Математика и опыт (стр. 22 )

Думается, что научно значимая сторона ицзиновской симво­лики, с ее подчас причудливыми образами и зачастую малопонят­ными числами, во многом сводится к способности символов «И» успешно играть роль общих понятий в китайской науке.

Глубокую и детальную разработку понимания символа как обобщения особого рода мы находим у : «Символ... есть смысловая общность, которая является принципом получения бесконечною ряда относящихся к ней единичностей» [17, с. 198]. «Уже всякое рациональное число в арифметике только при гру­бом употреблении его в качестве орудия счета не обнаруживает своего символического функционирования. Теоретически и науч­но всякое число даже просто натурального ряда предполагает це­лую бесконечность дробей, отделяющих его от соседнего числа. Всякие иррациональные числа вроде √2, √3, √5 —тоже есть сим­волы в нашем смысле слова, поскольку всякое иррациональное число есть только известный метод порождения бесчисленного количества десятичных знаков... по образцу математики и все другие науки, чем более совершенны, тем больше пользуются символическими категориями, потому что такая общность, которая не яв-

292

ляется законом для подчиненных ей единичностей, очень слабая общность, только предварительная или только предположительная» [17, с. 187—188]. Поэтому не нужно смущаться тем обстоятель­ством, что в китайской методологии многообразный символизм явно преобладает над эксплицитной понятийностью в привыч­ном для нас со времен Аристотеля родовидовом оформлении.

Здесь уместно вспомнить принципиальную альтернативу иду­щему от Стагирита обобщению через абстракцию, принятому в тра­диционной формальной логике: «В логике Аристотеля переход от единичного к общему совершается путем выявления у данного объекта определенных абстрактных свойств и отбрасывания ос­тальных, так что два объекта подпадают под одно и то же понятие или принадлежат одному и тому же роду, оба они обладают выде­ленными свойствами. Такого рода описательная классификация, например, описание растений в ботанике и животных в зоологии, ориентирована на реально существующие объекты. Можно сказать, что Аристотель мыслит в терминах субстанции и акциденции, в то время как идея функции господствует при формировании матема­тических понятий. Возьмем, например, понятие эллипса. Любой эллипс на плоскости ху есть множество Е точек (х, у), заданное квадратным уравнением

ах2+ 2bху+ су2= 1,

коэффициенты a, b и с из которого удовлетворяют условиям

а > 0, с>0, ас – b2 > 0.

Множество Е зависит от коэффициентов a, b, с; мы получаем некоторую функцию Е (a, b, с ), порождающую конкретный эл­липс, если переменным коэффициентам a, b, с придадим опре­деленные значения. Переход от конкретного эллипса к соответ­ствующему общему понятию не требует отбрасывания каких-либо специфических различий, он совершается благодаря тому, что не­которые характеристики (в нашем примере они представлены коэффициентами) превращаются в переменные, область значений которых a priori обозрима (у нас она задана приведенными выше неравенствами)» [4, с. 8].

Таким образом, «против логики родового понятия, стоящей как мы видели, под знаком и господством понятия о субстанции, выдвигается  л о г и к а  м а т е м а т и ч е с к о г о  п о н я т и я  о  ф у н к ц и и» [11, с. 34].

Как видим, «словесности» (абстрактной общности родового понятия), не дающей никакого правила, по которому можно было бы восстановить обобщаемые единичности, противопоставляется «математичность» (конкретная общность математической форму­лы). В Древнем Китае общность реализовывалась именно в виде

