Математика и опыт (стр. 28 )

Разделяя в целом этот схоластический настрой, связанный с проработкой концептуальных основ современного математики, я хотел бы высказать ряд дополнительных замечаний, не учтен­ных или не выявленных в данном анализе.

Сначала дам свое видение представленной в статье пробле­мы и попробую «восстановить» некоторые из ее важнейших и неявно принимаемых пресуппозиций, поскольку без этого не будет понятен смысл моих замечаний.

Математика оперирует с достаточно абстрактными — матема­тическими — «объектами», статус и способы введения-обоснова­ния которых принципиально отличаются от чувственно-воспри­нимаемых (опытных) объектов, имеющих «временной характер» (парафраз из раздела 1). Особенностью современ­ной математики (математики XX в.) является использование в качестве своего концептуального основания теории множеств, восходящей к построениям Г. Кантора. Однако обнаружение тео­ретико-множественных (а впоследствии и логико-семантических) парадоксов привело к необходимости уточнения исходных тео­ретико-множественных понятий и разработке особых обосновательных — метаматематических — процедур с целью недопусти­мости подобных парадоксов в будущем. Речь здесь идет прежде всего о гильбертовской финитной метаматематике. С другой стороны, новый концептуальный базис математического знания требовал и изменения его логических оснований, а именно замены традиционной силлогистики на современную логику, построенную по фрегевской концептуальной схеме «функция-

_______________

1 Полный электронный текст комментария см.: http://www. *****/library/ksi/philmath_2001.html 

372

аргумент»2, принципиально иной по сравнению с традиционно-логическим субъектно-предикатным подходом к анализу предло­жений3. Вычленение же из состава математики обосновательных метаматематических процедур предполагает решение проблемы концептуальной согласованности математики и метаматематики, т. е. сходства их логико-онтологического базиса. Отсутствие яв­ной экспликации и попыток решения этой проблемы, по мне­нию автора статьи, составляет один из «парадоксов» современ­ной математики, приведший к появлению ряда результатов об ограниченных возможностях современных математических фор­мализмов, среди которых видное место занимают известные тео­ремы Геделя. Общая схема предлагаемого в статье решения — выявление «рассогласования» в логическом базисе математики и метаматематики с целью его устранения.

Перейдем теперь к критической части комментария и выска­жем общий контртезис (имеющий иерархическую структуру) к предлагаемому тексту (формат комментария не позволяет контр­тезис аргументировать подробно).

Существующая математика и метаматематика прежде всего благодаря работе Г. Фреге и Б. Рассела вполне согласованны. Единым онтологическим базисом современного логико-математико-метаматемического комплекса является номиналистическая установка, постулирующая наличие только единичных объектов (индивидуумов) и единого (универсального) универсума, что де­лает излишним введение родовидовой иерархии [или расселовского теоретико-типового структурирования, что оказалось «тупиковой» программой развития (обоснования) математики, хотя и в этом случае реализуется идеал единого математического универсума, структурированного вертикально]. Логическим ба­зисом этого математического комплекса является единая логика фреге-расселовского типа (подробнее об этом типе формализмов см., например, работу «Логические методы ана­лиза научного знания» или работы ). То есть вся современная логика успешно — за счет различных редукций, погружений, дефинициональных (эквивалентных) переформули­ровок — «перестроена» на базе единой, восходящей к Г, Фреге концептуальной схеме «функция — аргумент».

___________________

2 Заметим, что на этой основе возможно создание единого логико-матема­тического комплекса, так как и логика и математика становятся сходными «функциональными» дисциплинами.

3 В работе эта новая логика названа «канторовской», однако концептуаль­ный базис этой логики был заложен Г. Фреге (частично Дж. Пеано), Б. Расселом и Д. Гильбертом, в то время как сам Г. Кантор опирался в основном на булеву логику классов, которая в рамках нашего дискурса вполне может быть квалифицирована как традиционная — аристотелевская — логика.

