Математика и опыт (стр. 18 )

ОТВЕТ АВТОРА

В первую очередь хотелось бы поблагодарить за интересный опыт прочтения. В самом деле, было бы неверно при­водить априоризм Динглера в «столкновение» с Кантом (в статье речь идет все-таки о сравнении). Историческим объектом критики Динглера является, скорее, неокантианство (в частности, работа Кассирера «Понятие субстанции и понятие функции»), которое сводит общезначимость научных высказываний к процедуре введе­ния неких образованных заранее «мыслительных матриц» в «сырой материал» опыта. Для неокантианства это является основанием для построения множества теоретических геометрий, иррелевантных по отношению к практическому опыту экспериментатора. В книге «Эксперимент» Динглер пишет: «Ясно, что "евклидова геометрия" вообще не является чем-то вроде логического шаблона наподобие других (неевклидовых) геометрий. Евклидова геометрия есть ско­рее нечто совсем особенное, единственное в своем роде, отличное от всех прочих так называемых "геометрий", ибо она есть логичес­кое выражение нашей воли к "однозначности", желания получить воспроизводимые элементарные формы» (известно, что на этом основании Динглер полемизировал и с теорией относительности). Поэтому динглеровскую попытку реконструкции науки я склонен понимать как своеобразное возвращение к Канту.

В то же время нельзя не согласиться с тем, что «целевой ас­пект» динглеровской интерпретации априори чужд Канту (несмот­ря на присутствующий у обоих мыслителей момент активности субъекта). Поясняя понятие «априори» как «цели для действий», нужно еше раз обратить внимание на «дефиниции элементарных форм» (плоскость, прямая и др.), воспроизводимые в любом месте и в любое время (т. е. общезначимые) и лежащие в основании конст­руирования измерительных приборов1. Согласно Динглеру, такие дефиниции логически предшествуют изготовлению или восприя­тию соответствующих объектов (поскольку являются требования­ми или, если угодно, идеальными образцами), т. е. носят собствен­но «априорный» характер. Переходя от дефиниций к построению системы науки, Динглер отказывается сводить ее к процедуре по­лучения вечных, аподиктических, нагруженных необходимостью «законов природы». Напротив, задача «подлинной», соответствую­щей экспериментальной науки состоит в том, чтобы «получить в руки» реальные отношения, конструируя их с помощью воспроизводимых, находящихся в распоряжении у субъекта элементов.

Безусловно, интересным было бы рассмотрение сходств и раз­личий концепций Динглера и Гуссерля (ученика и учителя). И здесь следовало бы уже обсуждать не только подходы к априори, но и проекты построения «чистой науки», которым у обоих мыслителей была отведена ключевая роль.

______________________________

1 Пример дефиниции: « плоскость – это поверхность, которая обладает тем свойством, что ни на каком ее участке нельзя отличить друг от друга ее стороны».

232

233

Раздел II

СИТУАТИВНЫЙ АНАЛИЗ

МАТЕМАТИКА

И РИМСКОЕ ЗЕМЛЕМЕРИЕ

Вопреки этимологии геометрия с момента своего возникно­вения развивалась как теоретическая наука, противопоставляя себя практическому землемерию. В отличие от землемерного искусст­ва геометрия при формировании списка истинных суждений (те­орем) сознательно отказывается от использования эмпирических представлений: ее основой являются аксиомы и постулаты (ис­тинность которых внеэмпирична) и логический (дедуктивный) вывод. Верификация геометрического предложения сводится, та­ким образом, к логическому выводу; фальсификация — к выводу его логического отрицания. Вопрос об «истинности» землемер­ной процедуры решается иначе: технологическая процедура счи­тается «правильной» или «оправданной», если результат ее при­менения способствует достижению определенной практической цели. Уверенность в этом приобретается посредством многократ­ного повторения одного и того же алгоритма действий.