293

«конкретной общности математической формулы». Первое из воз­никающих при таком ответе недоумений выливается в вопрос: как же возможны формулы без буквенных переменных? Действи­тельно, случайность буквенных обозначений глубоко противоре­чит изобразительному, пиктографическому в своей основе духу китайской письменности. Поэтому такая «пустота» буквы, при которой ее возможные значения пробегают произвольно сопос­тавленную ей область определения, совершенно чужда иероглифическому символизму, о некоторых существенных чертах кото­рого говорилось выше. Это различие подлинного и мнимого сим­вола хорошо проведено у А, Ф. Лосева: «Далее, представители точ­ных наук называют употребляемое ими при вычислениях буквы тоже символами. Но мы спутаем весь наш анализ, если будем называть символами буквы, употребляемые математиками в своих математических операциях. Математики употребляют для обозна­чения своих отвлеченных понятий буквы латинского, греческого, готического, немецкого и даже еврейского алфавита, а также раз­ного рода искусственно придуманные знаки и значки. Но, рас­суждая теоретически, совершенно безразлично — называть ли бес­конечно малое приращение буквой d или буквой а, а отношение диаметра к окружности греческой буквой "пи" или греческой бук­вой "альфа" и т. д. и т. п. Связь между отвлеченными понятиями математики и знаками, которые употребляются для их выраже­ния, совершенно случайна, поскольку буквенный образ и обозна­чаемое им математическое понятие совершенно диспаратны. Та­ковы же знаки, например, и в химии. Предоставим математикам и химикам называть свои знаки теми или другими символами; это нам не помешает. Однако для нашего анализа будет существен­ной помехой, если мы спутаем символ и отвлеченно-диспаратную связь обозначающего и обозначаемого. Во избежание недоразу­мения необходимо сказать, что установленное здесь нами отвле­ченно-диспаратное значение обозначающего и обозначаемого не имеет ничего общего с тем чисто математическим пониманием символа, о котором говорилось выше. Алгебраическое уравнение, например, есть действительно символ, потому что оно есть такое общее, которое содержит о себе закон для получения единичного. √2 есть действительно подлинный символ, потому что он явля­ется таким общим обозначением корня, которое содержит в себе принцип и модель для порождения дроби с бесконечным числом десятичных знаков. Но сами по себе взятые математические обо­значения, вроде буквенных обозначений в алгебре, отнюдь не яв­ляются какими-нибудь символами, потому что они не содержат в себе никакого принципа конструирования, зажатого здесь и не развернутого бесконечного ряда величин... Правда, ничто не ме-

294

шает любое число натурального ряда представлять как состоящее из бесконечного количества дробей известного вида, и тогда даже каждое целое число в арифметике окажется тоже некоторого рода символом... Однако для этого необходима уже специальная мате­матическая теория, которая отсутствует при обычном пользова­нии числами натурального ряда» [17, с. 149—150].

Таким образом, отсутствие в Древнем Китае привычных нам буквенных переменных отнюдь не отменяет возможности иным — символическим — способом (в частности, посредством небуквен­ных переменных) выразить требуемую степень общности, причем алгебраическое по сути правило подстановки, заменяющее переход от общего к частному (столь принятый в традиционной логике), также является ключевым моментом оперирования этой символи­кой. Вспомним элементарный для ицзинистики факт впечатляю­щей широты образных и числовых значений основных ицзиновских графем — гексаграммных черт и особенно триграмм (кортежей длины три). Понимание ицзиновской комбинаторики как свое­образной «алгебры мироздания» является крупным завоеванием современной китайской ицзинистики и возводится обычно к точ­ке зрения Фэн Юланя, высказанной им еще в начале 60-х гг. [32, с. 74—75]. Между прочим, из очевидной справедливости такой трактовки «И цзина» автоматически следует утвердительный ответ на вопрос о наличии понятия «переменная» (или какого-либо его функционального аналога, вроде произвольных чисел в роли параметров у Диофанта [2, с. 12—13]) в древнекитайских теориях.

Мы попытаемся показать в дальнейшем, что в Китае симво­личность—математичность при образовании общих понятий, бе­зусловно, доминировала2.

Ниже мы рассмотрим две взаимодополняющие концепции китайской теории обобщения: понятие сокращения (юэ   ) и поня­тие приведения (тун).

