Математика и опыт (стр. 3 )

Во-первых, Кант не предсказывал названные новые интеграль­ные факты развития математики. Их пришлось учитывать post factum. С этим были согласны все исследователи послекантовской эпохи. Причем схема такого учета варьировалась. Один из вариан­тов может быть резюмирован в тезисе «лучшая зашита — нападе­ние». Некоторые неокантианцы интерпретировали открытие неев­клидовых геометрий как блестящее подтверждение взглядов Канта: так, Л. Нельсон утверждал, что поскольку астрономически невоз­можно обнаружить, какая из геометрий верна, то все они должны укладываться в некие более общие посылки неэмпирического про­исхождения [10, с. 18, 25]. Но аргументацию Л. Нельсона ослабляет то обстоятельство, что у Канта нигде нет прямого утверждения, что наряду с евклидовой геометрией должны исследоваться и другие геометрии, не дается никакого намека на то, что геометры должны строить новые системы, варьируя постулаты и аксиомы (хотя Кант и был в курсе некоторых попыток доказательств пятого постулата). Другой вариант ограничивал априоризм в пользу эмпиризма. На­пример, Г. Гельмгольц полагал, что пространство — интуитивное понятие, а аксиомы следуют из нашего опыта. Третий вариант сводил дело к соображениям удобства. Обращаясь к словам А. Пуанкаре, мы избираем более замечательные для нас объекты, с которыми чаше имеем дело в нашем опыте [9, с. 81]. Таким образом, «блестя­щее подтверждение», модернизация тезисов априоризма, конвен-циальные допущения в совокупности составляют, по терминоло­гии Лакатоса, оправдание фактов, а не их предсказание.

Во-вторых, пришлось изменить и уточнить некоторые вспомо­гательные положения математического априоризма, которые Кант связывал с центральным комплексом утверждений о математичес­ких суждениях как априорном синтетическом созерцании в форме пространства и времени. В особенности я бы отметил, что была подвергнута сомнению непреложность априорной интуиции как основания доказательства. Так, Ф. Клейн пришел к выводу, что чем дальше мы продвигаемся в создании сложных математических теорий, тем более интуиция нам изменяет. Очевидность обманчи­ва. Л. Больцман эмоционально писал по этому поводу: «Я вполне согласен с тайным советником Клейном в отрицательном отношении к учению Канта. Я совершенно не понимаю, как можно говорить о доказательствах из наглядного представления. Когда я читаю Кан­та, я совершенно не понимаю, как разумный человек может писать

28

это. Наглядное представление ровно ничего не доказывает. Нагляд­ное представление есть лишь повторение того, что мы восприни­маем чувственным образом. Я не могу совершенно понять того, что человек приносит с собою наглядное представление простран­ства, которое находится над опытом или до опыта; я не знаю, как это следует себе представить» [10, с. 124]. Конечно, Больцман огрубил ситуацию и сделал из нее сугубо эмпирический вывод. В действительности речь может идти только о не наглядности про­цедур доказательства, т. е. об отсутствии ясного отбрасывания лож­ных гипотез внелогическим путем (через наличие априорного со­зерцания). Схожее соображение об ущербности априорной интер­претации процесса математического доказательства высказывалось также Ф. Китчером в контексте его критики математического априоризма. Китчер указывал, что для длинных доказательств не­возможно посредством многократного повторения рассуждений и освежения их в памяти охватить эти доказательства как единый акт. Подходя к концу, мы забываем начало. «Таким образом, когда мы следуем длинным доказательствам, мы теряем гарантии апри­орности их начальных шагов» [7, р. 45]. Я согласен с Китчером за исключением упомянутого мною ранее его утверждения, что эти гарантии состоят всего лишь в «сохраняющих априорность прави­лах» (р. 38): ближе к Канту было бы сказать, что, когда мы следуем длинным доказательствам, мы не можем совместить априорную ин­туицию отдельных шагов доказательств (промежуточных суждений) с интуицией суждения (теоремы) в целом. Эту ситуацию подметил Пуанкаре, когда в главе «Математическое творчество» книги «Наука и метод» указал, что многие люди не способны принять вывод в целом при понимании его отдельных шагов. Для понимания мате­матического доказательства, считал Пуанкаре, необходимо обла­дать интуицией порядка расположения элементов доказательства. «Понятно, — писал Пуанкаре. — что это чувство, этот род матема­тической интуиции, благодаря которой мы отгадываем скрытые гармонии и соотношения, не может быть принадлежностью всех людей. Одни не обладают ни этим тонким, трудно оцениваемым чувством, ни силой памяти и внимания выше среднего уровня, и тогда они оказываются совершенно неспособными понять сколь­ко-нибудь сложные математические теории. Другие, обладая этим чувством лишь в слабой степени, одарены в то же время редкой памятью и большой способностью внимания. Они запомнят наи­зусть частности, одну за другой; они смогут понять математическую теорию и даже иной раз сумеют ее применить, но они не в состоя­нии творить. Наконец, третьи, обладая в более или менее высокой степени той специальной интуицией, о которой я только что гово­рил, не только смогут понять математику, не обладая особенной

