался Георгом Кантором. Широко известен его афоризм: «Сущность математики заключается в ее свободе», воспроизводи­мый, разумеется, с точностью, зависимой от перевода. Г. Кантор имел в виду не безграничную, ничем не обусловленную свободу-произвол. Он подразумевал свободу математической деятельнос­ти. Но даже и в математике для Г. Кантора дозволено далеко не

345

все, что можно было бы создать в воображении ученого. Огра­ничения накладывает, конечно же, принцип непротиворечивос­ти, регулирующий математические рассуждения и доказатель­ства. Редуцируем высказывание Г. Кантора к виду: «Сущность математики — в ее свободе». Предположим, что от этого смысл всего высказывания не изменился, хотя в варианте, более близком к оригиналу, наверняка содержатся дополнительные нюан­сы смысла.

Совершенно иное в содержательном отношении, но по фор­ме близкое высказывание получаем на основе анализа взглядов Жана-Поля Сартра. Французский философ много рассуждал о сво­боде человека, который для него «сначала существует» [1, с. 323], «просто существует» [1, с. 327], но так, что «осужден быть сво­бодным» [1, с. 327]. Феноменологическое описание человека, чем был занят Ж.-П. Сартр, не должно идти «вглубь», поскольку «нет никакой природы человека» [1, с. 323], явление и сущность совпадают. Но это только с одной стороны. С другой — сущ­ность есть и для Ж.-П. Сартра-феноменолога, так как не секрет, что «феноменологическое учение о бытии имеет своим средото­чием сущность, или природу, человека» [2, с. 51], и человек у него все же «определяется» [1, с. 323]. -П. Сартра: «Че­ловек — это свобода» прочитывается на языке гегелевской фи­лософии как высказывание: «Сущность человека — это свобо­да», — и сартровская свобода (сознание, выбор, ничто) в том же языке должна трактоваться как эссенциальное, а не экзистенци­альное понятие. Иначе говоря, смысл воззрений Ж.-П. Сартра на человека не пострадает, если его выразить фразой, сходной по структуре с тезисом Г. Кантора о сущности математики: «Сущность человека — в его свободе». Кстати, в такой трактовке взглядов Ж.-П. Сартра нет ничего нового, но, как видим, она не лежит на поверхности. Для наглядности расположим две инте­ресующие нас фразы в виде столбца:

«Сущность математики — в ее свободе»;

«Сущность человека — в его свободе».

Мы не будем поддаваться искушению, и выписывать скоро­палительные обобщения типа: «Сущность X — в Х-а свободе», где X — какой угодно объект. У нас также отсутствует намере­ние отождествить человека с математикой на основе сходства высказываний: конечно же, человек и математика — далеко не одно и то же. Тем не менее, возьмем эти высказывания как сис­тему, рассмотрение которой позволяет предположить, что сво­бода как метафизическая сущность проявляется и в математике, и в человеке, т. е. математика и человек предстают как явления

346

свободы, которые можно совместить. Тогда проявления свободы найдем на пересечении человека и математики. Это – матема­тика в человеке и человек в математике (в обоих случаях речь идет, видимо, о профессионале-математике). Лаконичность сло­восочетаний «математика в человеке» и «человек в математике» позволяет по-разному их интерпретировать. Интерпретации крат­ких высказываний включают более развернутые формулировки вместе с соответствующими им смыслами и, по идее, должны быть такими, чтобы не возникала проблема их собственных интерпретаций. Некоторые интерпретации оказываются, очевидно, неразумными и их легко разоблачить. Скрытую неразумность других, когда она есть, надо демонстрировать. Пример неразум­ной интерпретации первого словосочетания — «Все содержание математики находится в каком-то определенном человеке». Ре­зонно предположить, что продолжение размышлений о математи­ке в человеке при адекватной трактовке способно дать значимые результаты. Но этим мы заниматься, не намерены. Ограничимся обсуждением, и притом небольшим, человека в математике.