Для древнекитайской аргументации очень важна категория «род, класс, целое» (иероглиф лэй), сообщающая необходимую общность дискурсу. В связи с этим основным требованием являлось умение по предъявленной части восстановить целое и соответственно не­способность сделать это («незнание рода» — бу чжи лэй) расцени­валась китайскими мыслителями как типичная методологическая погрешность. Так, например, прославленная педагогическая мак­сима Конфуция (551—479 гг. до н. э.) гласит: «Не возвращайся [с наставлениями к тому, кто] по предъявлении [ему] одного угла, [не сможет] в ответ [назвать] три [оставшиеся] угла» [28, с. 139]. Согласно классическому комментарию ханьского Чжэн Сюаня (127—200 гг.), речь здесь идет о тех, кто «не разумеет [всего] рода обсуждаемых предметов» [28, с. 139]3.

295

Более причудливый, нематематический пример «незнания рода» находим у Мэн-цзы (ок. 372—289 гг. до н. э.): «Вот у [челове­ка] согнут и не разгибается безымянный палец, что не причиняет ему ни боли, ни неудобства. Но если бы нашелся некто могущий разогнуть его, то [недужный] не счел бы далеким путь из Цинь в Чу только ради того, что у него безымянный палец не такой, как у других. Когда у человека палец не такой, как у людей, так он умеет чувствовать недовольство, а когда у него сердце не такое, как у других, так он не умеет чувствовать его. Это называется "незнанием рода"» [29, с, 464]. Пафос притчи в акцентировании, казалось бы, очевидной, но зачастую неосознаваемой («незнание рода»!) нераздельной целостности человеческой личности, частя­ми которой являются и малозначительный безымянный палец, и наиважнейшее сердце (мы бы сказали, «душа»).

Поскольку одна и та же вещь вполне может оказаться частью различных целостностей, постольку более предпочтительно уме­ние опознать большую из них, подразумеваемую этой их общей частью. На этот счет в конфуциевых «Беседах и суждениях» име­ется следующий примечательный диалог: «Обращаясь к Цзы-гуну. Учитель спросил: "[Из вас двоих] кто кого превосходит, ты или Хуэй? "Цзы-гун ответил: "Разве я, Сы, посмею сравнивать себя с Хуэем? Если Хуэй, услышав об одном, знает о десяти, то я, Сы, услышав об одном, знаю [всего лишь] о втором". Учитель сказал: "Я согласен с тобой. Ты не можешь сравниться [с ним]"» [18, с. 116].

Часть, возводящая к целому, может выделяться и намеренно. Так, Сюнь-цзы (ок. 335—238 гг. до н. э.) дает сравнительно раз­вернутое изложение своеобразной «экономии» познания: «Сердце [благородного мужа] мало, но [его] Дао велико: видит и слы­шит [лишь] ближайшее [к нему], но осведомлен и воспринимает отдаленнейшее [от него]. Каким образом это [происходит]? Та­ков [результат применения] техники схватывания. Поэтому чем теснее (юэ )хватка, тем грандиозней свершения. Пятивершковый угольник исчерпывает квадраты Поднебесной, поэтому благородный муж не спускается из опочивальни и кабинета, а между тем все обстоятельства [имеющие быть] среди [четырех] морей концентрируются там [у него]. Таков [результат применения] техники схватывания» [31, из, 2, с. 120].

В отличие от привычных нам (по отечественным и западным переводам и толкованиям подобных пассажей вроде прославлен­ных слов Лао-цзы относительно возможности «не выходя со дво­ра, знать Поднебесную») туманно-мистических истолкований традиционный комментарий вполне прозаично растолковывает фразу о пятивершковом угольнике ссылкой на «метод меньшего