373

1. Существенной чертой данной номиналистической уста­новки является экстенсионально-синтаксический характер пост­роения современных (математических) формализмов. В этом смысле «финитный подход Гильберта» не может «акцентировать внимание на вещественно-пространственном характере [метама­тематических] объектов» (). Метаматематические, как, впрочем, и математические, объекты у Д. Гильберта имеют ярко выраженный синтаксический, или "знаковый", характер (что, кстати, вполне разделяет и К. Гедель в процитированном месте работы [4, с. 299]). Математические (метаматематические) объекты рассматриваются Гильбертом (я думаю, что и большинством современных математиков) как знаковые, или синтаксические, конструкции, требующие определенных, строго фиксированных синтаксически "правил работы" с ними. Поэтому (отмечаемый Геделем в цитате) "пространственно-временной" характер метаматематических объектов имеет явно метафорический смысл, так как пространственно-временной статус математических (или метаматематических) объектов принципиально отличается от пространственно-временного статуса (физических) вещей. Здесь, скорее, можно говорить о структурно-комбинаторном "пространстве" гильбертовской (формальной) установки, что впоследствии было с блеском реализовано на методологическом уровне в неопозитивизме (логическом позитивизме), провозгласившем отказ от "смысла" в пользу чисто экстенсионального подхода (в этом смысле можно говорить о невостребованности призыва Геделя к использованию "смысла", "мысленных образов" в последующей логико-математической традиции), а в прагматическом отношении выразилось в мощнейшем развитии алгоритмо-машинных математических процедур, основанных на чисто синтаксических {формальных) процедурах (реализованных, например, в машине Тьюринга, которую не отменяет и привлечение более мощных алгоритмов с оракулами).

1.1. Однако синтаксическое единство современных логико-математических формализмов не учитывает глубоких семантико-онтологических различий современной и традиционной – родовидовой, в терминологии автора статьи, – логик. [Заметим, что используемое в статье название "родо-видовая логика" представляется не совсем удачным, так как существует несколько отличных друг от друга традиционных логик, различным образом решающих вопрос о взаимосвязи предикатного (внешнего) и акцидентного (внутреннего) отрицаний. См. по этому поводу, например, работу "Аристотель и традиционная логика", где выделены различные "родовидовые" логики: например, собственно ари-

374

стотелевская логика, традиционная (школьная) логика (как правило, именно она выдается за родовидовую логику как таковую и преподается в российской высшей школе), лейбницевская, больцановская, кэрроловская...] Поэтому вопрос о "согласовании" семантико-онтологических оснований двух типов логик остается не только нерешенным, но даже и незамеченным (в этом отношении я солидарен с автором статьи). Наиболее перспективным, т. е. учитывающим семантические различия, здесь представляется подход , который предложил комбинированные – в частном случае двухуровневые – логики (см.: Логико-философские труды / Под ред. . М., 2001), поскольку данный подход показывает (а это главное!) принципиальную возможность "согласования" традиционного и современного

логического подхода.

2. В рамках обрисованной выше номиналистической онтологии и пропозиционально-предикатной структуры современной математической логики, по существу, теряет смысл один из важнейших аргументов данной статьи, опирающийся на различение внешнего и внутреннего отрицаний. Замечу, что на уровне пропозициональной логики никаких внутренних отрицаний в принципе быть не может. Поэтому приведенная в разделе 4 (см. также другие работы и ) интерпретация ù В как внутреннего отрицания "число 9 есть не-голубое" неправомерна, так как в пропозициональной логике внутренняя структура высказывания вообще не анализируется. При переходе же к следующему структурному уровню – логике предикатов первого порядка, отождествление внутреннего и внешнего отрицаний вполне оправданно номиналистической – индивидной – переформулировкой статуса логических (математических) объектов и введением единого, без родовидового – "горизонтального" – разбиения, универсума, что на синтаксическом уровне реализуется введением (либо в аксиоматике, либо в правилах вывода) соответствующих редукций отрицаний разной степени глубины.