В чем конкретно свободен математик? Он выбирает не толь­ко парадигмы, направления исследований. Гораздо чаще он сталкивается с необходимостью выбора задач, которые он затем принимается решать. Однако еще более часто математик имеет дело с вопросами. Понятно, что в составе всякой задачи есть вопросы, но вопросы (может быть, другие) формулируются еще тогда, когда данная задача до поры до времени не поставлена.

В вопросах выражается суть проблемы, и нормой яатяется то, что множество окончательных ответов меньше имеющегося множества вопросов. Как они появляются? Вопросы могут рож­даться из осмысливания наблюдений. Математик внешне на­блюдает записи уравнений и их систем, формулы, отдельные символы, рисунки фигур и геометрические построения на плоскости, пространственные тела, которым соответствуют опреде­ленные мыслительные образования и их внутреннее наблюде­ние. Посредством мышления математик переводит внешнее во внутреннее и наоборот, хотя, будучи целостным, оно, прежде всего, констатирует то, что созерцается, и это последнее, т. е. предмет созерцания в его элементарных формах, не продуцируется мышлением, а фиксируется в нем как нечто данное. Тем самым во внутреннем наблюдении заложена пассивность, про­являющаяся в безразличии к тому, что им запечатлевается. Речь идет, разумеется, о конечных объектах математики, которые «ве­дут себя» нормально, никак не «пугают» того, кто их наблюдает, хотя удивлять неожиданностями вполне в состоянии. Монстры появляются, когда пытаются представить бесконечность. Орди-

347

нарные случаи конечных множеств в принципе не должны вы­зывать испуг.

Когда объект неподвижен и находится в органичной для него и, в свою очередь, неизменной среде, тогда достаточно простого созерцания, которое ее не портит, не травмирует, не наносит ущерба, не возмущает ее. От созерцания не страдают ни объект, ни его непосредственное окружение, входящее в «картинку» со­зерцания: она вмешает в себя несколько больше того объема, какой занимает сам объект. Например, математическое наблю­дение числа 2 как объекта теории чисел составляет его «чистое» созерцание, но в окружении, прежде всего чисел 1 и 3, ближай­ших к числу 2 элементов натурального ряда и находящихся с этим числом в определенных фиксированных отношениях.

В том случае, когда в «картинке» возникает движение, ска­жем, движется объект, созерцание переходит в наблюдение, организованное более сложно. Кроме того, наблюдатель вынуж­ден находиться в напряжении, опасаясь упустить непредвиден­ное, обусловленное не только внутренними причинами объекта самого по себе, но и изменениями во внешней среде. Наблюдатель, как ученый, не ограничивается полученной из наблюдения информацией. В этом смысле он отнюдь не пассивен, поскольку производит необходимые мыслительные процедуры: он сравни­вает, обобщает, анализирует, умозаключает. Все это тесно связа­но с задаванием вопросов, и в первую очередь себе. Однако для наблюдателя характерна установка на бездействие по отношению к объектам, и поэтому он воздерживается от действий с ними. Так что нетрудно установить сходство между наблюдени­ем в математике и физическим наблюдением.

В деятельности математика и физика можно найти аналогию не только наблюдению, но и эксперименту. Правда, отличия весьма существенны. Известны, например, социальные запреты на проведение опасных физических экспериментов. От подоб­ных ограничений математический эксперимент свободен, так как это, во-первых, мысленный эксперимент, а во-вторых, эксперимент, производимый над «бездушными» сущностями. С учетом сказанного имеет смысл назвать его «квазиэкспериментом» (термин Леонарда Эйлера) [3, с. 25]. Однако в процессе математи­ческого квазиэксперимента производятся действия, такие, как сложение, умножение и т. д., над объектами, подобно тому, как активно воздействует на исследуемые объекты физик-экспери­ментатор. С эволюцией математики увеличивается количество вопросов; хотя ответов тоже становится все больше и больше, растет и число вопросов, на которые весьма затруднительно от­ветить. Ответы в математике переформулируются в виде теорем

348

и содержат доказательства (тогда, когда ответ найден), а когда доказательства математического утверждения нет, ответ предста­ет как некое множество гипотез и не является окончательным.