296

и большего катетов и извлечение квадратного корня», т. е. отсылкой к теореме Пифагора. Как видим, у Сюнь-цзы часть — конкретная тройка пифагоровых чисел (а именно 3, 4, 5), представленная сво­ей третьей компонентой (т. е. числом «пять») — указывает на целое («метод большего и меньшего катетов», иначе говоря, множество всех целочисленных прямоугольных треугольников, т. е. пифаго­ровых треугольников). Таким образом, пифагоровы числа 3, 4 и 5 представляют все целочисленные пифагоровы тройки — другими словами, египетский треугольник представительствует за все пи­фагоровы треугольники, Намек на причины, по которым это может происходить, содержится в слове «утеснение—сокращение» (иероглиф юэ), совершенно не случайно присутствующем в вышеприве­денной сюньцзыевой цитате. Дело в том, что данное слово имеет специальное математическое значение сокращения дробей (2 иероглифа юэ фэнь). Вот, например, как трактует данный термин прослав­ленный своими комментариями к древнекитайскому математи­ческому девятикнижию Лю Хуэй (ок. III в.): «[Что касается] сокращения дробей, [то когда] численность или размеры вещей нельзя исчерпать целым [числом, тогда] приходится прибегать к дробям (букв.: "частям, долям"), чтобы говорить о них. Дробь же является таким числом, которым трудно пользоваться, если оно усложне­но. Предположим, что имеется [дробь] две четвертых. [Если] го­ворить о ее усложненном [варианте, то] она также может быть представлена в виде четырех восьмых. [Если же] говорить о ее сокращенной [версии, то это будет] одна вторая. Хотя формули­ровки различны, но как числа [все они] сводятся к одному и тому же [числу]» [36, цз. I, с. 94]. Об осознании китайскими математи­ками древности основного свойства дробей см. [3, с. 130—132].

Как известно, рациональные числа — это классы эквивалент­ности, а та или иная конкретная дробь из любого такого класса является представителем такого содержащего ее бесконечного клас­са. Наоборот, всякий такой класс характеризуется любой из при­надлежащих ему дробей. Принято отождествлять рациональное число с наименьшей, т. е. несократимой дробью из соответствую­щего класса эквивалентности. Ее получают сокращением какой-либо дроби данного класса на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. Эта операция сокращения на наибольший общий делитель и терминологизируется иероглифом. Простейшая пифагорова тройка — 3, 4 и 5 — на первый взгляд могла бы мыс­литься Сюнь-цзы в качестве представителя всего бесконечного класса непосредственно производных от нее пифагоровых троек. Пример такой производности засвидетельствован следующим ком­ментарием Чжао Шуана (ок. III в.) к самому раннему китайскому математико-астрономическому трактату «Счетный канон о чжо-

297

уском гномоне» (ок. I в. до н. э.): «"Подождать, пока длина его тени вырастет до шести локтей", [означает следующее:] чтобы мень­ший и больший катеты взаимооткликались, [треугольник, в кото­ром] меньший катет равен 3, больший катет равен 4 и гипотенуза равна 5, [должен перейти в треугольник, в котором] меньший ка­тет равен 6, больший — 8, а гипотенуза — 10» [37, цз. 1, с. 26].

Однако далеко не все пифагоровы тройки непосредственно производны от чисел египетского треугольника в указанном выше смысле (как, например, числа 5, 12 и 13. также образующие пифа­горову тройку). Тогда на каком же основании нами утверждается сводимость целого к его, по-видимому, не столь уж и представи­тельной части?

Заметим, что одним из следствий малой теоремы Ферма аР º a (mod р), где р — простое число и а — целое число, не де­лящееся на р, является следующая замечательная теорема: произведение длин сторон пифагорова треугольника делится на 60. Другими словами, все пифагоровы треугольники сравнимы с ну­лем по модулю 60 и египетский треугольник будет среди них наи­меньший. Точнее, множество произведений трех компонент каж­дой из целочисленных пифагоровых троек образует множество кратных числа 60, а произведение тройки, четверки и пятерки есть наименьший элемент этого множества. Получается, что благо­даря удачно выбранному модулю сравнения ситуация с пифагоро­выми треугольниками оказывается полностью аналогичной поло­жению с рациональными числами, описанному выше. Вот так конкретная пифагорова тройка 3, 4, 5 получает возможность пред­ставительствовать за все целочисленные пифагоровы тройки.

