Математика и опыт (стр. 43 )

История математики является дисциплиной гуманитарной, а гуманитарные дисциплины, как известно, противятся нахожде­нию внутри них строгой структурности и гораздо лучше поддают­ся толкованию. Это нам кажется важным, так как, несмотря на утверждение автора о неоднородности математического знания, он говорит о ней как о «вертикальной» неоднородности, отража­ющей «иерархичность» математического знания. Нам кажется, что слово «иерархичность» или «иерархия» здесь не совсем подходит для отражения, вышеизложенной теории в том смысле, в каком она единственно представляется нам понятной. Дело в том, что всякая иерархия подразумевает некое восхождение по строго оп­ределенным уровням, от четко определенного «низа» к одинаково четко определенному «верху», внутри какой-либо системы (иллю­страцией этому служит выражение «иерархическая лестница»). Что касается области математического знания, то в ней невозможно выделить четко разграниченные уровни восхождения от апостериорного к априорному, так же как и невозможно, — об этом пишет и автор, — определенно указать сами полюсы на одном эпистемологическом уровне с математическими концепциями, являющимися «звеньями» этой «иерархии».

Следует добавить, что, не допуская категориальных ошибок, вряд ли можно рассматривать математику как дисциплину иначе, чем как область математических практик, связанных между собой, хотя бы и отношением семейного сходства Витгенштейна, которое тем не менее не мешает нам говорить о едином феномене математики, но на ином более абстрактном эпистемологическом  уровне. Картина семейных сходств Витгенштейна не является картиной «кентаврических сцеплений» различных практик. Следует

577

всегда помнить, что в данном случае мы имеем дело с гуманитар­ными науками, в сфере действия которых описание области ис­следования с помощью строгой структурной «сетки» (например, иерархии) дает только приблизительное описание происходящего. Возвращаясь к тексту статьи и вследствие вышесказанного, хочется предложить заменить слово «центровость» (которое, на наш взгляд, отсылает к идее полюсов) на какое-нибудь другое, оберегающее от возможной категориальной ошибки (например, на слово «тенденция»). Сам автор пишет: «Однако вполне воз­можно, что на своих верхних ступенях эти иерархии априорно-абстрактного и апостериорно-абстрактного "пересекаются", т. е. сливаются в одну область сверх абстрактного. Поэтому при ана­лизе высших ступеней этих иерархий можно отказаться от мифа абсолютного противопоставления априорного и апостериорного». Вместо этого мы (в этой работе) предпочитаем говорить о "степе­ни" априорности, или абстрактности, или формальности того или иного феномена». Таким образом, суть нашего уточнения сводится к предложению распространить высказанное автором рассмотре­ние именно степени априорности относительно всей математики и отказаться от употребления иерархической структуры. Матема­тические теории действительно можно различать по их отвлечен­ности от эмпирического опыта, так же как и можно видеть флук­туации математического знания, о которых пишет автор, но для плодотворного результата следует стремиться к рассмотрению проблем в единой общей плоскости.

Что касается систем Фреге и Кантора, то их, безусловно, сле­дует рассматривать как примеры в поддержку тезиса о флуктуа­ции математического знания в данном случае в сторону увеличе­ния в них степени априорности. Здесь хотелось бы добавить, что законы арифметики для Фреге являются априорными аналити­ческими, подчиняющимися объективным законам логики. Он сам подчеркивает свое расхождение с Кантом, считающим их синте­тическими априорными. Таким образом, Фреге сам пишет о том, что его теория является гораздо в большей степени априорной, чем теории его предшественников, начиная с Декарта и Лейбни­ца. Указание на число, по Фреге, представляет собой высказыва­ние о понятии, что подразумевает определенную степень абстрак­ции. Число может быть только идеальным бытием, потому что оно подразумевает набор равных между собой единичностей, ко­торые невозможны в эмпирическом мире. Фреге вводит термин «объем» понятия, указывающий на двойное абстрагирование ог чувственной данности. Только таким способом, пишет он, можно дать определение нулю и единице. Числу 0 соответствует объем высказывания «неравное себе» или «равно 0 и неравно 0» (т. е.