Свобода субъекта в математике заключается, прежде всего, в вопросах, которые он задает сам себе), о может делать и кол­лективный субъект), коллегам, а теперь еще и компьютеру. Мож­но надеяться, что и в поисках ответов на поставленные вопросы математик действует, имея некоторые альтернативы, а не просто как заранее запрограммированное кем-то логическое устройство. Физик-экспериментатор в отличие от математика всегда более насторожен. Он постоянно контролирует свои действия, для того чтобы не допустить нарушения социальных и методо­логических запретов. Главное же, что его беспокоит, — это воз­можность и вызванное ею ожидание от объекта эксперименти­рования какой-либо неожиданности.

Как отмечал Джордж Пойа, сравнивая «физические и ма­тематические» ситуации, в «физических ситуациях» следствия выводятся из двух посылок, первая из которых совпадает с посылкой в «математических ситуациях», а вторая посылка отлича­ется своим гораздо более смутным уровнем: употреблением ха­рактеристик «менее правдоподобно» вместо «ложно», «более правдоподобно» вместо «истинно» [3, с. 251—252]. «Это отличие мне кажется существенным; дополнительные трудности физичес­ких ситуаций могут им объясняться», — пишет Д. Пойа [3, с. 252]. Математик же более категоричен, чем физик.

В математике есть и удивительное, и неожиданное, но «пу­гать» математика могут люди — те, кто стоят выше по админис­тративной лестнице и причастны к власти, те, кто имеют более весомый социальный статус, «крики беотийцев» и т. п. Внутри самой математики аналогичной способностью обладает только бесконечность, но никак не конечный объект. Физик, задавая вопросы не только себе, но и природе, вынужден ее остерегать­ся, поскольку она остается свободной. Свободна природа в целом, свободен и объект физического исследования, по окончании которого всегда будет остаток, напоминающий ученым о кантовской «вещи в себе». Поэтому свобода физика ограничена свободой его «визави» — природы и природных объектов, на ко­торые направлен его исследовательский интерес. Концепция «диалога» человека с природой как раз и пытается учесть нали­чие этой «второй» свободы.

Трудные вопросы, не получающие ответов, создают у мате­матиков ощущение несвободы. Однако сходство между матема­тикой и физикой является более глубоким, чем можно было бы предполагать, будучи приверженцем какой-либо парадигмы, от-

349

личной от точки зрения «математики как физики». Математи­ческие объекты, даже самые знакомые, оказываются гораздо бо­лее независимыми и свободными, чем хотелось бы.

Вещь, задействованная в эксперименте, может меняться или сильно, или слабо. Слабые изменения незначительны и таковы, что протекают малозаметным, если судить по результатам, об­разом. В отличие от слабых сильные изменения таковы, что подверженный им объект утрачивает свою идентичность. При повторном эксперименте требуется использовать другую вещь, похожую или почти тождественную, но все равно другую. Таким образом, следует отметить, что экспериментатор, повторяющий — и не один раз — опыт для объективности научного исследования, должен иметь запас экспериментального материала.

При таком же подходе к объектам математики (а в рамках парадигмы «математика как физика» это обязательно должно быть, так как здесь главенствуют принципы физики), математик обязан иметь запас математических объектов. Разумеется, преж­де всего, запас натуральных чисел.