2.1. Поднимаемая в данной и предшествующих статьях автора (вместе с соавторами) тема различения внешнего и внутреннего отрицаний, безусловно, интересна, так как высвечивает одну из неявно принимаемых посылок современных математических рассуждений. Однако проводимое в них различение не учитывает ряд принципиальных моментов, на которых я и хотел бы остановиться (см. подробнее об этом в моей работе "К вопросу о различении отрицаний": http://www. *****/library/ksl/negol. html). Во-первых, как по-

375

казывает предварительный анализ, в силлогистической логи­ческой форме суждения S есть Р», помимо собственно «внешнего» — пропозиционального — отрицания («Неверно, что S есть Р»), формально можно построить следующие че­тыре «внутренних» отрицания: 1. Отрицание субъекта сужде­ния «He-S есть Р»; 2. Отрицание содержательного признака (акцидентное отрицание) суждения «S есть не-Р»; 3. Два преди­катных отрицания (отрицание связки суждения) «S не есть Р»: 3.1. «S (не есть) Р» — субстанциальное отрицание связки «есть»; и 3.2. «S (не) (есть Р)» — (собственно) предикатное отрицание «есть P  Приемлемой интерпретации субъектного отрицания (случай 1) не существует, а случай 3.2 может быть отождествлен с акцидентным отрицанием (случай 2). Поэто­му для более точного и полного анализа надо рассмотреть взаимосвязь не двух (внешнего и внутреннего), а по крайней мере трех различных отрицаний, причем с учетом того, что на месте субъекта могут находиться четыре типа объекта (ин­дивиды, неопределенные индивиды Фреге—Уемова, (распре­деленные) классы Рассела, собирательные классы («кучи») Ст. Лесьневского, множества Кантора). Отметим, что наш предварительный анализ показал эквивалентность пропози­ционального, предикатного и акцидентного отрицаний в слу­чае индивидуумов (обратим внимание на то, что в примере, с помощью которого демонстрируется различие отрицаний, в качестве субъекта фигурирует общий термин «число»). Во-вторых, интересно было бы установить связь между раз­личением внешнего и внутреннего отрицаний и пониманием отрицания в интуиционистской (конструктивистской) логи­ке, так как неприятие закона исключенного третьего и сня­тия двойного отрицания свидетельствуют об отличном от классической логики (математики) понимании «свойств» от­рицания. Понятно, что в случае интуиционистской математики тезис статьи «подвешивается» и, видимо, должен быть «сужен» лишь до области классической математики. В-треть­их, мощным подспорьем при анализе операции отрицания может служить глубокое замечание русского логика Н. А. Ва­сильева о том, что операция отрицания (в отличие от других логических операций) является не непосредственной, а опосре­дованной — двухсоставной — операцией. «Отрицание» какого-либо признака — например, красноты —- предмета происходит так: сначала (на чувственном уровне) постулируется «позитивный» факт (в нашем случае, например, синева пред­мета), а уже потом (умозаключая) вводится собственно «нега­тивный» факт отсутствия соответствующего признака.

3. Следующим интересным развитием темы статьи является концептуальное обсуждение базисного для современной матема­тики понятия «множества». Однако при этом надо иметь в виду существенное концептуальное переосмысление исходной канторовской интуиции множества, осуществленное впоследствии Расселом, на которое до сих пор не обращали должного внима­ния (подробнее см. мой текст «Теоретико-множественная пара­дигма математики и ее возможные альтернативы»: http://www. *****/library/ksl/mathlekl. html). Если говорить коротко и несколько огрубление, то вместо канторовского понятия множе­ства (или ряда понятий «множества», с учетом неоднозначности и флуктуации данного понятия у самого Кантора, о чем упомина­ет и автор), в современных формализмах математики использует­ся именно расселовское понятие класса (хотя реальная ситуация выглядит не так однозначно с учетом различных аксиоматиза­ций теории множеств, среди которых аксиоматика Цермело — Френкеля, видимо, максимально близко в концептуальном плане соответствует канторовской интуиции множества).