578

ничто). Следовательно, указание на число I соответствует выска­зыванию «равно 0», так как объемом этого понятия яапяется лишь одно число, т. е. 0. Фреге распространяет свою систему и на беско­нечные числа Кантора: бесконечное число ∞ есть число, подпадаю­щее под понятие «конечное число».

В заключение хочется еще раз повторить наше предложение рассматривать различие математических теорий в «горизонталь­ной» плоскости общего математического знания, а также побла­годарить за интересный историко-научный доклад.

ОТВЕТ АВТОРА

  1

В комментарии намечены (по-моему, очень важные) «точки бифуркации» современной методологии и фи­лософии математики. Прежде всего это сосредоточение анализа на математическом конструировании как «первичной» математической деятельности (в противовес «вторичной» деятельности строгого формального доказательства; ср. с вейлевским противо­поставлением конструктивного и аксиоматического подходов в математике), а кроме того, сопоставление математического кон­струирования с другими практиками «творческого» конструирования (например, в музыке). Идея о наличии в математической деятель­ности разных типов математического конструирования представ­ляется очень плодотворной. В этой связи можно сослаться на И. Канта, который в КЧР помимо рассудочного — последователь­ного — синтеза (это, видимо, соответствует логическому конструи­рованию) выделяет еще и фигурный синтез воображения (это, ви­димо, соответствует гилетическому конструированию), а в своем знаменитом § 77 из КСС вводит «прообразный» рассудок, спо­собный осуществлять интуитивное (= инсайтное) усмотрение целого (= платоно-гуссерлевская эйдетическая интуиция), что позволяет (гипотетически) говорить и о третьем типе конструи­рования — собственно эйдетическом (хотя не уверен, что он «работает» не только в метафизике, но и в области математики).

Теперь перейду к уточнению своей позиции, изложенной в статье.

1. Начну с последнего абзаца комментария. Как справедли­во указывает , в моей статье часто эксплуатируется «геометро-арифметическая парадигма» строения математики.

___________________________________

1 См. полный электронный текст: http://www. *****/libraiy/ksl/ philmath_200l. html579

Однако в данном случае я выражаю не столько свою позицию, сколько отмечаю достаточно устойчивое на протяжении всей истории математики, начиная с античности (Платон, Прокл, ..., Кант) и вплоть до наших дней (Вейль, Бурбаки), представление о неоднородном (по крайней мере бинарном) характере матема­тического знания, что необходимо учитывать при методологи­ческом анализе его оснований. Более того, история (математики) показывает, что происходит своеобразное чередование внутри этого бинарного комплекса в пользу одной из составляющих, которое носит временный (локальный в историческом масшта­бе) характер и не должно вводить в заблуждение любого исследователя-методолога. Поэтому указание на современное «топо­логическое поглощение» других составляющих математического комплекса (алгебраических структур, структур порядка и теории :алгоритмов), что в рамках моего анализа соотнесено с перехо­дом от «статического» теоретико-множественного языка к более «функциональному» языку теории категорий, не следует тракто­вать как глобальную топологизацию математики. Топологическое «поглощение», с учетом отмеченного выше чередования состав­ляющих, — локальное явление, а редуцирование всей математики к топологическим структурам рано или поздно столкнется с новым феноменом (геделевской) «неполноты» этой редукции-формали­зации (или «противоречием», если использовать восходящий к Гегелю язык самого ) и необходимостью перехода к иным — нетопологическим — основаниям математического знания.