Возьмем, бесспорно, принадлежащее всякому натуральному ряду число 2 (относительно 1 и тем более 0 как начал натурального ряда возможны сомнения. В любом случае, с какого бы числа на­туральный ряд ни начинался, он нуждается в числе 1). Пока мате­матик, имея объектом созерцания, число 2, «всматривается», «вслу­шивается» («внутренним взглядом», «внутренним слухом») в него, с ним ничего не происходит. Но вот он начинает с ним «экспери­ментировать», т. е. производить операции: 2x2 = 22 (теорема), В записи этого равенства использовано несколько двоек (если мы будем их пересчитывать, то нам понадобится дополнительно най­ти еще несколько штук). Двойки берутся из натурального ряда. Можно предположить, что когда-то был первый натуральный ряд, в котором число 2 впервые появилось как число натурального ряда. В парадигме «математика как физика» начало «исходного» натурального ряда должно было выглядеть так (с единицей в роли первого числа): 1, I, 1, ... , 1, 2, 2, 2, ... , 2, 3, 3, 3,..., 3,... . Посколь­ку исторический опыт «работы» с числами велик, то остается при­знать: тот натуральный ряд давно «растащили» по кускам. Чтобы продолжать и дальше «работу» с целыми положительными числа­ми, мы вынуждены предположить, что каждого из них сколь угод­но много. Конечно, хорошо было бы уметь перенумеровывать двой­ки, но для этого надо было бы иметь запас натуральных чисел. Откуда же их брать в нужном количестве, пока не завершен са­мый первый натуральный ряд? Даже взять двойку (понимаемую как сумму 1 + 1), чтобы пометить ей единицу, следующую за пер­вой единицей, мы сможем не сразу: двойки появятся после того,

350

как будет выписано достаточное число единиц. Желание сначала выписать все единицы и затем их перенумеровать, очевидно, не­выполнимо не просто потому, что не будет, например, двойки, но потому, что мы не сможем выписать все единицы (именно поэто­му не будет и двойки). При нумерации мы не сможем пойти даль­ше первой единицы, на которой все и остановится.

Сходная ситуация была описана Зеноном в известной апории «Дихотомия» с ее аргументом в той форме, какая приводит к вы­воду, что движение не может начаться. Или мы все продолжаем и продолжаем строить натуральный ряд, начиная с числа I (но тогда откуда берутся новые единицы?), или мы заранее имеем бесконеч­ное множество единиц, безжалостно расходуемых на получение других чисел? В последнем случае натуральный ряд надо начи­нать с числа 2. Заметим: предположение, будто целые положи­тельные числа могут существовать сами по себе и поэтому их можно найти вне натурального ряда, сталкивается с проблемой их различимости, которая решается просто, если множество чисел упоря­дочено их вхождением в натуральный ряд.

Физика, как видим, подталкивает к тому, чтобы ввести поня­тие потенциальной бесконечности. Однако, дабы перейти от числа 1 к числу 2, приходится вводить актуальную бесконечность единиц. И в случае потенциальной, и в случае актуальной бесконечности можно заключить, что их введение есть результат цивилизацион-ного развития. Вместе с тем ситуация с введением бесконечности по своим последствиям значительно превосходит последствия вве­дения аксиоматического метода, увы, не такие уж благополучные: «...конструкция, порожденная разумом, — последовательность целых чисел, эта простейшая и самая прозрачная для конструктивного ума вещь, — обретает аналогичную неясность и ущерб­ность, если подходить к ней с позиций аксиоматики. Но, тем не менее, это факт, отбрасывающий зыбкий отблеск на взаимосвязь опыта и математики», — пишет Герман Вейль [4, с. 23].

Не будем здесь останавливаться на вопросе о субстанцио­нальности каждого из чисел натурального ряда и на возможности числовой монадологии. Тем не менее, отметим, что физическая трактовка математики подводит к предположению об убывании запасенного количества чисел, происходящего вместе с их рос­том: чем больше натуральное число, тем меньший запас этого числа требуется человечеству. Это — общая, но не монотонная тенден­ция, ибо запасы степеней целых чисел, прежде всего степеней 10, требуются более обширные, чем запасы других больших и в осо­бенности сверхбольших чисел.