29

памятью, но они смогут оказаться творцами, и их поиски новых открытий будут более или менее успешны, смотря по степени раз­вития у них этой интуиции» [9, с. 311—312]. Видно, сколь далека эта интуиция от всеобщей и единой синтетической априорной интуиции истинности математических суждений! Я считаю, что можно найти общую почву соображений Клейна, Больцмана, Китчера, Пу­анкаре, в чем-то ослабив каждое из них: принять математические утверждения и доказать истинность математических утверждений, принять и обосновать — разные вещи. Совокупность математичес­ких суждений («цепочка силлогизмов в доказательстве») обладает качественно иными свойствами по сравнению с каждым отдель­ном суждением. Поэтому логический аппарат в математике пря­мым усмотрением истинности отдельных суждений незаменим. Отсюда необходимо ограничение математического априоризма в части отождествления процедуры доказательства с конструирова­нием как ступенчато осуществляемым априорным синтетическим созерцанием. Априоризм должен потесниться и уступить часть своего «царства» логической процедуре. Однако очевидность, собственно априорное созерцание, остается с суждениями, за границы априо­ризма выводится только процедура их соединения, сведения в сис­тему, доказательного обоснования.

В-третьих, вместо априорного созерцания в форме евклидова пространства возникло допущение о наличии единого фундамента, абсолютного пространства, спецификациями которого являются пространства всех геометрий. Это усовершенствование математи­ческого априоризма, предложенное Л. Нельсоном и следующее из отмеченной ранее стратегии «лучшая защита — нападение», полу­чило внутреннее оправдание. Именно синтетические априорные суждения допускают противоположные как осмысленные, хотя у Канта не говорится, что они истинны наряду с евклидовыми. Неопределенности у Канта позволяли принять такую трактовку, а совместимость различных геометрических систем (так, гиперболи­ческая планиметрия выполняется на псевдосфере, расположенной в евклидовом трехмерном пространстве; «Эрлангенская программа» ф. Клейна устанавливает единые основания различных геометрий через классификацию групп движений; другой вариант взаимосвязи геометрий был предложен в концепции Б. Римана, в которой «ос­новным понятием является не фундаментальная группа, а фунда­ментальная (произвольная) квадратичная форма, являющаяся обоб­щением понятия расстояния между двумя бесконечно близкими точками» [11]. Указанная концепция подводила математическое основание под подобную точку зрения9. В то же время сохранялась и более консервативная позиция, согласно которой равноправие различных геометрий есть только в сфере математики (как матема-

зо

тических теорий) и в теоретической физике (как теорий, имеющих приложения в физике), но в фундаменте находится именно евк­лидова геометрия как схема нашего созерцания (В. Майнеке). Все остальные геометрии доступны нам постольку, поскольку они огра­ниченно моделируются с помошью евклидовых образов.

11. Что получилось у Гуссерля и неокантианцев, в чем заклю­чалась модификация математического априоризма?