2. Перейдем теперь к обсуждению первого абзаца текста комментария, в котором развиваемая мной концепция динами­ческого априоризма напрямую увязывается с диалектикой Гегеля. Причем для самого (это видно из его текста в наст, сб.) фигура (диалектика) Гегеля явно значима. Как пра­вильно замечает автор комментария, процесс познания — это (динамический) процесс, в ходе которого «снимается» абсолют­ная неподвижность познавательных структур. Собственно, этот тезис не нуждается в специальном обосновании, так как сам фе­номен развивающегося знания подтверждает динамику человечес­кого познания, его креативный характер. Нашей заслугой можно считать распространение «динамики» на область априорного, т. е. концепция динамического априоризма может быть вписана в бо­лее общий контекст «динамического» рассмотрения исходных ос­нований человеческого познания. В рамках нашего сборника — это концепции (1) эволюционной эпистемологии и (2) праксеологического априоризма . В обоих слу-

580

чаях дан механизм развития априорных форм: в (1) — как про­цесс биологического приспособления человеческого интеллекта с целью выживания человека; в (2) — как детерминация «чисто­го» (математического) знания a priori «праксисом». Сходство (I) и (2) проявляется в том, что область чистого a priori обусловли­вается внешними по отношению к процессу познания факторами [хотя в случае (2) это выражено не так явно]. Отличительной же особенностью концепции динамического априоризма является нацеленность на выявление «внутренних» (само)детерминант раз­вития априорного, что, безусловно, роднит ее с (диалектическим) подходом Гегеля. В этом смысле развиваемый подход, на мой взгляд, однотипен с концепцией динамического априоризма [и отличен как тип от концепций (1) и (2)].

Поэтому тем более важно (для уточнения методологических оснований предложенной мной концепции динамического ап­риоризма) показать различие между гегелевской диалектикой (в интерпретации ) и используемой мной, восхо­дящей к Ж, Делезу и Фр. Гваттари (см. их совместную работу «Что такое философия?»), методологией, которую я обозначил как концептуальный анализ.

Остановимся на этом подробнее. Концептуальный анализ, нацеленный на выявление смысловых «составляющих» тех иди философских понятий (концептов — у Делеза), никаких изначальных схем их (само)развития не предполагает. Для иллюстра­ции этого различия возьмем характерный пример гегелевского «моноциклического» схематизма (= «одномерный моноцикл») из статьи : «Бытие → Ничто → Бытие → Ничто →...», который в рамках концептуального анализа можно заменить на ветвящуюся квазицикличную последовательность (бесконечно ветвящееся дерево):

====================  …=  ===  …

===============  Бытие11  ®  Ничто110 ®  … 

======  Ничто1   Бытие10  ®  Ничто100  ®  …

Бытие0   Ничто0   Бытие01 ®   Ничто010  ®…

===  Ничто2  Бытие20   ®  Ничто200  ®…

  Бытие22  ®  Ничто220  ®…

====================  ….=  ===  …..

Я думаю, что дело здесь заключается в том, что под диалек­тикой в истории мысли понимаются достаточно разнородные мыслительные практики. В качестве общего — «родового» — имени подобных мыслепрактик работы с абстрактными сущнос-

581

тями может быть выбрано название «концептуальный анализ» [ср. с (обшим) понятием «игры» у Витгенштейна при обсужде­нии им концепции «семейного сходства»]. Суть этих практик — анализ смыслов, содержащихся в «узлах» той или иной поня­тийной конструкции, установление «сетки» сходств и различий между ними и выявление «смысловых траекторий» (или перехо­дов) в сформированном мыслителем понятийно-смысловом универсуме [см. прекрасное обоснование специфики «диалекти­ческого» (философского) подхода в противовес «физическому» у Аристотеля (О душе, 403а25 — 403b15)].

