Атомная физика (стр. 20 )

для области 3:

.

Имеем три однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этих уравнений запишем в виде

,

,

.

Общее решение есть суперпозиция двух частных решений, каждое из которых представляет плоскую волну де Бройля. Причем, если экспонента со знаком «+», то волна распространяется в положительном направлении оси х, если с «–», то в отрицательном направлении. Например, в выражении для Ψ1 первое слагаемое определяет падающую волну с амплитудой а1, а второе слагаемое – отраженную волну с амплитудой b1. В области 3 нет отраженной волны, поэтому второе слагаемое в выражении для Ψ3 равно нулю.

Исходя из определения коэффициентов D и Rотр, запишем для них следующие равенства:

и Rотр .

Таким образом, для вычисления коэффициентов D и Rотр необходимо найти коэффициенты а1, b1 и а3. Для этого используем граничные условия (5.10), которые позволяют найти четыре уравнения.

Для х = 0:

,

.

Для х = l:

,

.

Решая эти уравнения, найдем коэффициенты D и Rотр:

, (5.11а)

Rотр . (5.11б)

Из этих выражений следует, что при выполнении неравенства Е > Uo имеем D ≠ 1 и Rотр ≠ 0. Этот результат для квантовой частицы отличается от того, что получается для классической частицы, для которой D = 1 и Rотр = 0. Если же справедливо неравенство Е < Uo, то получим D ≠ 0 и Rотр ≠ 1 (для классической частицы: D = 0 и Rотр = 1).

5.4. Квантово-механическая теория атома.

Электрон в водородоподобном атоме. Энергетический спектр электрона. Квантовые числа: главное, орбитальное и магнитное орбитальное

Результаты, такие как дискретность энергетического спектра водородоподобного атома, полученные в теории Бора с использованием ряда постулатов, в квантовой механике выводятся без применения каких-либо постулатов. Покажем это.

Рассмотрим водородоподобный атом с зарядом ядра +ze и электроном с зарядом –е и массой m, двигающимся в кулоновском поле неподвижного ядра по круговой орбите радиуса r (рис. 5.6).

Задача состоит в решении стационарного уравнения Шредингера вида

.

Отметим, что с таким видом потенциальной энергии U(r) = стационарное уравнение Шредингера допускает точное решение.

Из-за сферической симметрии силового поля U(r) проще всего решить задачу в сферической системе координат (r, θ, φ), центр которой совмещен с ядром атома. Таким образом, волновая функция для электрона является функцией трех переменных =. Воспользуемся выражением оператора Лапласа Δ, записанным в сферических координатах (r, θ, φ), тогда стационарное уравнение Шредингера примет вид

.

Решим это уравнение методом разделения переменных. Ищем волновую функцию в виде произведения функции R(r), зависящей только от радиуса r, и функции Y(θ, φ), зависящей только от угловых координат θ и φ (сферическая функция): = R(r)Y(θ, φ). Подставляя это равенство в стационарное уравнение Шредингера и умножая все члены на множитель r2/(RY), перепишем уравнение в виде

.

Левая часть выражения зависит от r, правая часть – от θ и φ, поэтому их равенство при всех значениях переменных r, θ и φ возможно, когда каждая из частей будет постоянной величиной. Обозначим ее через λ. Таким образом, стационарное уравнение Шредингера распалось на два уравнения – уравнение для радиальной части R(r) и угловой части Y(θ, φ) волновой функции :

, (5.12)

. (5.13)

Уравнение для сферической функции Y(θ, φ) также методом разделения переменных разделим на два уравнения. Для этого функцию Y(θ, φ) представим в виде произведения функции Θ(θ) и функции Ф(φ): Y(θ, φ) = Θ(θ)Ф(φ). Подставляя это равенство в уравнение для Y(θ, φ) и умножая все члены на множитель sin2θ/(ΘФ), получим уравнение

.

Левая часть этого выражения зависит от θ, правая часть – от φ, поэтому равенство частей при всех значениях переменных θ и φ возможно, когда каждая из них будет постоянной величиной. Обозначим ее через ml2. Итак, уравнение для сферической функции Y(θ, φ) распалось на два уравнения – уравнение для функции Θ(θ) и функции Ф(φ):

, (5.14)

. (5.15)

Следовательно, чтобы найти волновую функцию = R(r)Θ(θ)Ф(φ), надо решить три представленных выше уравнения – (5.12), (5.14) и (5.15).

Решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (5.15) для функции Ф(φ) с учетом нормировки этой функции имеет вид

. (5.16)

Из этого следует, что для однозначности функции Ф(φ) она должна быть периодической с периодом 2π: =, а это возможно, когда число ml принимает такие значения, как 0, ±1, ±2, … Число ml называют магнитным орбитальным квантовым числом.

Решениями уравнения (5.14) для функции Θ(θ) будут нормированные присоединенные функции Лежандро . При нахождении этого решения учитывали, что λ = l(l+1), причем │ml│≤ l, т. е. ml = 0, ±1, ±2,... …,±l. Число l называют орбитальным квантовым числом. Следовательно, сферическая функция Y(θ, φ) с учетом ее нормировки

запишется в виде

. (5.17)

Решая уравнение (5.12) для радиальной части R(r) волновой функции с учетом того, что R(r) должна быть конечной при стремлении r к бесконечности или нулю, получают для нее такой вид

, (5.18)

где , Е < 0 .

Подставляя (5.18) в уравнение (5.12) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях r, получают рекуррентную формулу для коэффициентов аα, из которой находят значения энергии Еn электрона водородоподобного атома в стационарных состояниях:

. (5.19)

Таким образом, собственные значения Еn энергии, являющиеся дискретными величинами и зависящие от главного квантового числа n = nr + l + 1, где nr – это радиальное квантовое число, получены без новых гипотез, а только последовательным решением уравнения Шредингера.

Главное квантовое число n = nr + l + 1 принимает такие значения: n = 1, 2, 3,… Наименьшее значение для орбитального квантового числа l есть нуль, а наибольшее (при заданном n) равно n – 1 и соответствует случаю, когда nr = 0, поэтому l = 0, 1, 2,…,(n – 1). Отметим, что для заданного квантового числа n существует n различных значений квантового числа l. Для магнитного орбитального квантового числа ml возможны следующие значения: ml = 0, ±1, ±2,…,±l. Для заданного квантового числа l существует (2l + 1) различных значений квантового числа ml.