Парадигма «математика как физика» побуждает оптимиста-математика к тому, чтобы признать: «Хорошая физика называется математикой».

351

Другая трактовка числа 2 отличается от предыдущей своим «невещным» характером. В ней двойки полностью отождествля­ются. Их нельзя перенумеровать: индексы к числам не «прилипают» по определению, согласно которому числа, входящие в одно и то же гнездо натурального ряда, абсолютно тождественны. По­этому двойки полностью взаимозаменяемы и таковы, что извле­чение их из недр натурального ряда в нем ровным счетом ничего не меняет, ряд после извлечения остается точно таким же, каким он был до такой операции. Объект, полученный в результате рас­сматриваемой трактовки, и есть по-настоящему специфический объект чистой математики. Соответствующая парадигма (присво­им ей номер 7) при узком ее толковании, отличающем ее от всех шести вышеперечисленных парадигм математики, может быть теперь озаглавлена «математика как математика». Возвращаясь к словам Г. Кантора, мы можем дать им и такую интерпретацию: актуальная бесконечность есть самое живое проявление свободы самой математики. Но в достаточно широком смысле парадигма «математика как математика» вбирает в себя все остальные пара­дигмы, включая и ту, которая только что была помечена номером 7 и была названа «узкой». Эта широкая парадигма и будет итоговой парадигмой математики.

Список литературы

1.  -П. Экзистенциализм — это гуманизм // Сумерки богов. М., 1989.

2.  Философская эволюция Ж.-П. Сартра. Л., 1976.

3.  Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975. 

4.  Математическое мышление. М., 1989.

КОММЕНТАРИЙ

В работе обсуждаются шесть парадигм математики, понимае­мых как наиболее распространенные среди образованных людей взгляды на сущность этой науки. Наибольшее внимание по понят­ным причинам уделено четвертой из перечисленных парадигм — «математика как физика». Сильной стороной работы является то обстоятельство, что банальность характера выбранного предмета анализа не стала препятствием для получения свежих и во многом неожиданных выводов.

Математика-профессионала могут шокировать рассуждения насчет представлений о натуральном ряде чисел в «физической парадигме». Но подобное неудовольствие означает лишь, что ма­тематик, сам того не сознавая, находится в седьмой парадигме

352

«математика как математика» (понимаемой в узком смысле). Это очень удобная для математического сообщества позиция, но она абсолютно «нерефлексивна», так как сама не только не побуждает математику к самоосмыслению, но и «косо поглядывает» на по­пытки со стороны философов или представителей других наук анализировать другие ее парадигмы. Видимо, этим и объясняется, что сразу же переходит от «узкой» к «широкой» парадигме «математика для математики», включая в нее все шесть первых способов понимания сущности данной науки. Возможные претензии к автору со стороны «чистого математика» вроде бы сняты, однако не все так просто: шестая парадигма со множе­ственными единицами и двойками не отброшена как ненужная для «чистой математики», а всего лишь «вобрана». И вот здесь хочется задать уточняющий вопрос: каким именно образом?

Шестая парадигма является естественной для древних матема­тиков, когда еще не было выработано представление о «невеще­ственной» двойке, поэтому проблемы статуса чисел и обсуждались в Платоновской академии Спевсиппом и Ксенократом. Интерес­но, обсуждались ли они в математике Индии или Китая? Если верить автору работы, то должны были обсуждаться. Я полагаю, что ключ к ответу на поставленный выше вопрос и лежит в акку­ратном философском исследовании соответствующих вопросов истории древней и современной математики. Может быть, Алек­сандр Федорович поспособствует не только возникновению инте­реса к этой проблеме, но и сам ее разрешит?

ОТВЕТ АВТОРА

Попытаюсь сжато пересказать вопросы Сергея Николаевича и по возможности ответить на них. До всего этого не могу не сказать, что Сергею Николаевичу я благодарен не только за заинтересованное прочтение данного текста: уже порядочное время его конструктивные комментарии помогают мне в научном росте.