Стоит подчеркнуть осознанность связи простейшей пифаго­ровой тройки с числом 60. Дело в том, что китайский 60-ричный календарный цикл — так называемый цзяцзы

 (  ) — представляет собой древнейшую систему фиксации времени с непрерыв­ной историей. Цзя обозначает 10 небесных стволов (цзя, и, бин, дин, у, цзи, гэн, синь, жэнь, гуй), а цзы — 12 земных ветвей (цзы, чоу, инь, мао, чэнь, сы, у, вэй, шэнь, ю, сюй, чай). Четные номера первого набора циклических знаков всевозможными способами сочетаются в пары с четными номерами второго набора, анало­гичный процесс осуществляется и для нечетных номеров обоих наборов. В результате получаем 60 различных пар — это и есть цзяцзы, в котором 60-ричный цикл именуется по его первой ком­поненте. Другими словами. 60 есть наименьшее общее кратное 10 и 12. Кроме того, 60 является составной частью принятого в Ки­тае округленного до десятков числа дней в году (360 дней), его производных и других важных календарных единиц (например, юань  — эра, эпоха). Поэтому привязка числа 60 к пифагоровой

298

тройке 3, 4, 5 обычно проявляется в виде календарно-астрономи­ческих ассоциаций, сопутствующих этой пифагоровой тройке.

Здесь для начала заметим, что самое раннее из известных китайских доказательств теоремы Пифагора (для частного слу­чая египетского треугольника) открывает древнейший математико-астрономический трактат «Счетный канон о чжоуском гно­моне», причем 3, 4 и 5 появляются там как раз при обсуждении вопроса происхождения календарных чисел. Примечательно, что ответом на этот вопрос является утверждение о происхождении «метода» ( фа) этих чисел из круга (т. е. округленной длины единичной окружности, равной трем) и квадрата (длины пери­метра единичного квадрата, равной четырем). В своем коммен­тарии к разбираемому месту «Чжоуского гномона» Чжао Шуан достаточно прозрачно говорит о приведении к наименьшему об­щему кратному тройки, четверки и пятерки, что дает число 60.

Наконец, в китайской традиционной и более современной историографии имеются прямые указания на связь календаря с «методом меньшего и большего катетов» [27, с. 2207; 33, с. 845].

Итак, согласно «Чжоускому гномону» и комментариям к нему Чжао Шуана, число 60 является, с одной стороны, начатком пи­фагоровых треугольников, а с другой — родоначальником основ­ных календарных чисел.

 Согласно классическому определению Мэн-цзы, «когда гово­ря о близком, намекают на далекое — это искусная речь; [способ, при котором] соблюдена краткость ( юэ), а действие его обшир­но — это искусный способ» [29, с. 594]. Поскольку сокращение всего множества пифагоровых треугольников до единственного (египетский треугольник), несомненно, является примером тако­го «искусного способа», постольку древнекитайским мыслителям казалось достаточным в своих теоретических построениях опери­ровать лишь с этой избранной пифагоровой тройкой. Вот почему как в изначальном китайском доказательстве теоремы Пифагора для частного случая египетского треугольника [37, цз. I, с. 14], так и в выведении тождества З2 + 42 = 52 из гексаграммы № 11 Тай  (см. подробнее: [14, с. 142]) речь идет не

просто о частном случае, а, учитывая вышесказанное, о доказательстве теоремы Пифагора в полном объеме, т. е. во всей общности. В том, что китайские мате­матики древности здесь не заблуждались, мы легко убеждаемся из существующих реконструкций вышеупомянутого доказательства (см., напр.: [41, р. 26—27]). По словам крупнейшего современного историка математики Ван дер Вардена: «Доказательство (теоремы Пифагора в "Чжоуском гномоне". — А. К.) осуществлено только для треугольника (3, 4, 5), но идея доказательства обладает пол­ной общностью» [41, р. 26].

299

Думается, что математическим соображением, лежащим в ос­нове метода сокращения, является идея рекурсии — «возвращения» от неизвестного к известному. Иными словами, возможность вос­становления всего искомого рода (разумеется, в той мере, в кото­рой это требуется в каждом данном случае) по предъявленной произвольной части этого рода, мыслится как способность вернуться от искомого целого (или искомой его части) к предъявленной час­ти, наводя тем самым мосты от известного к неизвестному.