В истории мысли можно выделить несколько типов диалек­тики (формат «ответа» не позволяет дать более подробную клас­сификацию, поэтому ограничусь здесь кратким наброском). Во-первых, это диалектика Платона и Аристотеля, которая может быть названа диалектикой различия2. Суть этого типа диалектики в выявлении различий и взаимосвязей между различными кон­цептами с целью создания некоторой «непротиворечивой» кон­цептуальной системы, пригодной для описания той или иной области реальности (или. в предельном случае, — мира в це­лом). Во-вторых, это диалектика тождества, или диалектика совпадения противоположностей, представленная Н. Кузанским (см., например, его знаменитое отождествление абсолютного минимума и абсолютного максимума), суть которой заключается в установлении, по возможности, всеобъемлющей системы отождествлений (подобий), за счет чего предпринимается попытка построить пантеистическую — единообразную — картину мира (сотворенного единым Богом по единому плану и единообразно). В-третьих, это диалектика противоречия Гегеля, в рамках кото­рой — за счет «смысловой конденсации» — общее (обширное) концептуальное поле «преобразуется» в дискретный небольшой набор (противоположных) концептов и вводится «логика» взаи­мосвязей понятий следующего вида (гегелевская диалектика в узком смысле): выбирается единое основание, а переход от по­нятия к понятию осуществляется по схеме триадичной спирали (моноцикла — у ) «тезис—антитезис—синтез». При этом акцент анализа смещается в сторону противоречия, так как именно оно и выступает «механизмом» перехода от одного кон­цепта (как тезиса) к другому (как антитезису). Наконец, это собственно концептуальный анализ Ж. Делеза — Фр. Гваттари —

-------:- 

2 Б основе этого подхода лежит «изобретение» Платоном следующей грам­матической конструкции: «с одной стороны... с другой стороны...». Например, монета, с одной стороны. — орел, а с другой стороны, — решка (не-орел), и в этом нет никакого противоречия.

582

М. Фуко (концептуальный анализ в узком смысле; ср. с «логи­кой смысла» Ж. Делеза и/или «сериальным» подходом М. Фуко), который в определенном смысле является обогащенной диалек­тикой различия Платона—Аристотеля. В данном случае перед исследователем находится множество разнородных концептов (сформированных в разных философских системах), каждый из которых представляет сложное (смысловое) образование каких-то начальных «смысловых единиц». Изменяя исходный набор и/или добавляя в него собственные оригинальные компоненты, можно осуществлять «диалектический» переход от одного концепта к другому. Тем самым выстраиваются определенные «серии» кон­цептов, которые не обязательно образуют гегелевскую триаду и/или сводимы к одному исходному концепту (в этом случае изображенное на схеме дерево превращается в ризому с началь­ными Бытие01, Бытие021, Бытие03, ...)3.

Что же касается упомянутой в комментарии необходимости разработки (гегелевской) категории противоречия, то в данном случае мне представляется методологически оправданным более «мягкий» аристотелевский подход (диалектика различия vs. диа­лектика противоречия], при котором выделяются несколько ви­дов противолежания: противоречащее одно другому, соотнесенное, противоположное, лишенность и обладание (здесь противоречие выступает как самый сильный вид противолежания). К сожале­нию, последующая философская мысль — гегелевская диалекти­ка не является здесь исключением, а, скорее, служит наиболее ярким примером — свела все это многообразие противолежаний лишь в одну предельную категорию противоречия, тем самым су­щественно ограничив возможности своего методологического анализа (конечно, в гегелевской диалектике фигурирует промежуточная категория «различие», но она выполняет явно вспо­могательную роль как бы неразвитого противоречия), Эта же редукция проявляется и в кантовской абсолютизации противо­поставления априорного — апостериорного, в то время как на самом деле «существует» как бы целый спектр промежуточных концептуально-смысловых «сущностей», обладающих разной «степенью априорного», что в своей статье я попытался выразить концептуально как эпистемологический гомеоморфизм. Точно так же нельзя абсолютизировать и категорию противоречия, ее надо заменить целым «спектром» аристотелевских противолежаний.

_____________________________________

3 Собственно именно концептуальный анализ этого рода с целью выявле­ния основных «смысловых» составляющих и был применен мной при анализе концепта «a priori».