Во-первых, вопрос, каким именно образом парадигма «мате­матика как физика» входит в итоговую парадигму «математика как математика» (в широком смысле)? Я полагаю, что весьма скром­ным образом. Парадигма «математика как физика» в настоящее время представлена несколькими (немногочисленными) имена­ми, да и содержательно ее аспектность в сопоставлении с другими (хотя и не всеми) парадигмами математики предстаагяется более фрагментарной. Приводимые в статье рассуждения относительно «исходного» натурального ряда (подчеркну употребление кавы­чек) основаны на предположении главенства принципов физики и носят характер логических следствий, имеющих к реальной исто-

353

рии математики внешнее и неорганичное отношение, доходящее до уровня пародии при буквальном понимании описанной ситуа­ции.

Во-вторых, вопрос, обсуждались ли проблемы статуса чисел в математике Древней Индии и Китая? Мне представляется, что, вряд ли обсуждались. Математику Древней Индии, которую в ло­гическом плане можно ставить выше древнекитайской математи­ки, подавляла грандиозная философская мысль, и там подобные вопросы могли решаться, прямо исходя из философских допуще­ний, без специального их обсуждения и внутриматематической рефлексии. Но, так или иначе, нужны исторические факты и си­стемная аналитическая разработка вопроса. Априорная схемати­зация ответа, разумеется, может оказаться ошибочной. Сергей Николаевич, собственно говоря, сам об этом хорошо написал.

В-третьих, вопрос, могу ли я поспособствовать возникнове­нию интереса к этой проблеме истории и философии математи­ки? Хотел бы. Но способен ли я ее разрешить? Вряд ли: проблема лично меня подавляет неимоверной сложностью.

____________

МЕТАМАТЕМАТИКА И ОПЫТ

Проблема «Метаматематика и опыт» не выглядит особо зна­чимой по сравнению с вопросом о соотношении с эмпирической действительностью самой математики. Действительно, суть гильбертовского замысла заключалась в обосновании непротиворечи­вости классических математических конструкций посредством оперирования их формальными записями в рамках «наглядных средств» элементарной теории чисел1. Корректность использова­ния «идеальных объектов математики» гарантировалась бы в случае успеха метаматематической редукции заведомой корректностью оперирования «конструктивными объектами» метаматематических рассуждений, принадлежащих сфере непосредственного челове­ческого опыта2. С теоремой Геделя о неполноте надежды на осу­ществимость «эмпирического обоснования» непротиворечивости математики стали более чем призрачными. Первым вывод о необходимости использования абстрактных понятий для доказатель­ства непротиворечивости классической теории чисел сделал в 1935 г. П. Бернайс. Однако наибольшую известность в плане выводов из неудачи первоначальной гильбертовской программы получила вышедшая в 1958 г. работа [4] самого автора этого фундаменталь-

354

ного метаматематического результата. Абстрактные понятия, со­гласно Геделю, «охватывают не свойства и отношения конкретных объектов (например, комбинаций знаков), а относятся к мыслен­ным образам (например, к доказательствам, осмысленным выска­зываниям и т. д.), причем при рассмотрении доказательств исполь­зуется такое понимание последних, которое получается не из комбинаторных (пространственно-временных) свойств представ­ляющих их знаковых комбинаций, а из их смысла» [4, с. 299].

В финитной установке гильбертовской метаматематики раз­личаются две составные части: «Во-первых, конструктивный эле­мент, который состоит в том, что речь о математических объектах может идти лишь постольку, поскольку они могут быть предъяв­лены или фактически построены. Во-вторых, специфически финитистский элемент, требующий, сверх того, чтобы объекты, о которых делаются высказывания и которые служат исходными данными построений и получаются в результате, были "нагляд­ными", что означает, в конце концов, пространственно-временное сопоставление им элементов, все особенности которых, за исклю­чением равенства и различия, несущественны» [4, с. 301]. От этого второго требования Гедель и считает необходимым отказаться.

