Атомная физика (стр. 11 )

.

Видно, что для электронов, ускоряемых разностью потенциалов V = 150 В, длина волны де Бройля λ равна 1 Å и по порядку величины соответствует длине волны мягких рентгеновских лучей. Таким образом, для обнаружения волновых свойств электронов следует пользоваться теми же методами, которые применяются при изучении дифракции и интерференции рентгеновских лучей, т. е. использовать кристаллическую решетку.

Гипотеза де Бройля получила экспериментальное подтверждение в 1927 г. в опытах Девиссона и Джермера, которые изучали рассеяние электронов на монокристал подробнее.

Схема установки показана на рис. 3.1. Создаваемый электронной пушкой ЭП пучок электронов со скоростью v, задаваемой разностью потенциалов V, направляется под углом скольжения φ на монокристалл никеля Ni, играющий роль дифракционной решетки, и рассеивается на нем. Рассеянные электроны улавливаются приемником электронов ПЭ, который может вращаться вокруг оси, проходящей через кристалл никеля Ni и перпендикулярной к плоскости рис. 3.1. Приемник электронов ПЭ связан с гальванометром Г, определяющим силу тока. По показаниям гальванометра судили об интенсивности рассеяния.

Результаты измерений можно представить в виде полярных диаграмм интенсивности отражения электронов от кристалла никеля Ni, пример изображен на рис. 3.2. Опыты показали, что электроны ведут себя не как классические частицы и отражаются от мишени не по законам геометрической оптики. Было обнаружено, что интенсивность рассеяния электронов зависит от угла скольжения φ и скорости электронов v.

Девиссоном и Джермером было выполнено два вида опытов. Первый их опыт был точным аналогом интерференционного отражения рентгеновских лучей по методу Вульфа и Брэгга, предложенному в 1913 г. (см. гл. 9). Известно, что рентгеновские лучи испытывают интерференционное отражение от кристалла, если их длина λ и угол скольжения φ удовлетворяют формуле Вульфа – Брэгга:

n λ = 2d sinφ , (3.2)

где n = 1,2,… – порядок максимума отраженных лучей; d – постоянная кристаллической решетки.

Для рентгеновских лучей условие (3.2) создается таким образом. Лучи определенной длины волны λ направляются на кристалл, который может поворачиваться, меняя угол скольжения φ. В опытах с электронами используется другой способ. Поток электронов падает на зафиксированный кристалл никеля Ni, и при этом за счет изменения разности потенциалов V изменяется скорость электронов v, которая связана с длиной волны де Бройля λ. Условие Вульфа – Брэгга (3.2) в этом случае можно записать в виде

.

Результаты опытов по отражению электронов совпадали с результатами для рентгеновского излучения.

Второй опыт Девиссона и Джермера аналогичен опыту Лауэ по дифракции рентгеновских лучей, выполненному в 1912г. (см. гл. 9). В опыте Лауэ, пропуская рентгеновское излучение, имеющее сплошной спектр, через кристалл, наблюдали за ним дифракционную картину. Она обусловлена интерференцией вторичных волн, за счет которой распространение рассеянных лучей будет происходить лишь в определенных дискретных направлениях и для определенной длины волны λ в каждом из направлений. Девиссон и Джермер исследовали отражение электронов, падающих на монокристалл никеля Ni с определенной скоростью v и углом скольжения φ, при разных азимутальных углах кристалла (он поворачивался вокруг вертикальной оси, рис. 3.2). Было установлено, что электроны отражаются лишь в определенных дискретных направлениях и при определенной скорости v в каждом таком направлении.

Таким образом, опыты Девиссона и Джермера показали, что электроны обладают волновыми свойствами, поскольку ведут себя так же, как и рентгеновское излучение.

3.3. Свойства волн де Бройля

1. Волны де Бройля принято трактовать как волны вероятности. Их физический смысл заключается в том, что квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке пространства, определяющий ее интенсивность, определяет и вероятность обнаружения частицы, соответствующей этой волне, в заданном месте пространства.

2. С увеличением массы частицы длина волны де Бройля уменьшается. Для макроскопических тел волновые свойства вообще не проявляются, так как длина волны де Бройля для них несоизмеримо меньше размеров самих тел.

3. Длину волны де Бройля λ можно выразить через кинетическую энергию Ткин частицы, которой эта волна соответствует.

Для релятивистского случая v ≈ c. Учитывая, что величина импульса р частицы связана с ее полной энергией Е соотношением , а полная энергия Е выражается через кинетическую энергию Ткин (Е = Теин + moc2), после несложных преобразований (3.1) получим для длины волны де Бройля λ следующую формулу

.

Для нерелятивистского случая v << c:

.

4. Пространственное распространение волн де Бройля характеризуют фазовая vф и групповая vгр скорости. Найдем связь между ними.

Рассмотрим волну де Бройля свободной частицы, двигающейся вдоль положительного направления координатной оси х. Эта волна представляется в виде плоской монохроматической (гармонической) волны с круговой частотой ω = 2πν и постоянной амплитудой А, и вид этой волны описывается формулой

,

где k =2π/λ, Е = ħω и рх = ħk, а начальная фаза равна нулю. График функции Ψ, показывающей распределение смещений всех точек в момент времени t = 0, приведен на рис. 3.3.

По определению, фазовая скорость vф волны – это скорость перемещения плоскости равной фазы. Она находится из условия постоянства фазы

волны: (ωt – kx) = const. Взяв производную координаты х по времени t, найдем фазовую vф скорость волны:

ф . (3.3)

Групповая vгр скорость – это скорость перемещения определенной амплитуды волны. Для гармонической волны нельзя определить групповую vгр скорость, поэтому рассмотрим волну де Бройля Ψ, не являющуюся гармонической, а представляющую собой суперпозицию двух гармонических волн Ψ1 и Ψ2, распространяющихся вдоль положительного направления оси х с амплитудами А и почти равными частотами ω1 и ω2:

.

Используем формулу сложения косинусов, тогда

Полученный результат можно истолковывать следующим образом. Множитель А/ – это периодически медленно меняющаяся амплитуда, а аргументом второго косинуса является фаза волны с частотой ωо и волновым числом kо. Таким образом, имеем волну с частотой ωо и модулированной амплитудой А/. На рис. 3.4 для некоторого момента времени t изображены две гармонические волны с мало различающимися частотами и волна, возникающая в результате их суперпозиции.

Групповая vгр скорость находится из условия постоянства амплитуды А/ волны: = const. Взяв производную координаты х по времени t, определим групповую vгр скорость волны:

гр . (3.4)

Сравним фазовую vф и групповую vгр скорости между собой:

гр .

Учитывая, что волновое число k равно 2π/λ, можно записать

гр .

Если в среде, в которой распространяется волна, отсутствует дисперсия, т. е. фазовая vф скорость не зависит от волнового числа k, тогда фазовая vф скорость равна групповой vгр скорости: vф = vгр. Это наблюдается для света в вакууме.

Если среда обладает дисперсией, т. е. vф = f(k), то возможны следующие два случая. При нормальной дисперсии, когда показатель преломления убывает при росте λ, т. е. > 0, групповая vгр скорость меньше фазовой vф скорости: vгр < vф. При аномальной дисперсии, когда возрастает при росте λ, т. е. < 0, групповая vгр скорость больше фазовой vф скорости: vгр > vф.