В теоретической геометрии есть, однако, разделы, в которых аксиоматическая форма изложения не является необходимой. Это — арифметика (о чем в свое время писала ) и теория площадей многоугольников. В обеих теориях речь идет об алго­ритмах сведения одних задач к другим, более элементарным. Если мы умеем вычислять площадь квадрата, то в предположении о соизмеримости линейных размеров фигур (с практической точки зрения, это условие всегда выполнено) площадь произвольного прямоугольника можно вычислить, разбив его на совокупность равных квадратов (со стороной, равной общей мере сторон пря­моугольника). Зная способ нахождения площади прямоугольни­ка, можно (посредством разрезов и наложений) найти площадь произвольного треугольника. И, наконец, зная способ нахожде­ния площади треугольника, можно найти площадь произвольного многоугольника, разрезав его на треугольники.

234

Поскольку теория площадей допускает подобное квазипред­метное изложение (с использованием разрезаний и наложений), то возникает соблазн «форсировать» сходство, существующее между методами этой теории и приемами подсчета площадей полей в землемерии. В искушение подобного рода нередко впадали и до сих пор впадают историки математики, видяшие в землемерных процедурах прообразы конструкций плоской геометрии. Однако между двумя дисциплинами существует принципиальное разли­чие: теория площадей геометрических фигур может быть развита лишь при выполнении ряда специальных условий, которые в прак­тике землемерия не являются существенными.

Во-первых, теория площадей плоских многоугольников стро­ится в предположении, что фигуры лежат на плоскости, а не на криволинейной поверхности. Во-вторых, в геометрии многоугольни­ки считаются принципиально отличными от фигур с криволинейными границами. В-третьих, для геометрических фигур выполнен принцип аддитивности, согласно которому при любом разбиении фигуры на части их суммарная площадь будет одной и той же,

Судя по источникам, в древнем землемерии ни одно из указан­ных условий — отсутствие кривизны поверхности, прямолиней­ность границ и аддитивность площадей — не являлось принципи­альным. Без каких-либо спецификаций одни и те же алгоритмы применялись к полям, расположенным на плоской и на криволи­нейной поверхности (например, на склонах холмов). В ряде случа­ев один и тот же алгоритм использовался для подсчета площадей полей независимо от того, являлись их границы криволинейными или прямолинейными. Например, в Римском землемерном корпусе для вычисления площади поля, имеющего форму полумесяца, ис­пользуется тот же самый алгоритм, который в других случаях при­меняется для полей, имеющих прямолинейные границы. И, на­конец, в землемерных источниках мы встречаемся с нарушением принципа аддитивности: когда поле сложной конфигурации раз­бивается на части различными способами или в задании линей­ных размеров этих частей есть погрешности, сумма их площадей не является постоянной величиной.

В своем обзоре древневавилонской математики Йорап Фриберг приводит следующий любопытный пример: «На земельных планах, относящихся ко времени правления третьей династии Ур (XXII—XX вв. до н. э.), встречается нетривиальный метод коррек­тировки техники подсчета площади для полей нерегулярной фор­мы. Заданное поле делится на центральную часть, состоящую из участков, по форме близких к прямоугольникам, и пограничную часть, состоящую из "треугольников". К каждому из участков цен­тральной части применяется так называемая "формула ложной

235

площади" S =а+с/2´ b+ d /2, где а, b, с, d— величины сторон. Значение площади центральной части поля вычисляется как сумма (ложных) плошадей составляющих ее участков. Затем план поля поворачивают на 180° и по отношению к нему проводят аналогич­ное вычисление; из-за того, что стороны участков центральной части заданы неточно, получается результат, слегка отличный от предыдущего. Окончательно значение площади центрапьной части определяется как среднее арифметическое полученных величин» [1, с. 13]. Отсутствие аддитивности для площади воспринималось древними землемерами как практическая неизбежность, негатив­ные последствия которой, однако, можно было уменьшить путем усреднения полученных результатов.

Между решением задачи на нахождение площади фигуры в планиметрии и площади поля в землемерии есть еще одно принци­пиальное различие. В отличие от планиметрии, где поставленная цель (нахождение площади) и средства ее достижения (разбиение фигуры на треугольники) лежат в одной и той же сфере теорети­ческого дискурса, конечная цель (или совокупность целей) земле-измерения выходит за рамки собственно землемерных мероприя­тий. Смысл межевания участков, определения их площади и т. п. состоит в том, чтобы полученный результат мог быть использован для решения текущих проблем аграрного сообщества. «Правильность» решения той или иной технической задачи определяется (далеко не всегда осознанно) путем сопоставления полученного результата с набором внешних по отношению к самому землеме­рию целей, в том числе и взаимнопротиворечивых, которые к тому же изменялись во времени в зависимости от изменения условий жизни сообщества.