583

А. Ф. Кудряшову1

1. Следует заметить, что историческое сопоставление ариф­метики (алгебры) как «верхнего» — более априорного — этажа математического знания с метафизикой, а чувственноподобной геометрии как «нижнего» этажа математического знания с физи­кой проводится мной отнюдь не на базе (онтологического) разли­чения «непрерывность vs. дискретность», а на (гносеологической) основе различения познавательных способностей. Геометричес­кие объекты существуют «пространственно», и необходимое для оперирования с ними созерцание осуществляется «незаконорожденным умозаключением» (Платон), или воображением (если воспользоваться кантовским разделением познавательных способностей). В частности, обязательным элементом геометрических доказательств являются чертеж и (пространственные) построения. В то время как арифметико-алгебраические «числа» являются более абстрактными, не обязательно (пространственно) созерца­тельными, объектами и постигаются с помощью более интеллигебельной познавательной способности — рассудком [или низ­шей частью ума — дианойей, если воспользоваться античным (платоновским) анализом]. Вполне допустимо, что в современ­ной математике соотношение между арифметикой и геометрией не такое однозначное, так как отдельные разделы геометрии (например, топологии) по степени абстрактности (т. е. «степени» априорности в моей интерпретации) ни в чем не уступают ариф­метике или алгебре. Более того, с появлением теории категорий именно «геометрический» (топологический) подход становится реальной альтернативой «арифметическому» — теоретике-множе­ственному — подходу, что в рамках предложенного мной анализа является не «регрессом» априоризма современной математики, а лишь сменой типа априорности математического знания (види­мо, при общем повышении степени ее абстрактности—априор­ности). Но методологически проводимое мной различение между «нижними» (более эмпиристскими) и «верхними» (более аб­страктными) разделами не потеряло свое значение и в настоя­щее время.

2. В своей статье я выявил основные концептуальные «со­ставляющие» понятия «априорного». В частности, налицо очень устойчивая на протяжении истории философии связь между понятиями «априорное» и «абстрактное». Поэтому «степень апри­орности» можно трактовать как «степень абстрактности». И, сле-

___________________________

1 См. полный электронный текст: http://www. *****/library/ksl/ philmath_2001.html

584

довательно, более «верхние» — абстрактные — этажи математи­ческого знания являются (согласно предложенному мной пони­манию) более априорными как бы по определению. Но я отчасти согласен со своим оппонентом в том, что «взаимосвязь» между разными этажами и ветвями математического знания не являет­ся однозначно-линейной, а осуществляется по многим «осям» методологического анализа. Именно поэтому в своей концепции динамического априоризма — эпистемологического гилеоморфизма, которая является ядром моего подхода, я выделяю разные типы априорного. К сожалению, полной структурной классификации типов априорного пока разработать не удалось (в статье пред­ставлена лишь предварительная историческая классификация), однако можно предположить (для меня это очевидно), что в та­ком разнородном комплексе, каким является математика, сосу­ществуют разные типы априорности, как, впрочем, и разные типы эмпиричности.

1

1. Мне кажется, что проблема статуса математики, поставлен­ная в комментарии , является центральной пробле­мой всей философии математики. Ранее я обосновал тезис о том, что философия является «пограничным» феноменом (между Наукой и. Искусством, Наукой и Мифом, Наукой и Религией (см. мою статью «Философия как пограничный феномен» — http://www. *****/library/ksl/katr_016.html). Если же мы сузим область методологического анализа до сферы научного знания (= «физики»), то там такое же пограничное положение занимает математика. Об этом свидетельствует прежде всего аподиктический характер ее знания (что, собственно, и явдяется посылом и предметом обсуждения данного сборника). В этом смысле она занимает не только промежуточное положение между «физикой» и «метафизикой», но и между естественными и гуманитарными науками. Поэтому провозглашенный в комментарии гуманитарный подход к анализу математического знания вполне оправдан, так как он является серьезной альтернативой физикалистской методологической парадигме исследования математической деятельности («физико-математический комплекс» vs. «математико-гуманитарный комплекс»). Однако здесь меня сму­щает одно «но»» а именно уже отмеченный аподиктический ха-