Соответственно, «незнание рода» следует понимать как неспо­собность связать друг с другом две по видимости несхожие между собой веши, неумение усмотреть связывающую их взаимозависимость (см. приведенный в начале пример Мэн-цзы с пальцем и сердцем). Аналогично восхождение от данной части к целому (или к другим частям этого целого) эксплицируется как «достраива­ние» известной части согласно некоему правилу до целого (или же до иных — более обширных — фрагментов целого). Примера­ми такого рода являются приведенные в начале нашего сообще­ния «геометрические» и «арифметические» притчи из «Бесед и суждений» Конфуция об углах четырехугольника, о первом и о втором, и об одном и десяти.

Искусство сокращения как раз и сводится к умению минимизи­ровать масштаб задачи, к выбору наименьшей, но при этом доста­точной для восстановления целого части этого целого. Причем обычно дается лишь результат подобного сокращения — мини­мальная часть (вроде одного угла четырехугольника), в свернутом виде содержащая целое без явного указания правила перехода от нее к другим частям. Возможно, подобные правила являлись при­надлежностью устной традиции.

Вышесказанное проливает дополнительный свет на тайну древ­некитайского математического девятикнижия «Цзю чжан суань шу» (III в. до н. э. — I в. н. э.) как теоретического обоснования древнекитайской математики, а не просто тематического сборни­ка задач с ответами. По мнению современных китайских истори­ков науки, главная особенность древнекитайских научных теорий состоит в их модельном (а не аксиоматическом, как на Западе) характере. Поэтому их отличает алгоритмичность—вычислительность и алгебраичность в противоположность доказательности и геометричности классической греческой науки [25, с. 1—4].

В отношении общности выстраивается иерархия возможных реализаций (т. е. конкретных математических структур, а не пред­ложений языка некоторой теории), где общее выражается одной из этих структур, а вовсе не предложением с квантором всеобщ­ности (аксиомой). Так, по всей видимости, конкретные и утили­тарные задачи из «Математики в девяти разделах» замышлялись

300

их авторами и толкователями как простейшие реализации неко­торых важных алгоритмов. В их группировке прослеживается отчетливая типизация вычислительных задач. По утверждению , «если автор имеет целью показать класс задач, он сначала приводит самую четкую, простую, "каноническую", а затем по мере усложнения демонстрирует, насколько широк та­кой класс задач; затем дает алгоритм сведения других задач к уже решенным, расширяя таким образом указанный класс задач. Имен­но так построена вся ''Математика в девяти книгах"...» 3, с. 24. Ей вторит , замечая по поводу манеры Лю Хуэя рас­сматривать лишь отдельные частные случаи решения той или иной задачи (вместо обсуждения решения в общем виде), что на самом деле «рассматриваемый частный случай является в некотором смыс­ле общим, поскольку им фактически задается схема рассуждений или необходимое дополнительное построение» [5, с. 102].

О том, что соотношение общего и частного применительно к задачам из «девяти разделов» и их всевозможных модификаций-приложений является лишь вопросом выбора нужного масштаба, специально писал Лю Хуэй. Комментируя обычный зачин к большинству задач «Математики в девяти разделах» — «пусть имеется», «пусть теперь» (цзинь ю), Лю Хуэй истолковыва­ет его как обозначение тройного правила (правила пропорции — вычисление по трем заданным величинам четвертой — неизвест­ной — величины х, образующей с ними пропорцию). Вдобавок он объявляет это правило главным инструментом для возвыше­ния единичного до всеобщего, благодаря которому конкретные задачи девятикнижия, так сказать, «перерастают себя самих», от­крывая бесконечные перспективы на целые классы родственных им задач: «К этому [словам "пусть имеется"] сводится все прави­ло. Ведь числа девять [достаточно] для поименования глав ["Ма­тематики в девяти разделах" потому, что задачи этих глав] можно широко распространить посредством коэффициентов [пропорциональности] — что называется "сообщишь о прошедшем и [уже] знает грядущее"4, "по предъявлении одного угла [называет] в от­вет три [оставшихся] угла". [С помощью этого правила мы] и в самом деле можем распутывать переплетения чисел, избавляться от всевозможных заторов, сообразно с вещами образовывать ко­эффициенты, учитывая различия, именовать дроби — выравнивать их перекосы и уравновешивать их асимметрию — так что в конце концов не остается ничего, что не возвращалось бы к это­му правилу» [36, цз. 2, с. 114].