Приведем пример, иллюстрирующий возможный конфликт целей, возникающих при определении площади земельного вла­дения. В Древнем Риме в рамках переписи населения, или ценза (census), проводилось регулярное измерение площадей земельных владений. Поскольку одной из функций ценза было упорядоче­ние налогообложения, то в перепись вносилась подлежащая на­логообложению собственность, в том числе размер земельного владения. Другой не менее значимой функцией ценза была клас­сификация граждан по различным экономическим и политичес­ким признакам для зачисления в одну из триб, через которые осуществлялись их политические права. Если взглянуть на величину земельного владения с точки зрения функций ценза, то не­трудно заметить скрытый конфликт интересов. Занижая размер земельного владения, римский гражданин (который сам сообщал цензорам сведения о налогооблагаемой собственности) тем самым мог снизить уровень налога. Завышая его размер, тот же гражданин

236

мог повысить свой социальный статус или избежать ущемления в правах. Поскольку измерение участка должен был производить сам землевладелец (с привлечением землемеров), возникает непростой вопрос о том, какие методы землеустройства он мог счи­тать подходящими в данный конкретный момент, а какие — нет. Ведь в отличие от геометрической фигуры земельный участок слож­ной конфигурации можно измерять по-разному.

В литературе, посвященной исследованию технических аспек­тов землемерия, вопрос о связях техники межевания и нахожде­ния площадей с социально-экономической жизнью аграрного со­общества практически не изучался. В работе [2] была предложена реконструкция происхождения землемерных «формул ложной площади», исходя из понимания площади как количественной оценки затрат труда на обработку земельного участка — именно этот параметр является первичным по отношению ко всем про­чим количественным параметрам экономической деятельности. В указанной статье, однако, не затрагивался вопрос о роли упомя­нутых формул в условиях функционирования более развитых форм аграрной экономики — аренды, земельного налога, купли-прода­жи земли и т. д.

На эту тему коротко писали дважды. В конце XIX в. М. Кантор выдвшгул гипотезу о том, что в Египте во времена Птолемеев «фор­мулы ложной площади», применение которых приводит к величи­не, большей истинного значения площади, намеренно использова­лись для повышения налоговых сборов в пользу государства. Неза­висимо от Кантора аналогичное предположение (на основании тех же источников) выдвинул в 30-е годы прошлого столетия француз­ский специалист по античному кадастру А. Делеаж. Принятие ги­потезы Кантора—Делеажа встречается, однако, с определенной трудностью. В древности одни и те же землемерные формулы ис­пользовались для подсчета площадей полей, располагавшихся и на равнинах, и на криволинейных поверхностях (холмы и низины). Кроме того, те же формулы использовались для определения площадей участков с криволинейными границами. В случае криволинейности (поверхности или границ) «формулы ложной пло­щади», вообще говоря, не обязательно дают результат, больший истинного значения площади [3, с. 336].

Вопрос о роли землемерных технологий (включая их матема­тические аспекты) в жизни аграрного сообщества является крайне сложным. Дело в том, что непосредственно по источникам практи­чески невозможно проследить, как та или иная техника межевания или подсчета плошадей «вписывалась» в конкретно-историчес­кий способ бытия той или иной аграрной цивилизации. Обычно в источниках экономического характера приводится информация

237

о размерах полей (количественный аспект), но ничего не сказано о том, как эта информация использовалась. В юридических ис­точниках, напротив, могут подробно обсуждаться легальные аспекты землепользования (юридические категории полей, пограничные споры или споры о плошади), но при этом отсутствуют сведения о том, какая техника использовалась для получения ин­формации количественного характера. В настоящей статье, осно­вываясь на материалах римского землемерия, мы коротко обсудим некоторые из упомянутых трудностей.

