Атомная физика (стр. 12 )

3.4. Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Свойства микрочастиц своеобразны и обусловлены двойственностью их природы. Вследствие корпускулярно-волнового дуализма природы микрочастиц им нельзя приписывать все свойства, присущие волнам или классическим частицам. Например, одно из свойств частиц, подчиняющихся законам классической механики, следующее: всякая частица в любой момент времени t занимает строго определенное место в пространстве, т. е. характеризуется определенными координатами , и обладает определенным импульсом . Ее движение происходит по некоторой траектории. Возможность одновременного и точного определения положения и скорости является столь характерным свойством классических частиц, что их состояние полностью задается совокупностью координат и импульсов . Наличие у микрочастиц волновых свойств вносит существенное ограничение на возможность точного описания их состояния. В мире микрочастиц нет понятия траектории. В заданный момент времени t можно определить точно либо координату микрочастицы, либо ее импульс . При этом вторая величина будет совершенно неизвестна. Ограничение на связь координаты и импульса микрочастицы для определенного момента времени t задается соотношением неопределенности Гейзенберга. Это соотношение было получено в 1927 г. и является следствием существующей двойственности природы частиц микромира.

Для того чтобы получить соотношение неопределенности Гейзенберга, воспользуемся понятием волнового пакета, т. е. ограниченного в пространстве волнового образования. Волновой пакет Ψ, зависящий только от одной пространственной координаты х и времени t, можно получить наложением бесконечного множества гармонических волн, распространяющихся вдоль положительного направления оси х с амплитудами А и почти равными частотами из малого интервала 2Δω около средней частоты ωо:

.

Для любой среды существует зависимость ω = f(k), так как ω = vфk. Разложим функцию ω(k) в ряд Тейлора около точки по степеням и ограничимся двумя первыми членами в этом разложении, считая, что интервал достаточно мал:

.

Подставим это соотношение в выражение для волнового пакета Ψ и введем новую переменную k/. Затем, с помощью ряда преобразований, можно привести функцию Ψ к следующему виду:

.

Вычислив этот простой определенный интеграл, получим

.

Из этого выражения видно, что поведение модулированной амплитуды А/ определяет функция типа , где , которая при изменении аргумента ξ ведет себя следующим образом. Если ξ → 0, то имеется главный максимум: , а при ξ → ±π, ±2π,… будет пересечение с осью абсцисс: .

На (рис. 3.5) изображен волновой пакет в начальный момент времени t = 0. Важно отметить, что волновой пакет нельзя трактовать как некое материальное образование, моделирующее частицу. Этот термин используется в том смысле, что вероятность обнаружения микрочастицы, локализованной в определенном месте пространства, пропорциональна квадрату амплитуды волнового пакета, соответствующего ей.

Для волнового пакета, представленного на рис. 3.5, первые относительно главного максимума точки пересечения х1 и х2 с осью х будут определяться из условий

х1 Δk = –π , х2 Δk = π .

Если за протяженность пакета принять отрезок Δх = х2 – х1, то приходим к следующему равенству:

Δх Δk = 2π .

Если определить размеры пакета точнее и за его протяженность принять расстояние между следующими симметрично расположенными относительно главного максимума пересечениями с осью х, то получим

Δх Δk = 4π .

Таким образом, в общем случае имеем

Δх Δk ≥ 2π .

Умножим обе части этого неравенства на постоянную Планка ħ и учтем, что рх = ħk, тогда

Δх Δрх ≥ 2πħ = h ,

где Δх – это область, в которой может быть обнаружена микрочастица, а Δрх – изменение в этой области х-й компоненты импульса микрочастицы. Для двух других координат y и z имеем аналогичные неравенства:

Δy Δрy ≥ h ,

Δz Δрz ≥ h .

Данные три неравенства называются соотношениями неопределенностей Гейзенберга.

Из представленных соотношений следует, что координаты и импульс микрочастицы не могут одновременно иметь определенных значений. Соотношения утверждают, что координаты и проекции импульса микрочастицы могут иметь значения, известные лишь с некоторой степенью неопределенности, и чем точнее известна координата, тем больше неопределенность в значении соответствующей проекции импульса.

Существует подобное неравенство и для таких физических величин, как энергия Е микрочастицы и время t:

ΔЕ Δt ≥ 2πħ = h .

Оно показывает, что чем больше время жизни Δt микрочастицы в некотором состоянии, тем меньше неопределенность в определении энергии ΔЕ микрочастицы в данном состоянии.

Глава 4. Строение атома и теория Бора

4.1. Атомные спектры и их закономерности.

Обобщенная формула Бальмера. Комбинационный принцип Рица

Важная экспериментальная информация, используемая при изучении строения атома, была получена из атомных спектров излучения и поглощения. Изолированные отдельные атомы могут испускать (поглощать) электромагнитные волны, причем спектр излучения (поглощения) состоит из отдельных спектральных линий. Такие спектры называются линейчатыми.

Исторически вначале был получен спектр атома водорода в видимой и близкой ультрафиолетовой областях (рис. 4.1). Четыре спектральных линии находятся в видимой части спектра. При анализе спектра были установлены следующие закономерности: при увеличении частоты ν уменьшаются интенсивность J спектральных линий и расстояние между соседними спектральными линиями. Совокупность спектральных линий, обнаруживающих в своей последовательности такие закономерности, называется спектральной серией.

Закономерность в расположении спектральных линий в спектре атомарного водорода долго не удавалось выразить математически. В 1885 г. Бальмер эмпирически подобрал формулу, с помощью которой находятся длины волн λ всех спектральных линий в данной области спектра водорода:

Å ,

где n = 3, 4, 5… . Группа спектральных линий, которую можно получить по этой формуле, называется серией Бальмера. В 1890 г. Ридберг предложил записывать формулу Бальмера в виде

, (4.1)

где – волновое число, используемое в спектроскопии и равное числу длин волн λ, укладывающихся на единичной длине; R – постоянная Ридберга. Если волновое число выражается в обратных сантиметрах (см-1), то значение постоянной Ридберга R в этих единицах равно 109677,76 см-1 (из экспериментальных спектроскопических измерений).

Из формулы (4.1) видно:

1) при увеличении n разность между волновыми числами соседних спектральных линий уменьшается;

2) при стремлении n к бесконечности (n → ∞) волновые числаспектральных линий серии Бальмера стремятся к пределу , который соответствует высокочастотной границе этой серии;

3) при n = 3 получаем низкочастотную границу серии Бальмера (или головную спектральную линию), для которой .