Остановлюсь на различении «множество vs. класс» подроб­нее. Развитая математическая практика должна уметь работать с разными — по степени общности—абстрактности — типами объектов (проблема «части — целого»). В традиционной логике эту функцию осуществляла идущая от Платона и Аристотеля ро­довидовая иерархия (см. цит. выше работу ). Совре­менная математика, начиная с Г. Кантора, отказавшись от тради­ционной концептуальной схемы «вид — род», предложила альтернативные способы решения проблемы «часть — целое». Прежде всего на роль этой замены предлагается отношение «элемент – множество», отношение принадлежности (Î), однако, как пока­зал Г. Фреге (см., например, его статью «Логика в математике»), вместе с этим в теории множеств с необходимостью вводится и другой — более прямой «наследник» отношения «вид — род» — аналог отношения «часть — целое», а именно отношение включе­ния (Í), причем эти два в общем-то разных отношения не разли­чаются и трактуются как единое — в концептуальном плане — отношение [например, предложения «Сократ есть человек» (от­ношение принадлежности) и «Человек есть животное» (отноше­ние включения) могут анализироваться сходным образом]. Ана­лиз Фреге показал, что именно это неразличение и является одним из источников парадоксальности теоретико-множествен­ной концепции4. Дальнейшее осмысление этой «несогласован-

376

_________________________

4 Удивительно, что Фреге подпал под «гипноз» расселовского парадокса, так как все «средства» для его разрешения у него уже были; о нашем подходе к разрешению подобных парадоксов см. «О парадоксе Рассела»:

http://www. *****/library/ksl/paradox l. html 

377

ности» канторовской интуиции породило ряд альтернативных линий развития теоретико-множественной установки. Во-пер­вых, это по-своему последовательное решение Цермело—Френкеля, которые в рамках своей аксиоматики теории множеств фактически отказались от оперирования понятием «элемент», заменив его на понятие «подмножество». Во-вторых, это являющийся развитием различения Фреге подход Ст. Лесьневского, который четко различил выделенные Фреге отношения и развел их по разным структурным уровням математической теории: от­ношение принадлежности фигурирует у него в онтологии (пер­вый уровень теории), а отношение включения — в его мереологии (второй уровень теории, где, собственно, и формализуется отношение «часть — целое»). Своеобразное — третье — решение указанной проблемы было предложено Расселом, которое, как я уже говорил выше, является неявным базисом современной математики. В концептуальном отношении оно заключалось в за­мене канторовского понятия «множества» на понятие «класс». Вот как Рассел вводит понятие «класс»: «В настоящей главе [глава «Классы»] мы будем обсуждать слово the во множествен­ном числе: обитатели Лондона, сыновья богатых людей и т. п. Другими словами, мы будем иметь дело с классами (выделено мной. — С. К.)» ( Введение в математическую филосо­фию. М, 1996. С. 165). Заметим, что это принципиально отли­чается от канторовской интуиции «множества», которое (при всех флуктуациях его позиции) мыслится как нечто «целое» (ср. с платоновским «эйдосом»), т. е. как самостоятельная сущность следующего онтологического уровня, в то время как расселов­ский класс мыслится как «множественное the». Согласно терми­нологии Лесьневского, расселовский класс является распределен­ной множественностью, в которой исходные элементы не теряют своей индивидуальности, т. е. это не новое онтологическое обра­зование, не новое «целое», а как бы временное (гносеологичес­кое) объединение определенных — «хорошо различимых» (Кан­тор) — индивидуумов (в английском языке этому соответствуют грамматические конструкции с определенным артиклем the), с каждым из которых как таковым мы можем работать и дальше. Понятно, что таким образом Рассел достигает определенной «гомогенности» математического универсума и введение онтоло­гической родовидовой «неоднородности» излишне. Канторовское понимание «множества» задает принципиально другое — «слоистое» — строение математического универсума, что являет­ся альтернативой традиционной родовидовой иерархии (заме­тим, что именно поэтому представлять родовидовую иерархию,

378

используя отношение включения, не совсем корректно), так как «множества» выступают как сушности следующего (мета)уровня, причем они являются полноценными (цельными) «объектами», с которыми можно работать (хотя и по особым правилам) на­равне с индивидуальными объектами. Анализ работ Кантора по­казывает (см. предшествующие статьи автора), что его мысль бьется над экспликацией введенной им исходной интуиции: в частности, позже он выделяет «неконсистентные множествен­ности», которые собственно множествами, т. е. чем-то «целым», из-за своей неконсистентности не являются (в этой связи заме­тим, что понятие расселовского класса — в отличие от канторовского множества — является «всеядным»: в расселовские классы мы можем объединять все что угодно, сущности любого рода).