----- 

1 См,  полный электронный текст комментария: http://www. *****/

library/ksl/philmath_2001.html 

585

рактер математики: математическое знание — в отличие от лю­бого другого знания, будь то знание естественно-научное или гу­манитарное, — претендует на статус знания сверхчеловеческого, знания, независимого от существования человеческого разума2. А это значит, что замена физикалистской методологии на гума­нитарную положения не спасает. На мой взгляд, автор коммен­тария не учитывает одного тонкого (точнее, двух) различия и вследствие этого допускает если не категориальную ошибку, то методологическую неточность. Различие это касается статуса ма­тематического знания, которое, с одной стороны, необходимо отличать от истории математики [которая, очевидно, является гуманитарной дисциплиной и может (должна) исследоваться с помощью гуманитарной методологии, но ведь предмет нашего анализа — не история математики, а она сама!], а с другой сторо­ны — от математической деятельности («область математических практик». — П. К.). Именно это последнее различие (не учитывае­мое автором комментария) между математическим знанием как результатом математической деятельности, в которой эта деятель­ность как бы «угасла», и математической — человеческой — практикой не позволяет применить к анализу математического знания методологию гуманитарных дисциплин.

Различив математическое знание и математическую практи­ку, можно поставить вопрос о выборе адекватной методологии исследования. Что касается анализа математической деятельнос­ти, то, на мой взгляд, вопрос о приемлемости методологии гуманитарных дисциплин требует тщательной проработки. Если принять во внимание высказанный выше тезис о пограничном статусе математики, то прямой перенос гуманитарной методоло­гии на область математики вообще невозможен. Математика как специфическая деятельность, связанная с особым типом конст­руирования своих (математических) объектов (несколько подробнее об этом см. мой ответ на комментарий ) и имеющая аподиктический статус своих положений, требует особой методологии, отличной как от методологии естествен­ных, так и от методологии гуманитарных наук. (Видимо, более всего в разработке такой методологии продвинулся И. Лакатос в своей работе «Доказательства и опровержения», которая, одна­ко, не получила дальнейшего развития.)

__________________________

2 Это одна из важных интенций Канта, который при анализе познания вводит априорные формы, имеющие всеобще-необходимый, т. е. сверхгумани­тарный, характер. Поэтому неосновательны обвинения Канта в субъективном идеачизме, против которых он активно возражал.

586

Если же анализу подвергается современное математическое знание3, то здесь помимо высказанного выше тезиса о «сверхче­ловеческом» характере математики имеются и другие возраже­ния против использования гуманитарной методологии, которая из-за «рыхлости» структуры занимается скорее «толкованием» ().

Главное из них заключается в том, что современное матема­тическое знание является вполне формализованным логико-математико-метаматематическим комплексом, т. е., с одной стороны, можно говорить о слиянии в XX в. в единый комплекс логики и математики, где логика является фундаментом более богатого ма­тематического знания [заметим, что еще в конце XIX в. логика (особенно , аристотелевской, силлогистики) и математика рассматривались как вполне самостоятельные и не­пересекающиеся дисциплины]. А с другой стороны, можно го­ворить, в основном благодаря деятельности Д. Гильберта и его последователей, о появлении в составе математики «верхнего» этажа — метаматематики, что можно рассматривать как верхнее «обрамление» математики логикой. Сам выбор мной такого трех-частного названия для современного математического комплекса указывает на его структурированность (иерархичность). Более того, математическое знание в отличие от другого знания являет­ся самым структурированным типом знания (мой контртезис). Вслед за Н. Бурбаки иерархию математического знания можно представить так (см. об этом подробнее в моем электронном тексте: http://www. *****/library/ksl/mathlekl. html):

== А. Логика ==

1.  Исчисление высказываний: введение символов логических

связок &. Ú, Ø, Þ.

2.  Исчисление предикатов первого порядка: введение кванто­ров $, ".

3.  Эгалитарные теории, или исчисления предикатов с равен­ством.