Г. Гуссерль испытал влияние марбургской школы и Б. Больцано. Основные идеи Гуссерля о математике содержатся в его работе «Начало геометрии» [12]. Гуссерль полагал, что сознание необхо­димо очистить от эмпирического содержания, поскольку мы кон­ституируем оглушения в мышлении. А так как акты сознания есть оценочные акты, то при очищении сознания от эмпирии в итоге остается последнее неразложимое единство сознания, его интен-циональность как направленность на предмет. Содержание интенциональности, т. е. на что направлено наше сознание, Гуссерль называет ноэмой, а форму интенциональности, т. е. как сознание направляется на предмет, он обозначает как когито («я думаю, что»). Когито обеспечивает интенциональность как таковую, а ноэма обус­ловливает само содержание сознания, включая возможные вопро­сы об объекте [13]. Интенциональность задает порядок ощущений (то, что Гуссерль называет феноменологической редукцией), в том числе предполагает отбрасывание одних, возможных, но не реали­зовавшихся ощущений, и концентрацию на других ощущениях. Одна из трех разновидностей феноменологической редукции, эйдейтическая редукция (варьирование данных воображения и отбор обра­зов-иллюстраций), лежит в основе математики, логики, этики и эстетики [14]. Как выражается Гуссерль, феноменологическая ре­дукция выводит на разные «онтологические регионы» интенцио­нальности, и в том числе на «онтологический регион» математики (кстати, близкая конструкция была дана в статье Душкина [15]). Можно сказать, что это и будет аналог кантовского ареала математи­ки как области, содержащей суждения, представляющие априорное синтетическое созерцание. Состав математического онтологического региона весьма разнообразен, например, в нем может присутство­вать мысленное осуществление некоторых действий по воображае­мому скручиванию, склеиванию и т. п. некоторых поверхностей. Р. Трагессер показывает, что при подобных действиях нам обяза­тельно приходится достраивать наше представление объектов, с ко­торыми мы действуем. По-настоящему «у нас есть иллюзия уста­новления синтетических истин априори» [13, р. 97]. Таким обра­зом, у Гуссерля происходит отказ от предзаданности априорных форм созерцания. Ноэмы эволюционируют, что обеспечивает рас­ширение математики.

31

Попытки усовершенствовать априоризм в его части, предлага­ющей обоснование математического знания, совершались также представителями неокантианских школ и напраштений. Взгляды сторонников «физиологического» (Ф. Ланге, Г. Гельмгольц) и «психологического» (Л. Нельсон) направлений, внесших значительный вклад в эволюцию математического априоризма, были представлены ранее (см. п. 10). Кроме того, здесь следует упомянуть две школы последователей Канта — Марбургскую и Баденскую.

В Марбургской школе — Г. Коген, П. Наторп, Э. Кассирер [16] — гипотеза занимает место априорных форм, и с ее помощью произ­водится упорядочивание созериания.

Представители Баденской школы (В. Виндельбанд, Э. Ласк, Г. Риккерт, последний в наиболее явной форме [17], — предлагают другой вариант: безличное сознание конструирует математические суждения, которые априорны с позиций отдельного индивидуума.

Видно, что реконструировать общую позицию неокантиан­цев, обрисовать единое состояние исследовательской программы математического априоризма второй половины XIX — первого де­сятилетия XX в. крайне тяжело. Внутренние разночтения между ними и даже прямо противоположные взгляды на некоторые воп­росы (как, например, Г. Гельмгольца, Л. Нельсона и В. Майнеке о равноправии различных геометрий с точки зрения наличия их априорного созерцания: Гельмгольц — полностью равноправны, Нельсон — абсолютная геометрия в основании созерцания, а все остальные геометрии производны, Майнеке — евклидова геомет­рия в основании созерцания) не позволяют построить приемлемую для всех них во всех частях схему. Тем не менее относительно дальнейшего развития математического априоризма можно выде­лить ряд черт, фиксирующих его регресс. Конечно, ядро програм­мы, утверждения об априорном синтетическом характере матема­тики, о том, что в основе этого знания лежит априорное созерца­ние, осталось. Однако вспомогательные утверждения и способы их защиты претерпели изменение.