В результате, как видим, проблема обоснования корректности использования идеальных объектов переносится из математики в метаматематику. И пусть в метаматематике объем используемых абстрактных понятий существенно меньше, нежели в математике «объектной», все равно подозрение в обоснованности их приме­нения не может не сохраниться.

Мы не будем специально рассматривать вопрос о возможности расширения границ финитной установки Гильберта с сохранением достаточно надежных гарантий удостоверения непротиворечивости «объектных» теорий3. Речь пойдет о другом подходе к проблеме «Метаматематика и опыт», связанном с различиями в логических аппаратах метаязыка и языка формализованной математической теории. Основной тезис, обосновываемый в дальнейшей части работы, заключается в следующем: акцентирование вещественно-пространственного характера объектов в финитном подходе Гиль­берта приводит к использованию родовидовой логики Аристоте­ля. В то же время формальное исчисление предикатов фактически опирается на неаристотелевский вариант формальной логики, восходящий к учению стоиков. Подобное рассогласование ставит под сомнение обоснованность ряда моментов в доказательстве теоремы Геделя о неполноте формальной арифметики, как в се­мантическом, так и в синтаксическом его вариантах. Но обо всем по порядку.

355

1. Родовидовая логика и опыт

В современной формальной логике представление о роде не имеет сколько-нибудь явной связи с чувственным опытом. Так, в одном из базовых учебников для высшей школы род определяется просто как универсум U, по которому пробегает некоторая пред­метная переменная α. Вид при этом отождествляется с видовым отличием А(α), выделяющим из универсума предметы, подпадаю­щие под понятие α А(α) [6, с. 186—187].

Зачатки подобного понимания можно найти уже у Аристоте­ля, когда он приводит последнее из значений, в которых употреб­ляется термин «род»: «Основная часть определений при обозначе­нии сути вещи — это род, видовые отличия которого обозначают свойства» (Метафизика, 1024 b 5—6). Первые два значения рода у Аристотеля, однако, имеют четкое «биологическое происхождение», ибо в них «говорится о роде: касательно непрерывного рождения [существ] одного и того же вида; касательно первого двигавше­го того же вида, что и порожденное им» (там же, 1024 b 7— 8)4. И совершенно не случайно то обстоятельство, что поначалу реаль­ный род был неразрывно связан с физическим временем.

Как отмечается в [8, с. 85], вневременной характер математи­ческих объектов был осознан в Платоновской академии. Это и дало толчок тому чисто количественному пониманию родовидовых от­ношений, которое принято на вооружение формальной логикой [8, с. 80] и которое используется в классической математике.

Такие разделы классической математики, как арифметика, алгебра, анализ, имеют дело не с высшими, а с промежуточными родами. Как показано в [9], это приводит к тому, что в доказательствах от противного в этих науках на деле используется не закон исключенного третьего, а более слабый закон контрапозиции

(А ® В) ® (ù В ® ù А).

Этот закон генетически связан с родовидовой логикой, в которой отрицание понимается как внутреннее, осуществляемое внутри рода. В качестве примера можно привести следующее умозаклю­чение: если из равенства сторон треугольника вытекает равенство противолежащих этим сторонам углов, то, наоборот, неравенство углов треугольника влечет за собой и неравенство соответствующих сторон. Отрицание равенства углов треугольника преобразуется здесь в их неравенство. Это определенное отрицание — в противовес нео­пределенному отрицанию «неверно, что углы a и b треугольника равны», из которого нельзя вывести никакого следствия без предварительного его преобразования из сугубо негативного суждения в утвердительное суждение о неравенстве углов. Эта, казалось бы,

356

совершенно безобидная логическая процедура, отождествляющая внешнее и внутреннее отрицания суждения5 в контексте содержа­тельного математического рассуждения, приводит к осложнениям в теории множеств, родовидовой статус понятий которой далеко не столь очевиден, как в разделах классической математики.