== В. Математический язык ==

4.  Теоретике-множественный язык: введение основной теоре­тико-множественной операции принадлежности элемента мно­жеству (Î).

_________________________________

1 Замечу, что здесь математика рассматривается как единый феномен, так как здесь анализ математики происходит на первом — бытийном — этапе, на котором важно выявить отличие математики от других феноменов, т. е. на этом этапе «рассмотрение математических теорий в "горизонтальной" плоскости общего математического знания» (П, С. Куслий) вполне оправданно.

587

== С. Пред-математика (уровень математических теорий) ==

5.  Арифметика: примитивно-рекурсивные операции («следо­вание за», «сложение», «умножение»), метод математической ин­дукции.

6.  [Аксиоматическая] теория множеств: теория типов Рассела— Уайтхеда (РМ); аксиоматика Цермело—Френкеля (ZF); аксиома­тика Неймана—Бернайса—Геделя (NBG).

7.  «Наивная» теория множеств (парадоксы Рассела, Бурали— Форти, Кантора).

8.  Основные математические структуры: алгебраические, топо­логические структуры, структуры порядка [см. работу Н. Бурбаки «Архитектура математики»].

9. Сложные математические структуры как комбинация основ­ных структур.

== D. (собственно) МАТЕМАТИКА ==

Таким образом, подчеркивая в своей статье момент струк­турности и иерархичности математического знания, я вовсе не исключаю возможности его анализа единого комплекса. Однако основная интенция моей статьи как раз и заключалась в том, что такой — «гомогенный» — подход, провозглашаемый на сегодняшний день чуть ли не единственно возможным, не позволяет адекватно анализировать и решать ряд более тонких мето­дологических проблем математики (в частности, заявленную как основную для этого сборника проблему априорности математи­ческого знания) и должен быть дополнен более точным анали­зом «гетерогенных» составляющих математического знания, об­разующих строгую иерархию.

2. Перейдем теперь к другой теме, поднятой в комментарии, которая посвящена анализу математико-философских взглядов Г. Фреге и Г. Кантора: Эта тема заслуживает особого внимания, поэтому остановимся на ней подробнее.

Суть математической деятельности составляет работа с ЧИС­ЛОМ4. Однако вопрос об онтологическом статусе ЧИСЛА до сих пор остается открытым. Как правило, большинство исследователей ограничиваются восходящим к пифагоро-платоновской тради­ции утверждением о том, что ЧИСЛО есть особый тип абстрак­ции, занимающий промежуточное положение между физически­ми объектами и метафизическими сущностями, т. е., математика занимается абстракциями второго порядка (в то время как дру­гие науки — как на экспериментальном, так и на теоретическом

___________

4 Это утверждение «впрямую» применимо лишь к арифметике, но может быть расширено и на другие составляющие математического знания, если число трактовать максимально широко.

588

уровне — «работают» с абстракциями первого порядка; это необ­ходимо для формулировки любой — даже экспериментальной — закономерности). Зародившийся в Новое время и вполне оформившийся к концу XIX в. классический идеал научного знания был основан на очень устойчивом «сцеплении» физики и мате­матики в качестве единого комплекса. В рамках этого комплекса ЧИСЛО конституируется в своей измерительной функции, т. е. как средство (единица) измерения той или иной физической ве­личины. Это подтверждается тем, что, с одной стороны, в физи­ческих законах числа фигурируют как количественные коэффи­циенты, имеющие ту или иную физическую — «качественную» — размерность, а с другой стороны, признаются только те числа, которые имеют внятную физическую интерпретацию. Тем са­мым ЧИСЛО является количественной характеристикой каче­ственных явлений, т. е. мыслится не как чисто количественная характеристика, а в своей физической ипостаси как количе­ственно-качественная характеристика реально существующих (физических) явлений. Таким образом, онтологически ЧИСЛО выступает как бытийная ЕДИНИЦА, это — (из)мерное количество, или измерительное число, имеющая математико-физическую при­роду. Наиболее характерным проявлением такого понимания числа является натуральный числовой ряд, «обогащенный» проме­жуточными числовыми сущностями (что принципиально не из­меняет данного концепта числа как измерительной сущности}.