Ослабление программы математического априоризма заключалось, на мой взгляд, в следующем: 

— математические утверждения схватываются актом синтети­ческого созерцания, представляющим собой последовательность процедур (конструирование) в соответствии с формальной интуи­цией пространства и времени. Но доказательство этих утвержде­ний все равно нужно, и логический вывод неустраним. Иными словами, мы «видим», что данное утверждение истинно, что это так на самом деле, мы понимаем смысл утверждения, но такого видения мало. Необходимо также системное представление, обна­ружение связи данного утверждения с другими утверждениями, т. е. доказательство. Здесь — простор дедукции. Из доказательства в его «идеальном» исполнении (как последовательности силлогизмов без пробелов и прямых отсылок к интуитивной самоочевидности) ап­риорное созерцание изгоняется;

—  представления о пространстве и, в меньшей степени, време­ни как формах априорного созерцания, данные Кантом, теряют определенность. Например, неясно, что понимается под простран­ством и насколько можно сохранить его евклидово представление;

—  принимается положение, что математика может расширять­ся и выходить за пределы наглядности, очевидности и единствен­ности теорий;

—  априорное созерцание распространяется главным образом на «чистую» математику, но не на приложения (прикладную мате­матику).

12. Одновременно со становлением неокантианства и после его расцвета появились новые факты, требующие дальнейшего изме­нения программы математического априоризма. Эти интегральные факты были «вписаны» в установившуюся в начале XX в. картину формально-аксиоматического построения математики. В частно­сти, в ее рамках был создан новый образ геометрии. Такой взгляд на геометрию отчетливо выразил . Он писал: «Мож­но сказать, что геометрия как математика — это геометрия, рас­сматриваемая с точки зрения ее логической структуры» [18]. Ко­нечно, Гильберт не придерживался столь радикальной позиции, считая себя последователем Канта. В своей метаматематике, как известно, он вводил финитные ограничения. Кроме того, разделяя объекты математики на формальные и идеальные, Гильберт соот­носил идеальные объекты с априорным синтетическим созерцани­ем10. Тем не менее установившийся благодаря работам Гильберта и Геттингенской школы общепринятый взгляд на математику суще­ственно сместил акценты. Математика начинает рассматриваться как совокупность формальных структур, основания которых при­нимаются конвенциальньш путем [19]. Ограничения формализма, установленные теоремами Геделя, сходными результатами Тарского и Куайна и др., не поколебали указанного общего убеждения, развитого далее (как бы в противовес ограничениям) коллективом Н. Бурбаки. Интересно, что сам Гильберт спокойно отнесся к ре­зультатам Геделя, считая, что его предсташтения о математике тео­ремами Геделя поколеблены не были, поскольку его программа не сводится к конвенциально-формальным компонентам. Отмечу так­же, что предпринятая Ершовым и Самохваловым попытка «спасе­ния» программы Гильберта реабилитирует именно взгляд Гильберта, а не распространенный образ формализма, сложившийся в сознании математического сообщества [20].

33

13. Совсем новый, постнеокантианский математический априоризм, я полагаю, демонстрирует дальнейшее отступление в качестве программы обоснования и исследования современной ма­тематики.

предлагает вариант, предел отступления априо­ризма в котором положен стабильностью праксеологического кон­струирования. Граница отмечена двумя соединенными межевыми знаками: стабильность однажды доказанного и принятие суждений не на формально-логических основаниях. Вот, по-моему, централь­ный тезис данной конструкции: «Подтверждение (проверка дока­зательства) математической теоремы представляет собой всегда ко­нечный процесс, сводящийся к установлению возможности или невозможности некоторых комбинаций в конечном множестве эле­ментов, т. е. к элементарным праксеологическим констатациям, которые уже не могут быть подвергнуты ревизии со стороны логики или опыта. Доказательства математических теорем являются столь же законченными, сколь законченной может быть наша практическая деятельность по упорядочению конечного числа элементов» [21]. Здесь уже затрагивается происхождение априорных форм в прак­тической деятельности — вещь, не обсуждавшаяся в неокантиан­стве (я бы сказал, что ближе всего к этой позиции Э. Гуссерль, полагающий из других оснований пластичность ноэм).