Судя по всему, полноценная экспликация канторовской ин­туиции множества, определенный шаг в направлении к которой уже сделан в комментируемой статье, — дело будущего. Здесь же рискну предложить одну аналогию, проясняющую, на мой взгляд, канторовскую интуицию. Представляется, что канторовские множества можно рассматривать как «слитки», в которых исходные составляющие элементы (т. е. те, из которых образован этот слиток) «исчезли» (например, из ста золотых монет сплави­ли 100 г золога, исходные монеты исчезли и превратились в «цельный» золотой слиток). В этом смысле образование мно­жеств — необратимая операция, так как исходные элементы исчезли, «растворились» в составе образованной целостности: ко­нечно, мы можем снова подучить из слитка какое-то количество («вторичных») частей-элементов, но это не будет тождественно исходным — «первичным» — элементам. «Мощность» множе­ства может быть соотнесена с «объемом» полученного слитка, а операция взятия подмножества — с последующим разделением слитка на «вторичные» элементы-подмножества. Вводимая же Кантором знаменитая диагональная процедура — попытка демонстрации того, что из слитка можно получить гораздо боль­шее количество «вторичных» элементов (например, 101-й «эле­мент»; закавыченность здесь указывает на «вторичный» характер этого элемента). В принципе, полученное превосхождение числа исходных элементов не удивительно, так как предшествующая история математики показывает, что именно обратные операции (вычитание, деление, взятие радикала) приводят к «выходу» за рамки существующих математических объектов и существенно­му расширению исходного математического универсума.

379

Аксиома о существовании множества всех подмножеств любо­го множества сама по себе не только не очевидна, но и не выпол­няется в некоторых уточненных модификациях теории множеств.

Например, множество алгоритмов для заданной универсаль­ной машины не конструктивно. Нет алгоритма, перечисляющего все алгоритмы. Но более широкое множество программ для той же машины вполне конструктивно. Это натуральный ряд чисел. Некоторым числам, интерпретированным как программы, соот­ветствуют процессы, не дающие остановки за конечное время ра­боты машины. Они не являются алгоритмами по определению. Поэтому их и не удается отсечь алгоритмически.

Можно рассмотреть полуопределенные конструктивные мно­жества, в которых возможна проверка на принадлежность каждого их элемента, но не обязательно возможна проверка на несоответ­ствие требованиям включения в это множество каждого внешнего объекта. Тогда множество алгоритмов попадает в этот класс. Каж­дый алгоритм (с фиксированными исходными данными) даст остановку за конечное время. Но поскольку их конструктивный пересчет невозможен, это подмножество множества программ не­счетно. Само же множество всех программ счетное. Таким обра­зом, на классе полуопределенных конструктивных множеств воз­можно несчетное подмножество у счетного множества. Это нару­шает другую аксиому классической теории множеств о том, что мощность подмножества не выше мощности объемлющего мно­жества.

В интуиционизме, где каждая теория оснащена наибольшим допустимым числом N, все множества конечны. Это гарантирует существование всех подмножеств у любого множества в интуици­онистской теории. Число элементов А любого множества в такой теории не выше N. Но тогда число подмножеств 2К и при К > log(N) имеем 2K>N. Это означает, что из существования каждого под­множества у некоторого множества не следует существование множества всех этих подмножеств. Аксиома теории множеств о существовании множества при существовании каждого его эле­мента также оказалась недостоверной при уточнении смысла тер­мина «множество».

В частности, в интуиционизме нет множества всех двоичных последовательностей. Длина каждой последовательности равна N, а число различных последовательностей K=2N. При всех N вы­полнено недопустимое для множества условие К > N.