В работах Кантора—Фреге происходит существенное пере­осмысление онтологического статуса основных математических концептов и прежде всего концепта числа5. В основу математики кладется число в своей чистоте (число как таковое), кото­рое полностью освобождается от своей измерительной функции в рамках своей физической — «качественной» — ипостаси, а функционирует как средство счета (пересчета). Конечно, эта функция числа не является чем-то принципиально новым, про­сто раньше счетная составляющая числа занимала подчиненное положение в составе общей измерительно-счетной функции, а теперь она освобождается и конституируется в качестве соб­ственной функции. Теперь (новое) ЧИСЛО** — средство счета как таковое — выступает как средство пересчета однородно-рав­ных — в силу утраты их качественных различий — абстрактных объектов, т. е. абстракций второго уровня, а не только как сред­ство счета-измерения абстракций первого порядка — качествен­но различных вещей (измерение является частным случаем пере-

_________________

5 Здесь я буду опираться в основном на тексты Г. Фреге ([1]| Г. Фреге. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о поня­тии числа). Томск, 2000; [2] Он же. Логика и логическая семантика. М., 2000).

589

счета!) У Фреге (Кантора) число** служит для «измерения» — счета, сравнения, упорядочивания... — сущностей второго по­рядка: (объемов) понятий (у Фреге) и (мощностей) множеств (у Кантора), т. е. (новое) канторо-фрегевское число (= «число**») полностью освобождается от своей качественной — «физичес­кой» — составляющей (зависимости) и выступает как чистое ко­личество. Другими словами, Кантор и Фреге предложили прин­ципиально новый концепт ЧИСЛА — счетное число, которое по отношению к концепту измерительного числа выступает как (мета)число второго порядка.

Наиболее ярким выражением этого переосмысления статуса ЧИСЛА является «включение» в числовой ряд нуля, который до этого воспринимался как некий вспомогательный элемент («языковая фикция», по Д. Гильберту), служащий для обеспече­ния функциональной полноты арифметических операций, но собственного (самостоятельного) «физического» статуса (т. е. собственной содержательной «позитивной» интерпретации) не имел. Примечательно, что в своей работе [1] Фреге первоначаль­но обсуждает статус «нуля» на чисто философском (онтологичес­ком) уровне. Так, он сопоставляет математической «единице» ме­тафизическое «Бытие», а математическому «нулю» — «Ничто» (небытие, отрицание бытия): «ведь утверждение существования есть ничто иное, как отрицания числа ноль» [1, с. 80]. «Ноль» получает свой онтологический статус в качестве «счетной меры» несуществующих (= небытийных) абстрактных сущностей, на­пример «пустых» понятий типа «круглого квадрата» (или «счетности» пустых множеств у Кантора). А новое ЧИСЛО** является концептуальным «расширением» прежнего ЧИСЛА (как бытий­ной «единицы») за счет включения в его состав получившего онтологический статус ничтойного «нуля».

С точки зрения концептуального анализа «расцепление» из­мерительной и счетной функции чисел приводит к тому, что (еди­ный) концепт «единицы» распадается на два самостоятельных концепта — «один» и «первый», поскольку теперь (измеритель­ная) «единица» («один» как первый член натурального ряда, ко­торый предназначен для измерения-счета качественно-различ­ных существующих — натурально — вещей) не совпадает с (счетной) «единицей»: в счетном ряду чисел первым оказывается ничтойный (не-бытийный) «нуль», а бытийная «единица» зани­мает лишь второе место. На грамматическом (языковом) уровне это проявляется в более четком различении функций числитель­ных: количественные числительные «один», «два»... (которые мо­гут функционировать в качестве существительных, например в немецком языке могут употребляться с определенным артиклем der Eins), служащие для выражения количественных (измери-