Вторая ветвь новейшего математического априоризма, далеко ушедшего от своего «прародителя», хорошо исследована . Он считает, что возможно развивать натуралистическую трактовку кантианства, при которой концепция синтетического априори сопоставляется с данными современного естествознания и, более того, синтезируется с некоторыми «философски нагру­женными» разделами естествознания, в первую очередь с математическим естествознанием и теорией искусственного интеллекта [22]. стремится показать, что возникновение и ис­тория эволюционизма дают материал для рассмотрения гипотезы об эволюционной нестабильности самих априорных форм [23]. Как утверждает , «кантовские априорные формы следует, с одной стороны, понимать в гораздо более широком, чем у Канта, смысле, подводя под кантовскую схему все без исключения теории математического естествознания, а с другой стороны, в гораздо более, слабом смысле, связывая их развитие с опытом, хотя и не сводя к нему, т. е. не отказываясь полностью от их априорности (однако смысл априорности придется уточнить)» [23, с. 3]. Основные ав­торы, работы которых в этой связи привлекает , — К. Лоренц [24] и Ж. Пиаже [25], а если брать шире, то направле­ния эволюционной эпистемологии и генетической эпистемологии (во втором случае иногда предпочитают употреблять термин «ге-

34

нетическая психология», или «эволюционная психология»). Добав­лю, что подходы к признанию изменения априорных форм были, как мне кажется, намечены Гуссерлем (через эволюцию ноэм), од­нако для неокантианцев убеждение Канта в стабильности априор­ных форм еще сохранялось непоколебимым.

Третий вариант — совмещение структурализма и формального подхода к математике как совокупности формальных структур, с одной стороны, и трансцендентализма — с другой. Данный вари­ант развивается [2, с. 17]. Суть этого подхода заклю­чается в том, что предполагается априорное сингетическое созер­цание не суждений, а математических структур в целом. Г. Гутнер пишет: «Математический объект существует постольку, поскольку сконструирован. Однако математика не есть простое конструиро­вание объектов. Она представляет собой решение задач, а потому каждый объект появляется в ней в рамках более общей структуры, продуцируемой познавательными способностями для того, чтобы получить такое решение. Значит, объект существует, поскольку встроен в такую структуру в виде ее элемента. Сама структура пред­стает как конструкция способности воображения, и о ней может быть поставлен вопрос — в рамках какой еще более общей структу­ры она существует» [2, с. 41]. Интересно, что и у Гутнера, и у Кричевца большое значение придается анализу рефлектирующей спо­собности суждения («Третья критика» Канта). Для Гутнера, как мне представляется, идея наличия рефлектирующей способности суж­дения дает возможность избежать предварительной заданности са­мых общих структур и обосновать тем самым эволюцию математи­ки в направлении возникновения новых и неожиданных теорий.

14. Казалось бы, математический априоризм, усовершенство­вав свою аргументацию и ослабив ряд исходных допущений, смог адаптироваться к современной математике. Однако математика не стоит на месте, и возможны, я бы даже сказал, назревают, новые интегральные математические факты, которые могут потребовать дальнейшего ослабления математического априоризма.

Эти факты связаны в первую очередь с изменившимся харак­тером приложений математики. Возникло много качественных при­ложений, часто наблюдается аллегорическое использование языка математики. Согласно классификации , только в одном из трех направлений математизации (он называет его «эмпирико-математическим») реализуется традиционное построение математических моделей, исходя из эмпирических данных. Пост­роение таких моделей, как писал , «всегда требует определенных априорно задаваемых предпосылок» [26]. В двух других, новых направлениях («параметрическом» и «метафоро-математическом», или даже «мифо-математическом», как пред­почитает называть его Налимов) математические модели либо

35

выступают в роли метафор, «существенно облегчающих осмысле­ние наблюдаемых явлений» [26, с. 106], либо «в роли мифа, кото­рому исследователь дает новое раскрытие так же, как когда-то это делал мыслитель древности с мифами своего времени... Так, пред­метная область обогащается идущими от математики новыми идея­ми, порождающими новое видение Мира» [26, с. 108]. Здесь уже не просматривается априорное синтетическое созерцание, а посему в новых видах приложений сохранение объясняющей (возмож­ность применения математики к изучению реальности) функции априоризма проблематично.

Во вторую очередь под сомнение ставятся некоторые фунда­ментальные для целых классов теорий утверждения математики. Я имею в виду тот спор, который сейчас происходит относительно доказательств Кантора в теории множеств. Если, как полагают не­которые исследователи11, рассуждения в доказательстве с так на­зываемой «диагональной процедурой» некорректны по причине допускаемого нарушения определения актуально бесконечного (завершенного) множества и введения не-множеств [27], то боль­шое количество результатов во многих областях математики оказы­вается под вопросом.