Это показывает, что внешнее отрицание в теории множеств связано с изменением типа логики. Например, в теореме Г. Кантора

380

о диагональном процессе отрицание возможности нумерации кон­тинуума можно трактовать как его несчетность, а можно интер­претировать как несуществование самого континуума (в некото­рой логической системе).

Интересно, что этот факт получен в конструктивной и даже в конечной модели теории множеств. В данном случае внешнее от­рицание интерпретируется через неоднозначность выбора логичес­кой системы. Заметим, что при снятии требования «часть меньше целого» исчезает и парадокс Кантора о множестве всех множеств. Множество его подмножеств одновременно и больше по мощно­сти, и лежит внутри максимального по вложению множества. Это показывает эффективность внешнего отрицания при анализе па­радоксов теории. Снять парадокс можно пугем расширения ин­терпретаций теории.

По существу комментируемой статьи имею сказать следующее.

1. По моему мнению, метаматематика — в ее гильбертовской и постгильбертовской версиях — изначально глубоко наралогичная квазинаучная дисциплина, поскольку она пытается (кроме прочего) решить две априори неадекватные задачи: а) обосновать возможность доказательства непротиворечивости математической теории вообще и б) доказать непротиворечивость изначально про­тиворечивой канторовской теории множеств.

а) Доказательство непротиворечивости произвольно взятой математической теории невозможно, поскольку единственным источником самопротиворечивости в математике является не­достаточная степень определенности употребляемых терминов (использование в той или иной теории объектов, де-факто — за­частую латентным образом — обладающих свойствами А и не-А, например, потенциальностью и актуальностью, завершенностью и незавершенностью и т. д., одновременно и в том же отношении).

Следствием изначальной недостаточной определенности тер­минов любой математической теории является ситуация, когда в результате серии непротиворечивых дедуктивных рассуждений латентная самоконтрадикторность свойств того или иного объек­та (одновременность А и не-А) проявляется в явном виде как са­мопротиворечивость теории в целом. Устранить подобную противоречивость можно только путем апостериорного переопределе­ния самопротиворечивого объекта теории (элиминирования из множества его свойств либо А, либо не-А). Как правило, подоб­ное переопределение (уточнение смысла) объекта теории влечет и

381

необходимость полной реконструкции данной математической теории.

Иными словами, ни одна математическая теория (вопреки догматам метаматематики) не может быть изначально абсолютно непротиворечивой в силу неустранимости возможной латентной неопределенности (недостаточной логической точности, семан­тической амбивалентности) ее основных объектов. Тем не менее всякий раз, когда то или иное конкретное противоречие выявляет­ся, его можно достаточно легко устранить путем элиминирования одного из двух взаимно альтернативных свойств ранее недоста­точно точно определенного объекта, порождающих проявленное самопротиворечие.

Очевидно, что метаматематика, пытающаяся любой ценой до­казать непротиворечивость канторовской теории множеств невзи­рая на доказанность ее противоречивости (по крайней мере на уровне существования «парадоксов», не говоря уже об аргументации, при­водимой в моих работах) к подобного рода рассуждениям абсо­лютно нечувствительна, хотя приведенная выше критика является вполне «внутренней». Это говорит о превращении метаматемати­ки в своего рода самодостаточную квазирелигию со своими богом, раем, адом, догматикой, ритуалом и прочими необходимыми ат­рибутами и аксессуарами. В этом смысле любая критика метаматематики — «внешняя» или «внутренняя», не важно — никогда не будет признана корректной ведущими адептами этой паралогич­ной ментальной традиции.

б) Доказательство непротиворечивости канторовской теории множеств невозможно как в силу пункта а), так и в силу того, что к сегодняшнему дню выявлены конкретные самоконтрадикторные свойства базовых объектов этой теории, порождающие ее противоречия (потенциальность — актуальность, не-завершенность — завершенность, быть числом — быть множеством чисел и т. д.) (см. работу [18] из списка литературы, приложенного к статье ).