Основным источником римского землемерия является руко­писный свод Corpus agrimensorum roтапоrит, составленный из трак­татов, написанных профессиональными землемерами времен Империи (I—V вв. н. э.) [4; 5]. Рукописи Римского землемерного корпуса восходят к единому архетипу, давшему начало трем ос­новным изводам. У истоков первого извода находится Codex Arcerianus, составленный в окрестностях Равенны на рубеже V—VI вв. По своему составу тексты этой рукописи отличаются значитель­ным разнообразием. Чисто технические фрагменты, относящиеся к проведению границ, и описания различных юридических спо­ров соседствуют в рукописи с математическими задачниками и даже краткими размышлениями метафизического характера, на­веянными идеями стоической философии.

Второй извод представлен ватиканской и вольфенбюттельской рукописями. Обе рукописи составлены в [X в., одна — в районе Аахена (поблизости от резиденции Карла Великого), другая — в монастыре Корби («геометрической и землемерной столице раннего Средневековья»). Эти рукописи содержат новые элементы — отрывки из кодексов Феодосия (313 г.) и Юстиниана (529 г.), «Начал» Евклида в переводе Боэция (ок. 500 г.), «Этимологии» Исидора Севильского (глава «О полях» и примыкающие к ней), а также оригинальный землемерно-математический текст «Об измерениях в югерах».

Третий, «смешанный», извод — наиболее многочисленный. Он представлен серией рукописей, образовавшихся в результате взаимного влияния текстовой традиции первых двух изводов. Наи­более ранний манускрипт этой серии (написан ок. 800 г.), про­исходит, вероятно, непосредственно из дворцовой библиотеки Карла Великого. «Смешанный» извод интересен тем, что в своей земле­мерной части он стал источником для наиболее важной геометри­ческой компиляции раннего Средневековья, известной под назва­нием «Первая геометрия» псевдо-Боэция (начало IX в.). Тексты этого извода легли также в основу так называемой «косвенной традиции», особенностью которой является активное взаимодей-

238

ствие геометрических фрагментов «Начал» и практических приемов римских землемеров.

Таким образом, между временем расцвета римского землеме­рия в начале императорской эпохи (I—II вв.) и оформлением зем­лемерных текстов в единый корпус (конец V — начало IX вв.) прошло как минимум несколько столетий, в течение которых про­исходило постоянное расширение корпуса за счет текстов, отсут­ствовавших в начальной редакции. Математические фрагменты, входящие в состав Римского землемерного корпуса, можно разде­лить на две группы. Первая состоит из текстов чисто математи­ческого содержания, в которых механизм использования матема­тических знаний на практике явно не прописан. Вторая группa представлена текстами технического (землемерного) содержания, в которых в той или иной степени используется математика. Ка­кие из этих фрагментов были в составе начальной редакции кор­пуса, а какие вошли в него позднее и, значит, не могли использо­ваться римскими землемерами?

Начнем с первой группы текстов [3].

1. «Первый фрагмент» Варрона (передан в Codex Arcerianus и рукописях смешанного извода). Этот текст, приписываемый рим­скому энциклопедисту, филологу и антиквару Варрону (116—27 гг. до н. э.), содержит следующие фрагменты:

— метрологический список, в котором за основу взят римский фут;

—  задачу на нахождение длины окружности по ее диаметру и обратную к ней (используется архимедова аппроксимация для числа π);

—  задачи на нахождение площади поля в форме трапеции (явная контаминация землемерной задачи геометрической терми­нологией);

—  задачи на вычисление плошади треугольника по обычной формуле плоской геометрии;

— серию задач на вычисление параметров прямоугольного поля (например, дана площадь поля и известно, что одна сторона вчет­веро больше другой, найти обе стороны) и, наконец,

—  формулы для вычисления фигурных чисел, используемые для оценки площадей полей в форме правильных многоугольников.

В целом этот фрагмент представляет собой достаточно типич­ный пример контаминации двух математических традиций — те­оретической и практической, характерный для сочинений элли­нистического времени. В нем понятия и методы классической греческой геометрии (и даже арифметики) «переведены» на язык практического землемерия. Противоположный феномен наблюда­ется в сочинениях псевдо-Герона, в которых землемерные задачи излагаются на языке математики. Подобные тексты, призванные

239

продемонстрировать эрудицию автора в различных областях на­уки и практики, равно как и его способность к (поверхностному) синтезу излагаемых сведений, для реальной практики землемерия значения иметь не могли.