2. Родовидовая логика и канторовская

диагональная процедура

В косвенном рассуждении от противного, обосновывающем невозможность пересчета точек континуума натуральными чис­лами, также содержится преобразование внешнего отрицания суждения во внутреннее отрицание. После того как для постро­енного по произвольному отображению f: Х→ Р(Х) «диагональ­ного» объекта Z показано, что он не может принадлежать образу f(X) множества X, делается молчаливый вывод, что построенная совокупность Z является тем подмножеством множества X, ко­торое не охвачено «пересчетом» при помощи отображения f. Иными словами, утверждение «совокупность Z не является множеством вида  f(t) ни для какого t Î X» преобразуется в утверж­дение «совокупность Z является подмножеством множества X, отличным от множеств вида f(t) для t Î X». В работах [9—11] уже анализировалось существенное отличие подобного преобразова­ния внешнего отрицания суждения во внутреннее от аналогич­ных операций в разделах классической математики. А именно, на примерах было показано, что это преобразование никак не вписывается в закон контрапозиции, достаточный для проведе­ния косвенных рассуждений от противного, например, в геометрии и теории чисел. Вместе с тем возможно и прямое рассужде­ние, демонстрирующее некорректность указанного перехода с точки зрения аристотелевской логики.

В «наивной» теории множеств для того, чтобы некоторая со­вокупность X могла рассматриваться в качестве множества, долж­но выполняться естественное «минимальное требование»: для про­извольного объекта х из «универсума»6 должно выполняться либо условие х Î X, либо противоположное условие х Ï X (это условие предполагается автоматически выполненным и во всех вариантах аксиоматической теории множеств)7. Если принять это за определе­ние понятия множества в «наивной» теории множеств, отделяющее множества от совокупностей, заведомо множествами не могущими быть, то не-множествами тогда окажутся те совокупности X, для которых относительно некоторого объекта х выполняются одно­временно два условия х Î Х и х Ï Х8 либо ни одно из них9. В математике стремятся оперировать достаточно определенными

357

совокупностями, так что всегда допускается принципиальная воз­можность в отношении любого объекта х из универсума ответить исчерпывающим образом относительно его принадлежности к рассматриваемой в рассуждении совокупности. Поэтому (неявно) предполагается, что возникающая в процессе математических рас­суждений совокупность может не оказаться множеством только по первой из вышеназванных причин.

Когда в диагональной процедуре демонстрируется, что сово­купность Z, состоящая из всех тех элементов х, принадлежащих множеству X, которые не являются элементами подмножества f(х), не охватывается «пересчетом», задаваемым отображением f, форма противоречия «t Î Z и t Ï Z» относительно «гипотетического эле­мента» t Î X , для которого допускается возможность равенства f(t) = Z, оказывается в точности такой же, как и в парадоксе Рас­села10. Почему же в этом случае не делается вывод о том, что «диагональный объект» Z в действительности множеством не яв­ляется? Только потому, что совокупность Z с самого начала пред­полагается множеством11.

«Ранний» Кантор придерживался иного взгляда на понятие множества. В работе 1883 г. «Основы общего учения о многообра­зиях. Математически-философский опыт учения о бесконечном» он так сформулировал свое понимание: «Под "многообразием" или "множеством" я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность определен­ных элементов, которая может быть связана в одно целое с помо­щью некоторого закона, и таким образом я думаю определить нечто, родственное платоновскому είδος или ιδέα...» [12, с. 101]. Трудно представить, каким образом «диагональный объект» Z можно сопосташшть с платоновским είδος 'ом. Это еше можно было бы допустить, если бы платоновский είδος каким-либо образом «помогал» производить процедуру проверки принадлежности каж­дого из элементов t множества X собственному образу f(t). Но поскольку само отображение f считается существующим лишь на время косвенного рассуждения от противного, то надежда на помощь платоновской онтологии в данной конкретной ситуации едва ли будет оправданной...