Таким образом, изначальная внутренняя паралогичность и жесткая аксиологическая детерминированность метаматематики не могут быть устранены внутренними же средствами, и любые попытки логически корректных рассуждений в рамках ее базовых интенций, принципов и понятий, по моему мнению, заранее об­речены на неудачу.

2. был совершенно прав, когда говорил, что моя работа [17] проблематизирует исчисление предикатов и метамате­матику в целом в семантическом аспекте. Возможно, что семантизация логики, осуществленная мною в [17], действительно име­ет «внешний» характер по отношению к метаматематике, хотя, по

382

моему мнению, это не так, поскольку эта научная дисциплина перенасыщена паралогичной семантикой и тезис о ее априорной внесемантичности не более чем «пропагандистское прикрытие». Это легко показать на примере теоремы Геделя о неполноте, о которой шла речь в комментируемой статье .

Теорема Геделя о неполноте паралогична, на мой взгляд, не потому, что в ней в каком-то виде используется самопротиворе­чивая канторовская «диагональная процедура» (это уже n-й уро­вень логической неадекватности упомянутой теоремы), а главным образом по причине изначальной внелогичности решаемой в ней проблемы и общего замысла доказательства.

В своих ранних работах («О разрешимости парадоксов...», «Об­щий кризис...» и др.) на примере парадокса «Лжец» и ему подоб­ных квазикорректных рассуждений я показывал, что метапредикаты, предикаты суждений (истинно—ложно, доказуемо—недоказуе­мо, выводимо—невыводимо, противоречиво-непротиворечиво и т. д.) в принципе неприменимы к самому суждению, содержащему эти оценки, т. е. не могут быть использованы самореферентным обра­зом, поскольку такое суждение просто перестает быть суждением.

В этом смысле использование в механизме любого доказа­тельства изначально паралогичного объекта-суждения, «утверж­дающего собственную невыводимость», — это уже «логический кри­минал». Если же учесть, что рассматриваемый объект у Геделя даже не суждение, а число, это многократно больший «логический криминал», поскольку числу совершенно произвольным образом приписываются свойства суждения (объекта совершенно иной природы), которыми первое в принципе обладать не может.

По моему мнению, невыразимая по степени своей паралогичности абсолютная семантическая всеядность метаматематики, процветающая под вывеской «полной свободы от всякой семанти­ки», — это ментальный феномен, который еще будет всесторонне изучаться будущими историками математики как пример массо­вой семантико-логической галлюцинации, аналогичной по своей природе «платью голого короля».

3. утверждает, что критика формальной логики и теории множеств Г. Кантора, представленная в моих работах [17; 18] «не затрагивает аргументацию настоящей работы». Это неверно в двух отношениях.

Во-первых, я утверждал в [18] (и остаюсь при этом мнении сейчас), что понятие «потенциальная бесконечность» само по себе изначально самопротиворечиво в том смысле, что оно пытается объединить в одном объекте-множестве и уже существующие, и еще не-существующие элементарные объекты (числа, точки, под­множества и т. д.) — в противоречие известному (и совершенно

383

справедливому) положению Аристотеля о невозможности истин­ностной оценки суждений о будущем (или, что тождественно, о настоящем и будущем одновременно).

Поэтому пытаться основывать не-множества на этот раз на абстракции «потенциальной бесконечности» еще более контрпро­дуктивно (противоречиво), чем на понятии «актуальной бесконеч­ности», как ранее.

Во-вторых, суть моей критики (в [18]) позиции ­ва— относительно их идеи не-множеств (совокуп­ностей) сводилась к двум основным тезисам: (I) объект М (не­множество, или совокупность), обладающий свойствами А и не-А одновременно и в том же отношении, изначально не может быть (в противоречие тому, на чем настаивают и ) легитимным объектом теории множеств Кантора (в любой из ее классических и современных разновидностей), поскольку это противоречит принципу когерентности (самонепротиворечия), являющемуся ключевым основанием этой теории; (2) даже если (условно) принять правомерность (легитимность) существования самопротиворечивого объекта М (не-множества) в теории мно­жеств Кантора, то отсутствие предположения, что некоторый объект S является множеством, еще не делает S автоматически не-множеством (объектом М, совокупностью); это утверждение нуж­но доказывать, т. е. опровергать утверждение, что S — множество, чего в работах [9—11] сделано не было.