2.  «Второй фрагмент» Варрона (передан в рукописях смешан­ного извода) посвящен решению «школьных» задач с многоуголь­ными числами — нахождение площади поля в форме многоуголь­ника по ею стороне (и обратная к ней), вплоть до десятиугольника. Кроме того, в нем дана точная формула для нахождения площади правильного восьмиугольника и геометрическая формулировка формулы «квадрата суммы двух величин». Подобно предыдуще­му, этот фрагмент вряд ли мог найти применение в практическом землемерии.

3.  Трактат Бальба «Изложение и обоснование всяческих фи­гур». Этот текст написан римским землемером Бальбом во време­на Траяна, т. е. около 100 г. н. э.

Его математическая часть представлена серией определений, построенных по аналогии с определениями Евклида, но относя­щихся не к линиям и фигурам, а к границам и формам полей (например, вводятся три рода линий — прямые, круговые и кри­вые). Примеров на вычисление площадей нет. Несмотря на то, что текст в целом практически ориентирован, его математическая часть производит впечатление фрагмента из ученого трактата. Слова Бальба о том, что он решился изложить геометрические сведения только после проведенных им «великих опытов землемерия» — post magnarum rerum experimenta — следует понимать как риторичес­кую фигуру. По своему содержанию и стилистике (вместо обычно­го в землемерных трактатах индикатива или конъюнктива первого лица множественного числа настоящего или будущего времени используются книжные, безличные глагольные формы) геометри­ческая часть фрагмента Бальба никак не подходит под понятие практического руководства по применению математических мето­дов в землемерии. Для него характерен тот же энциклопедизм, что и для текстов Варрона (например, в нем рассматриваются поля, гра­ницы которых состоят из дуг нескольких окружностей) [6, с. 386].

4. Анонимный математический трактат «Книга об измерении площади» (Liber podismi). Этот текст также носит теоретический характер. Все задачи в нем сформулированы по отношению к гео­метрическим фигурам, а не полям. В нем рассматриваются: зада­чи на нахождение линейных величин и площадей прямоугольных треугольников и треугольников общего вида, находятся соотно­шения между их сторонами и площадью по формуле Герона, при­водятся примеры пифагорейских троек.

Никаких намеков на возможности исполъзования этих задач в землемерной практике в самом тексте нет. 

240

5.  «Книга Эпафродита и Витрувия Руфа» — самый объемный математический трактат римского землемерного корпуса. ­нов считал, что Эпафродит — греческий геометр (но не землемер), а Витрувий -— знаменитый римский архитектор, автор трактата «Об архитектуре» (I в. до н. э.). Подобно предыдущим текстам, этот трактат принадлежит к книжной, «школьной» традиции, со­вершенно не ориентированной на решение практических проблем. Содержащиеся в нем задачи имеют поразительное сходство с за­дачами из трактатов Герона (I в.), особенно «Геометрики», Здесь встречаются вычисления площадей плоских фигур, задачи с много­угольными числами, пифагорейскими тройками, задачи на нахож­дение сумм квадратных и кубических чисел. Даже в тех случаях, когда речь формально идет о решении землемерных проблем, фактически решается геометрическая задача. К числу интересных примеров контаминации двух математических традиций следует отнести вычисления площадей полей, расположенных на холмах: несмотря на землемерную терминологию, речь, по существу, идет о нахождении площади поверхности усеченного конуса.

6.  «Задача о нахождении ширины реки». Эта задача, решаемая весьма простым и практичным способом, действительно могла иметь практическое значение в римском землемерии, поскольку найденное расстояние в масштабе переносилось на план поля,

7.  «Фрагмент о шестиугольнике и восьмиугольнике» носит теоретический характер. Трудно представить ситуацию, в которой аграрным землемерам пришлось бы решать проблему построения правильного шести - и восьмиугольника.