В-третьих, но наверняка не в последних, возник и стремитель­но разрастается массив «условных» суждений (условно истинных теорем). Так, если какое-либо утверждение относительно простых конечных групп получено с помощью машинного счета, то из него вытекают следствия, чаще всего доказываемые обычным путем, без применения компьютера. Однако истинность всей этой цепочки результатов (суждений) условна, поскольку в обычной процедуре доказательства проверить истинность исходного машинно верифи­цированного суждения невозможно, а наша интуиция ничего не говорит нам о том, верно это утверждение или нет. Кстати, похо­жая ситуация складывается с априорным синтетическим созерца­нием суждения «для раскраски любой карты на трехмерной сфере достаточно четырех красок»: у нас нет интуиции, так ли это. Воз­можно, есть случай, когда потребуется пять красок. Доказательство не проясняет эту ситуацию, поскольку критическая фаза доказа­тельства требует применения компьютера, и его «ответ» подменяет собой усмотрение истинности.

15. Осталось сформулировать вывод. Мне представляется, что защитникам математического априоризма, настаивающим на его соотнесении с практикой математики, следовало бы задуматься не о том, как повергнуть другие концепции природы математики, а о том, как отступить дальше без значительных потерь, как еще более трансформировать математический априоризм, пожертвовав вто­ростепенными положениями с целью защиты его центральных те­зисов.

36

Примечания

1  Как неоднократно отмечалось, априоризм как философская концепция обла­дает логической устойчивостью (т. е. его утверждениям может быть придана ясная логическая форма и с несогласованностью некоторых утверждений, рав­но как и с неясностями, можно успешно справляться). Более того, априоризм не устаревает: последователи априоризма успешно модифицировали исходную концепцию Канта и превратили ее в такие конструкции, которые полностью соответствуют философии своего времени, остаются глубокими и привлека­тельными для читателей, вдохновленных идеями Канта. Однако я хотел бы подчеркнуть, что в данной статье речь идет не о философии синтетического априори в целом и не о ее истории, не о математическом априоризме как о части априоризма, а о математическом априоризме как специализированном «прикладном» (а точнее, прилагаемом к обоснованию реальной математики) фрагменте данной философии. Этот фрагмент, я полагаю, обладает ценностью для математиков и философов (за исключением небольшого числа специалис­тов по философии математики, очарованных внутренними ландшафтами ма­тематического априоризма и технической сложностью, равно как и славной историей его проблем) главным образом в соотнесении с объектом своего изу­чения — реальной математикой.

2 Как справедливо отметил , здесь и далее по тексту лучше было бы употреблять понятие «синтезируемые» вместо общепринятого «синтетические». Подчеркивание процессуальной стороны синтеза хорошо совместимо с другим основополагающим аспектом концепции Канта — конструированием, Тезисы об априорном синтезируемом созерцании и о конструировании совместно об­разуют, я считаю, ядро математического априоризма как программы исследо­вания и обоснования математики. Более подробно математический априо­ризм как исследовательская программа описан в пункте 6 настоящей статьи.

3  В действительности этот тезис у Канта отнюдь не был немотивированным. Чтобы не умножать объяснения и не повторять других авторов, приведу отры­вок из только что вышедшей статьи , в которой подробно рассматривается позиция Канта о том. что пространство не есть понятие, вкупе с примечательной реакцией Павла Флоренского на взгляды Канта: «В одном из примечаний к «Столпу» (1914) о. Павел пишет: «Огромной заслугою Канта было указание, что могут быть объекты, ничем не различающиеся между собою в понятии, для рассудка, но, тем не менее, различимые — так что разница пости­гается между ними лишь при их наглядном сравнении». Примером таких объек­тов могут служить симметричные относительно центра сферы и равные между собой сферические треугольники. Флоренский не разделяет ни первоначаль­ного вывода, который Кант делал на основании этого факта, что «пространст­во — не понятие, а реальность, независимая от рассудка», ни позднейшего — что «пространство не понятие, а форма созерцания» [28].