Уже знакомый нам приточный образ квадрата появляется в приведенной выше характеристике тройного правила, судя по всему, далеко не случайно. Известно, что в античности у греков

301

было принято располагать члены четырехчастной пропорции по углам квадрата [1, с. 721]. Понятие пропорциональности связы­валось (видимо, благодаря входящей в него идее четверичности) с образом квадрата и в Древнем Китае. Прямым текстуальным подтверждением этого является следующая дефиниция квадрата, принадлежащая Хань Фэй-цзы (III в. до н. э.): «Квадратом на­зывается взаимоотклик (сян ин ) внутреннего и внешнего, взаиморавновесие речей и поступков» [34, с. 100]. Если мы вспомним приведенные нами ранее слова Лю Хуэя о «взаимо­отклике меньшего и большего катетов» египетского треугольника, не теряющегося при переходе от этого канонического треуголь­ника к подобному ему треугольнику («чтобы меньший и больший катеты взаимооткликались, [треугольник, в котором] меньший катет равен 3, больший катет равен 4 и гипотенуза равна 5, [дол­жен перейти в треугольник, в котором] меньший катет равен 6, больший — 8, а гипотенуза — 10»), то сможем воспринять мате­матическую суть предполагаемой понятием квадрата гармонии между «внутренним и внешним», с одной стороны, и «речами и поступками» — с другой, сводящуюся к равенству отношений двух следующих пар: внутреннее/внешнее = речи/поступки5.

Не будем сейчас останавливаться на многочисленных и многообразных этических и социальных преломлениях идеи про­порциональности — квадратности. Отметим только удивительное сходство тут с античными числовыми спекуляциями (когда, на­пример, «справедливость» воспринималась как «квадратное чис­ло» [букв.: «равностно равное число»]).

Парной к обобщению—сокращению является концепция обоб­щения— приведения (тун pf ). Дуальным по отношению к наи­большему общему делителю (далее НОД) понятием является по­нятие наименьшего общего кратного (далее НОК). Роль НОК в мировоззрении древних китайцев огромна. Дело в том, что на­хождение ОК, и в частности НОК, есть математическая основа гносеологической процедуры, парной к вышеописанной проце­дуре обобщения—сокращения. В силу очевидных соображений мы назовем ее «обобщением через приведение».

Рассмотрим следующее (может быть, не слишком исторически достоверное, но тем не менее канонизированное впоследствии) этимологизирование иероглифа  (ван — царь) «ханьским Кон­фуцием» Дун Чжуншу (II в.): «Древние творцы письменности, [начертав] тройку черт и соединив их середины, назвали эту [фигуру] "Ваном": тройка черт суть Небо, Земля и Человек, а соединение их середин сводит их дао [воедино]. Взять середины Неба, Земли и Человека для того, чтобы, пронизав, сделать их

302

тройственно приведенными ( цань тун), — кто кроме Вана способен на такое» [26, цз. II, гл. 24, с. 6].

Иероглиф тун ( — проникновение — продвижение — со­общение — приведение) применительно к дробным числам озна­чает приведение их к общему знаменателю (иными словами, на­хождение ОК, в частности НОК, знаменателей приводимых дробей), о чем свидетельствует математический термин тун фэнь ( – приведение дробей). Относительно взаимосвязи ОК и НОК в соответствующих древнекитайских алгоритмах [3, с. 123— 130]. Касательно же целых чисел операция «приведения» указы­вает на сведение их к таким объемлющим их числам, как ОК (в частности, НОК). О переходе от приведения дробей к проблеме НОК см.: [3, с. 123—130]. Ицзиновская концептуализация этой проблематики и некоторые небезынтересные детали терминоло­гического оформления соответствующей теории обсуждаются в [24, с. 39-41].