8.  Отрывки из «Начал» Евклида, разумеется, не имели никако­го отношения к практике землемерия. Их позднейшее включение в Римский землемерный корпус обусловлено формальными сообра­жениями: в одной из рукописей имя Евклида фигурирует в спис­ке римских землемеров, на миниатюре другой рукописи Евклид изображен председательствующим в кругу римских землемеров (миниатюра обладает поразительным композиционным сходством с миниатюрой из греческой медицинской рукописи Диоскурида (ок. 512 г.), где в кругу знаменитых греческих медиков и ботаников председательствует легендарный кентавр Хирон, учитель Асклепия).

9. Трактат «Об измерениях в югерах» (De jugeribus metiendis) яв­ляется, пожалуй, единственным образцом математического текста, ориентированного на запросы практического землемерия. В нем приведены примеры вычислений площадей для полей различной формы:

— прямоугольника, круга (вычисляется площадь квадрата со стороной, равной четверти длины окружности);

241

— равностороннего треугольника (по формуле S = a ´ a/2 , где

а — сторона треугольника);

— произвольного четырехугольника (ager inaequalis) по стандартной «формуле ложной площади»;

— полумесяца, круга и полукруга в соответствии с архимедо­вым приближением для числа p.

Вместе с тем и в этом трактате есть две «школьные» задачи, не имеющие практического значения. В первой вычисляется площадь поля в форме сегмента круга. При этом используется нетривиальное приближение S =а+b ´ b + (a/2) (a/2) (здесь: а —

   2  14

величина хорды, a b — высота сегмента); тот же прием встреча­ется у Герона, который объясняет введение корректирующего члена необходимостью получения формулы, которая была бы верна для полукруга. Вторая задача (текст испорчен) состоит в нахождении площади поля в форме правильного шестиугольника: шестиугольник разбивается на шесть правильных треугольников, площадь которых вычисляется по одной из приближенных фор­мул, также известных из работ Герона.

10. Математический фрагмент из трактата Колумеллы «О сель­ском хозяйстве» (I в.) вошел в состав Римского землемерного кор­пуса лишь в сер. IX в. По содержанию этот трактат сходен с «De jugeribus metiendis», т. е. носит практический характер; однако и в него вошли две «школьные» задачи на вычисление площадей: в одной находится площадь поля в форме кругового сегмента, в другой — площадь поля в форме правильного шестиугольника.

Приведенный обзор показывает, что подавляющее большин­ство математических текстов Римского землемерного корпуса носят абстрактно-«книжный» характер. Вероятно, эти тексты не входи­ли в начальный состав корпуса, а появились в нем позднее, во времена заката Империи (на волне поверхностного энциклопе­дизма) или даже раннего Средневековья в эпоху Каролингского возрождения. Остается лишь весьма скромная часть математичес­ких текстов (прежде всего «De jugeribus metiendis»), практическое значение которых имеет смысл обсудить. Для этого необходимо хотя бы кратко познакомиться с опытом римского землемерия.

Во времена ранней Империи в эпоху расцвета аграрного зем­лемерия римляне различали три типа полей: ager divisus et adsignatus (поле, которое поделено на квадраты, внутри которых определены участки землепользования); ager per extremitatem mensura comprehensus (поле, измеряемое по границам); ager arcifmius (поле неизмеряе­мое). Нас интересуют первые две категории.

242

Формирование аграрного ландшафта на поле первой катего­рии выглядит так. Сначала на местности, которой предстоит стать полем, выделяется (символический) центр, через который с по­мощью специального землемерного инструмента (groma) проводятся под прямым углом две главные дороги — cardo maximus и decumanus maximus. Затем параллельно главным дорогам через рав­ные расстояния (ок. 700 м) проводятся прямые линии второстепенных дорог, в результате чего будущее поле оказывается поделенным на квадраты (centuria), образующие так называемую «про­межуточную структуру». Внутри этих квадратов затем размечались участки землепользования. Возникновение «шахматного поряд­ка» центурий некоторые исследователи возводят ко времени ос­нования Рима. До начала межевания поверхность представляла собой «чистую доску», по которой римский авгур, а затем сменив­ший его государственный землемер с помощью разнообразных геодезических приемов наносили абсолютно прямые линии границ. Такие поля, покрытые регулярной геометрической сеткой, могли простираться на десятки километров.