Я считаю, что приведенные критические доводы применимы к понятию не-множества в общем случае — независимо от того, в какой предметной области оно используется (в том числе в сфере метаматематики).

В рассуждениях пункта 2 комментируемой статьи различение множеств и «не-множеств» не предполагает смыслового проти­вопоставления внешнего и внутреннего отрицаний, рассматривавшегося в приведенных в списке литературы комментируемой статьи работах [9—11]. Однако хотя в указанных работах подоб­ное противопоставление использовалось в общем виде в качестве одного из аргументов, в действительности, как будет показано ниже, для сохранения сформулированных в них результатов дос­таточно рассмотреть возможность различения отрицаний в кон­кретных случаях. Это позволяет снять возражения, касающиеся работ [9—11], упомянутые в последнем параграфе статьи.

384

Одно из критических замечаний, содержащихся в работе [18], на которые ссылается , выглядит следующим образом: «По моему мнению, утверждение, что "в современной теоретико-множественной математике актуальная и потенциаль­ная бесконечности не противопоставляются друг другу" [цитата из работы , "Канторовская диаго­нальная процедура и непротиворечивость теории множеств"] — весьма странное заблуждение или осознанная попытка искаже­ния фактов» [18, с. 50]. Тем самым авторам упомянутой работы вменяется в вину оперирование некоторой неопределенной беско­нечностью. В действительности, и это весьма существенно для концепции указанных работ, подобная неопределенная позиция присуща большинству работающих математиков, стремящихся обходить острые углы, связанные с нерешенными проблемами философского обоснования математики. Например, с позиции образного мышления сама бесконечность может воспринимать­ся как неопределенность (см.: Бесконечность и неопределенность // Бесконечность в математике. М., 1997). За пределами собственно теории множеств (в алгебре, теории чисел, геометрии, математическом анализе) выбор абстракции беско­нечности (потенциальной либо актуальной) не столь существен для получения конкретных математических результатов. Различие оттенков можно обнаружить, например, при сравнении формули­ровок, использующих конструкции «...для каждого...» и «...для всех...». Так, для теоремы о существовании нуля непрерывной функции, значения которой на концах отрезка имеют разные знаки, не важно, под каким углом зрения рассматривается сово­купность всех подобных функций: в теореме рассматривается (произвольная) фиксированная функция, относительно которой только и доказывается утверждение. Утверждение можно уточнить, применяя формализм теории множеств. В этом случае речь пойдет об актуально бесконечном множестве всех непре­рывных на отрезке знакопеременных функций. Однако подоб­ная теорема имеется и в конструктивном математическом ана­лизе, который не использует актуальную бесконечность.

Обращение к бесконечным множествам, в частности, приме­нение доказательства от противного при анализе их свойств (как это происходит в [18]), предполагает непротиворечивость самого понятия актуальной бесконечности. Известно, что «наивная» канторовская теория множеств при обращении к понятию бесконечности сталкивается с парадоксами. Непротиворечивость актуальной бесконечности в аксиоматической теории множеств связана с центральным вопросом — непротиворечивостью той или иной системы аксиом, выбранной для формализации данной теории.

385

Формализация сама по себе гарантирует только выполнение «сла­бого» варианта закона тождества: неизменный знак фиксирует устойчивость отражаемого им «смысла» («смысл» при этом зафиксирован выбранной системой аксиом). Утверждение об отсутствии противоречий, о «самотождественности» объектов теории требует доказательства, в противном случае оно является лишь постула­том, с которым можно и не соглашаться. Рассуждение же работ [9—11] проходит и для бесконечности неопределенного характера (именно с такой неопределенной бесконечностью имеют дело ал­гебра, теория чисел, геометрия, математический анализ), поскольку критика канторовской диагональной процедуры в указанных ра­ботах не предполагает непротиворечивости понятия актуальной бесконечности.