Математическое значение выражения «взаимоприведение— взаимопроникновение» (сян тун ) обнаруживает себя в следующем пассаже, подытоживающем изложение учения о «трех единствах» (сань тун ) в музыкальной части раннеханьских «Записей о [музыкальных] трубках и календаре»: «Три единства взаимопроникают, поэтому длины [музыкальных] тру­бок — Хуан Чжуна, Линь Чжуна и Тай Цоу — все без остатка выражаются в целых вершках» [23, цз. 21, с. 963]. Обратим вни­мание на следующее обстоятельство: чуть ранее «три един­ства» — Небо, Земля и Человек — приравнивались Лю Синем (46 г. до н. э. — 23 г. н. э.), на работу которого опирался Бань Гу (32—92 гг.), составляя данный раздел «Ханьской истории», к Хуан Чжуну, Линь Чжуну и Тай, Цоу, соответственно, с указани­ем их длин (9 вершков — для Хуан Чжуна, 6 — для Линь Чжуна и 8 — для Тай Цоу) [23, цз. 21, с. 961]. Тогда согласно предло­женному истолкованию «приведения—проникновения» (тун ) взаимопроникновению Трех единств должно отвечать приведение к НОК (или ОК) 9, 6 8, что дает число 72 или числа, кратные 72. Нам действительно предъявляются подобные числа, хотя уже в другой, календарной части «Записей», но в схожем контексте — в качестве резюме пространного рассуждения о тех же Трех единствах (на этот раз трактуемых не столько в музыкальном, сколько в календарном ключе — как обозначение трех видов го­дового цикла в зависимости от отсчета начального месяца года): «Три сокровенных и образуется явное, три явных и образуется образ, два образа, восемнадцать превращений и образуется гек­саграмма, четыре действия и образуется перемена. [Все это] дает

303

число семьдесят два — [итог] взаимоперемножения утроенной троицы, объединяющей двоицы и четверицы времен. Утраивая его, получаем [число] стеблей тысячелистника [гексаграммы] Цянь. Удваивая его, получаем [число] стеблей тысячелистника [гексаграммы] Кунь» [23, цз. 21, с. 985].

Знаменательно, что в обеих цитатах (музыкальной и кален­дарной) числа, составляющие обе итоговые тройки, явно пере­кликаются друг с другом: помимо совпадающей в обеих тройках девятерицы (сиречь «утроенная троица») шестивершковой длине Линь Чжуна (воплощающего собой «земное единство») вторит земная же «объединяющая двоица», а восьмивершковому Тай Цоу (ответственному за «человеческое единство») откликается «четверица времен» (мыслимая в данном контексте как третье к Небу и Земле [23, цз. 21, с, 972].

Кроме того, как следует из вышеприведенной цитаты, чис­ло 72 примечательно еще и тем, что, являясь, с одной стороны, НОК для канонических длин музыкальных трубок-камертонов (подробнее о связях ицзиновских чисел с китайской музыкаль­ной теорией см.: [9, с. 21—26; 7; 40, vol. 2, р. 118—128]), оно в то же самое время есть НОД «чисел янских и иньских стеблей» (), т. е. тех количеств гадательных стеблей тысячелистника, которые необходимы для получения двух начальных гек­саграмм: для гексаграммы Цянь их требуется = 72 • 3), а для гексаграммы Кунь — = 72 • 2). Ничуть не удивитель­но, что число 72 служит Лю Синю отправной точкой в его календарно-числовых спекуляциях, ведь согласно «Сицы чжуани», сумма 216 и 144, равная 360, «соответствует дням срока» [38, цз. 14, с. 223], т. е. округленному числу дней года.

Другим связующим звеном между числом 72 и календарем является учение о «Пяти стихиях» — наложение 5-ричной клас­сификационной схемы на округленную величину года дает именно такую продолжительность «царствования» каждой из них в течение одного года (360:5 = 72) [26, цз, 13, с. II; 35, цз. 3, с. 43]. Отсюда и доныне используемое в китайском кален­даре деление года на 72 пятидневки, так называемые «предуве­домления» [39, vol. 2, р. 106—118].