На поле данной категории римляне вводили оригинальную «систему координат», напоминающую декартовы координаты на плоскости. Каждая центурия кодировалась двумя числами, играв­шими роль координат по «оси абсцисс» и «оси ординат». Кроме того, указывался один из четырех квадрантов, в котором находи­лась данная центурия. По двум координатам и квадранту можно было легко отыскать на плане участок, лежащий в границах опре­деленной центурии (рис. 1, 2).

Кроме аграрного ландшафта в соответствии с указанной схе­мой формировались также такие «микрокосмосы» римской куль­туры, как военный лагерь и городское поселение. И это не слу­чайно: поле, военный лагерь и городское поселение являлись различными репликами одной и той же «небесной» структуры (об интерпретации пространственных структур римской мифологии в рамках неокантианской философии см. работы Э. Кассирера).

Представление о ней дает римская практика гаданий по поле­там птиц (ауспиции) и внутренностям жертвенных животных (гаруспиции). С помощью взаимно-перпендикулярных осей — decumanus maximus и cardo maximus — римские авгуры мысленно разбивали небо на четыре секгора. Затем каждый из секторов де­лился еще на четыре части, Наблюдая за полетом птиц на фоне сетки из секторов, авгуры осуществляли предсказания. Сходная система разбиений использовалась и при гадании на внутренностях животных (чаще всего печени): по отношению к некоторой стандартной сетке изучалось расположение естественных складок рассматриваемого органа (рис. 3, 4).

243

Рис. 1. Иллюстрации из рукописей Римского эемлемерного корпуса

  Болота

  Река

  Рельеф

Actus:120 pedes  heredium:2jugera  saltus:

jugerum: 2 actus  centuria: 100 heredia.  25centuriae

Рис. 2. Рекострукция струхтуры римского аграрного ландшафта

Рис. 3. Схематическое изображение бронзовой модели печени из Пъяченцы, использовавшейся для обучения искусству гаруспиций

Рис. 4. Разбиение неба (по Плинию) и схема печени

Механизм трансляции сетки границ «с небес на землю» — римский землемер Гигин прямо говорит о «небесном происхож­дении» (origo celestis) землемерного искусства [5, с. 131] — может быть реконструирован следующим образом. Всякая местность на земной поверхности находится под покровительством населяющих ее природных сил или божеств (genii loci), устанавливающих на ней свой «порядок». Вмешательство человека (будь то проведе­ние границ или распашка) является нарушением этого порядка, влекушим противодействие божеств, которое выражается в засу­хе, неурожаях, болезнях растений и животных и т. п.

246

Вторжение человека в мир, населенный «гениями места», могло быть осуществлено только при условии «очищения места» (lustratio pagi) — религиозного обряда, смысл которого состоял в «снятии» с поля изначально установленного на нем природного порядка, связанного с особенностями местности (холмы, реки, одиноко стоящие деревья и т. п.). Полю при этом «навязывается» новая пространственная структура, в роли которой выступает сетка «не­бесных» границ, проводимых по воле Юпитера. Об этом, в част­ности, говорит содержащийся в Римском землемерном корпусе фраг­мент псевдоэтрусского пророчества Vegoia, [4, с. 350]. Подлинный смысл акта делимитации состоял, таким образом, в передаче бу­дущего поля под «юрисдикцию» Юпитера. Лишь после того, как на поверхности с соблюдением сложного ритуала были проведены главные дороги cardo maximus и decumanus maximus и размечены границы центурий, можно было приступать к делению «очищен­ного» места на участки землепользования. Римский землемер Фронтин отмечал, что cardo на поле ведет свое происхождение от точки, вокруг которой происходит вращение небесной сферы — cardo caeli [5, с. 12]. Другой землемер, Аггений Урбик, упоминает о том, что границы ориентируются по сторонам света [5, с. 22].

Важное обстоятельство состояло в том, что у границ центу­рий и границ участков землепользования был разный юридичес­кий статус. Первые носили сакральный характер и, находясь под защитой государства (по сути, Юпитера), не подлежали измене­нию; вторые, будучи объектом частного права, были подвижны. Не будет преувеличением сказать, что изначально римлянин вос­принимал центурию как «храм», со всеми свойствами, которыми характеризуется храмовое пространство. На границах центурий ставились алтари, там же находились гробницы предков, а меже­вые камни почитались как боги — в Риме существовал общегосу­дарственный праздник «Межевых камней» — Terminalia.