4  Отдельным вопросом является то, имеются ли наперед заданные правила (схе­мы) такого конструирования или нет. Этот вопрос применительно к подведе­нию эмпирических явлений под одно правило или суждение, как указывает , решался Кантом по-разному. В «Критике чистого разума» Кант полагает, что правило или суждение как бы предзаданно и неизменно. В «Кри­тике способности суждения» правило формируется через рефлектирующую способность суждения, оно гибко [23]. Если принимать позднюю позицию Канта, то, как мне кажется, мы вплотную подойдем к взгляду Д. Гильберта, что не существует универсального правила решения всех задач,

5  Значимость нахождения предиката в связи с субъектом суждения особо отмеча­ет М. Леппакоски [29].

37

6 Собственно говоря, именно в таком ключе рассматривал математический ап­риоризм Ф. Китчер, хотя у него в явном виде разделение математического априоризма как программы обоснования математики и как самостоятельной философской концепции еще не производилось.

7  О драматизме этого открытия свидетельствует, в частности, то обстоятельство, что творцы гиперболической геометрии непременно хотели выяснить ее отно­шение к действительности. Например, Я. Больяи писал: «...Обе геометрии оди­наково доступны воображению, и навсегда останется неразрешимым, какая из них является действительной». [30]. Иная позиция была у . Он считал, что «как бы то ни было, новая Геометрия, основание которой уже здесь положено, если и не существует в природе, тем не менее может существо­вать в нашем воображении и, оставаясь без употребления для измерений на самом деле, открывает новое, обширное поле для взаимных применений Гео­метрии и Аналитики» [31].

8 Защитные аргументы неокантианцев собраны в книге [32].

9 Похожая ситуация, кстати, складывалась и с расширением понятия числа (вве­дение кватернионов и других числовых систем). Насколько я знаю, “числовая” сторона эволюции математики рассматривалась в контексте влияния на априо­ризм Э. Гуссерлем в работах “О понятии числа” (1887) и «Философия арифме­тики» (1891). Гуссерль ясно осознал проблему эпистемологического статуса «воображаемых чисел», под которыми он понимал отрицательные, иррацио­нальные, комплексные числа, трансфиниты и актуально бесконечные. Основ­ной вопрос, которым интересовался Гуссерль, заключался в том, как возможны интуиция и озарение в случае замены логического мышления механическим оперированием с символами [33]. предложил гипотезу о «фи­нальной вариативности» эволюции числовых систем, при которой каждый этап вариативности заканчивается объединенным обшим пониманием. Именно с этих позиций рассмотрел, как введение отрицательных чисел — промежуточного состояния вариативности нововременных числовых систем, «снятого» в финальном акте введения комплексных чисел, было расценено Кантом. Однако современная эволюция числовых (и алгебраических) систем в плане их соотнесения с математическим априоризмом еще ждет своих исследо­вателей.

l0 Более подробно о том, в каких частях и насколько Гильберт при формирова­нии концепции формализма придерживался взглядов Канта, можно прочесть в работе [34].

11 См.: Общий кризис теоретике-множественной математики и пути его преодоления. М., 1997; Ошибка Георга Кантора // Вопросы фи­лософии. 2000, № 2. В работах [35; 36] рассуждения Кантора при построении диагональной процедуры оцениваются как противоречивые, хотя авторы не со­гласны друг с другом относительно соотношения своих позиций и сравнения своего вклада в обнаружение недостатков доказательства Кантора. Хотелось бы отметить, что критика диагональной процедуры Кантора как противоречивого рассуждения, допускающего сначала наличие актуально бесконечного множества. а затем оперирующего с ним как с потенциально бесконечным, присутствовала уже у в его статье [37], что обнаружил [38; 39].

Список литературы

1.  Платон. Соч.: В 4 т. М., 1990—1994. 

2.  Онтология математического дискурса. М., 1999. С. 21—23,

3.  Tait W. A. Reflections on the concept of a priori truth and its corruption by Karit // Proof and Knowledge in Mathematics / M. Detlefsen. N. Y., 1992. P. 40—41.

38

4. Родин А.В. Теорема // Вопросы философии. 1998. № 9.