Для нашего исследования важно то, что в процедуре делими­тации центурий никакой серьезной математики не применялось, поскольку границы самих центурий были прямыми линиями, пе­ресекающимися под прямым углом. Обычно для их проведения использовали визирование и промер прямых углов. Для этого при­меняли весьма простой инструмент — грому, который представ­лял собой штатив с крестовиной, с концов которой свешивались четыре свинцовых грузила (по ним и визировали). Если при этом возникали трудности, связанные с особенностями рельефа, то они носили не математический, а чисто технический характер. О межевании же участков землепользования внутри центурий нам прак­тически ничего не известно. В архаичную эпоху, когда поле счи­талось собственностью общины (gens), границы участков внутри центурий были условны: из земельной собственности, принадле-

247

жавшей одной семье, строго фиксировались только исторические «два югера» (выделенные по преданию самим Ромулом), которые pars pro toto представляли весь земельный надел данной семьи. Реальный размер такого надела в архаичную эпоху колебался от 7—10 югер для пахотных земель до 20 югер для пастбищ. По­скольку архаичное римское поле располагалось исключительно на равнине (болота, холмы, ручьи, роши и прочие нерегулярности оставались во владении «гениев места»), то, скорее всего границы участков землепользования, так же как и границы центурий, были прямолинейны и ортогональны. В этих условиях математика прак­тически не нужна, поскольку и проведение границ, и подсчет площадей (участки землепользования — прямоугольники, и точ­ность подсчета не имеет особого значения) превращаются в тех­ническую процедуру.

Несколько более сложной является ситуация с делимитиро­ванным полем времен Империи. Секуляризация аграрной жизни позволила распространить ортогональную сетку на всю территорию колонии, включая холмы, долины, реки и т. д. В связи с вклю­чением в состав поля различных «нерегулярностей» на границах поля и даже внутри центурий стали появляться пограничные уча­стки нерегулярной формы, так называемые subcessivae («отрезки»). Можно предположить (точных данных у нас нет), что для вычисле­ния площадей этих «отрезков» и применялись «формулы ложной площади». «Отрезки» могли иметь подвижные границы: типичный пример — subcessivae, находящиеся в пойме реки, изменявшей свое русло (ситуация характерна, в частности, для долины Роны в Нарбоннской Галлии). Маргинальный характер «отрезков» говорит о том, что они, вероятно, служили в качестве дополнений к основным владениям, имевшим более или менее регулярную геометрическую форму, близкую к прямоугольнику. Добавим, что указанные земли имели сложный, часто менявшийся юридический статус: вначале они вовсе не были в составе земельных владений, потом давались в пользование производившим межевание землемерам, затем Вес-пасиан предпринял попытку отобрать их в пользу государства и т. д. К сожалению, остается невыясненным, как указанные обстоятель­ства могли влиять на технику и точность подсчета площадей с помощью «формул ложной площади».

Обратимся теперь к единственному фрагменту Римского зем­лемерного корпуса, который можно отнести к первой группе тек­стов, — в нем речь идет об использовании землемерами некото­рых весьма простых математических методов. Это небольшой и крайне плохо сохранившийся текст Фронтина о делимитации по­лей второй юридической категории — ager per extremitatem mensura comprehensus (поле, измеряемое по границам).

248

Начало этого фрагмента (в реконструкции ) звучит так: «Основанием землемерного искусства является опыт [специалиста], производящего измерения (Principium artis mensoriae in agentis positum est experimento). Ибо истинное местоположение и форма [поля] (veritas loci), равно как и правдивое значение [его] плошали (veritas modi), не могут быть выражены без использова­ния измеримых линий (sine rationalibus lineis). Действительно, из­вилистая и кривая внешняя граница поля определяется линией, длина которой из-за наличия на ней неравных углов (даже если их число остается постоянным) может уменьшаться и увеличивать­ся. Ибо если углы и линии между ними не будут фиксированы, то невозможно будет восстановить точное значение расстояний, и, значит, официально декларируемое значение площади будет лож­ным [7, с. 351]».