5.  Leibniz G. W. The monadology and other philosophical writings / R. Lotta, London, 1948. P. 33-35.

6.  Russell B. A critical exposition of the philosophy of Leibniz. London, 1937.

7.  Kitcher Ph. The nature of mathematical knowledge. N. Y.; Oxford, 1984. P. 38, 39.

8.  Критика чистого разума. Ч. 2. Трансцендентальная диалектика. Гл. 2. О дедукции чистых рассудочных понятий // Соч. М., 1964. Т. 3. С. 185.

9.  О науке. М., 1983. С. 40.

10.  Новые идеи в математике Сб. 8. СПб., 1914.

11. К истории «Эрлангснской программы» Ф. Клейна // Историко-математические исследования. Вып. XVIII. М., 1973. С. 222—223. "12. Начало геометрии. М., 1996.

13.  Tragesser R. Husserl and realism in logic and mathematics. Cambridge,  1984. P. 80-82.

14.  Winance E. Intention and nature of Husserl's logic // Philosophia Mathematica. 1965. Vol. 2. N 2, P. 70-71.

15.  О возможности «нейтральной» позиции в философии математи­ки и о месте бесконечности в математике // Бесконечность в математике. Философские и исторические аспекты. М., 1997. С. 232.

16.  Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции. СПб.. 1912.

17.  Введение в трансцендентальную философию. Предмет познания. Киев, 1904.

18.  «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса // Основания геометрии. М.; Л., 1948. С. 10.

19.  Curry H. B. Outline of a formalist philosophy of mathematics. Amsterdam, 1951.

20.  , О новом подходе к методологии математики // Закономерности развития современной математики. Методологические ас­пекты. М.. 1987. С. 85-106.

21.  Развитие представлений о надежности математического дока­зательства. М., 1986. С. 66.

22.  Проблема условий возможного опыта в математике, психоло­гии и «искусственном интеллекте» (философский аспект): Автореф. дис. ... д-ра, филос. наук. М., 1999.

23.  Кричевец А.Н. Априорность и адаптивность. М., 1998.

24.  Lorenz К. Kant's Doctrine of the apriori in the Light of Contemporary Biology // Learning, Development, Culture. Essays on Evolutionary Epistemology / Ed. H. C. Plotkin. Chichester, 1982.

25.  Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969.

26.  Является ли знание научным в той степени, в которой оно мате­матизировано? Биологический аспект проблемы // Математизация современ­ной науки: предпосылки, проблемы, перспективы. М., 1986.

27.  Бычков СМ., Канторовская диагональная процедура и непротиво­речивость теории множеств // Историко-математические исследования. Вторая серия. ВыпМ., 2000. С. 297.

28.  Философия геометрии Павла Флоренского в контексте его учения о природе человеческого познания // Там же. С. 103.

29.  Leppakoaki M. The transcendental how. Kant's transcendental deduction of objective cognition. Almqvist Wiksell International, Universitet Stockholms, 1993. P. 54.

30.  Больяи Я. Аппендикс... М.; Л., 1950. С. 196.

31.  О началах геометрии // Об основаниях геометрии / Под ред. . М., 1956. С. 48.

39

32.  Перминов  В. Я.  Философские  и  методологические  проблемы  математики. М„ 1986. С. 60-62,

33.  Hill С. О. Review of Edmund Husserl, Early writings in the philosophy of logic and mathematics. Modern Logic. 2000. Vol. 8. N 1—2, P. 144—145.

34.  Смирнова ЕЛ Философия, логика и семантика // Философия и логика. М., 1974.

35.  Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. М., 1997.

36.  Ошибка Георга Кантора // Вопросы философии. 2000. № 2.

37.  Существует ли актуальная бесконечность // Под знаменем марк­сизма. 1924. Кв. 1.

38.  Ученый и «век-волкодав» // Вопросы философии. 2001. № 11 С. 125-135.

39.  А, Очерки социальной истории логики в России. Ульяновск. 2002 Гл. 3.

КОММЕНТАРИИ

Идея статьи Алексея Георгиевича мне показалась весьма инте­ресной и заслуживающей пристального внимания. Действитель­но, в определенном смысле эволюцию априоризма в математике в послекантовский период можно интерпретировать как регресс (если использовать термины, заимствованные из концепции И. Лакатоса, то регресс программы, связанной с поиском понимания приро­ды математического знания).