Атомная физика (стр. 19 )

Рассмотрим два простых примера, которые допускают точное решение стационарного уравнения Шредингера.

Пример 1. Исследуем поведение частицы с массой m в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Предположим, что частица двигается вдоль координатной оси х. Ее движение ограничено двумя непроницаемыми стенками с координатами х = 0 и х = l. Потенциальная энергия U(х) частицы должна удовлетворять требованиям:

График потенциальной энергии U(х) приведен на рис. 5.1. Назовем область с х ≤ 0 областью 1, область 0 < х < l областью 2 (потенциальной ямой), а область с х ≥ l областью 3.

Рассмотрим вначале, как ведет себя в такой яме классическая частица. В области 2 частица двигается с кинетической энергией Ткин, равной полной энергии Е. При этом полная энергия Е частицы может иметь любое значение от 0 до ∞. Подойдя к области 1 или 3, частица отразится от стенки и будет двигаться в противоположную сторону. Таким образом, частица не может находиться вне потенциальной ямы, а может с равной вероятностью находиться в любом месте потенциальной ямы с произвольным значением полной энергии Е.

Частица, подчиняющаяся законам квантовой механики, ведет себя иначе. Для того чтобы показать это, необходимо решить стационарное уравнение Шредингера:

.

За пределы потенциальной ямы, т. е. в областях 1 и 3, частица попасть не может, поэтому вероятность ее обнаружения, а следовательно, и ее волновая Ψ-функция в этих областях равны нулю. Из условия непрерывности

Ψ-функции следует, что она должна равняться нулю на границе потенциальной ямы, т. е. получаются следующие граничные условия:

и . (5.7)

В области 2 Ψ-функция не равна нулю, а стационарное уравнение Шредингера принимает вид однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

,

где .

Решения данного уравнения можно записать в виде

.

Используя граничные условия (5.7), найдем вид Ψ-функции, удовлетворяющей им. Из условия для х = 0: – следует, что для выполнения этого равенства необходимо, чтобы коэффициент В был равен нулю, поэтому . Из условия для х = l: – следует, что это равенство выполняется, когда . Последнее равенство справедливо при или , где n = 1, 2,…. Следовательно, волновая Ψ-функция, характеризующая n-е стационарное состояние частицы в области 2, имеет вид

.

Значение коэффициента А находится из условия нормировки Ψ-функции (5.1):

.

Понизим степень подынтегрального выражения и вычислим интеграл

.

В результате находим .

Окончательно получаем

. (5.8)

На рис. 5.2 приведены графики собственных Ψ-функций для состояний с n = 1 и n = 2.

Для нахождения собственных значений энергии E стационарных состояний воспользуемся равенством

,

откуда следует, что

. (5.9)

Таким образом, граничным условиям удовлетворяют значения энергии Е только из дискретного ряда En, а это означает, что частица в потенциальной яме может иметь только квантованные значения полной энергии En, зависящие от n-го состояния частицы (рис. 5.3). Причем расстояние ΔЕn между соседними энергетическими уровнями с ростом n будет возрастать:

.

Вероятность обнаружения частицы, находящейся в n-м состоянии в потенциальной яме, характеризует квадрат модуля волновой функции . На рис. 5.4 представлены графики для состояний с n = 1 и n = 2. Из них видно, что вероятность обнаружения частицы в потенциальной яме зависит от ее состояния и места ее обнаружения в яме.

Пример 2. Рассмотрим прохождение частицы с массой m и полной энергией Е через одномерный прямоугольной потенциальный барьер. Допустим, что координатная ось х сонаправлена с направлением движения частицы. Частица движется в силовом поле, потенциальная функция которого изображена на рис. 5.5. Потенциальная энергия U(х) частицы в этом случае удовлетворяет требованиям:

Назовем область с х ≤ 0 областью 1, область 0 < х < l областью 2 (прямоугольным потенциальным барьером высоты Uo), а область с х ≥ l областью 3.

Рассмотрим, как ведет себя классическая частица при прохождении этого потенциального барьера. Если полная энергия Е частицы меньше значения Uo (Е < Uo), то частица отразится от потенциального барьера и останется в области 1. Если Е > Uo, то частица свободно преодолеет потенциальный барьер и перейдет в область 3.

Квантовая частица ведет себя совершенно иначе. Всегда имеется некоторая вероятность, что при Е < Uo частица пройдет через потенциальный барьер (это явление называется «туннельный» эффект) и окажется в области 3, а при Е > Uo частица отразится от барьера и обнаружится в области 1.

Для характеристики этих вероятностей вводятся такие величины, как коэффициент прозрачности D и коэффициент отражения Rотр потенциального барьера. Коэффициент прозрачности D равен вероятности прохождения частицы сквозь потенциальный барьер и определяется как отношение интенсивности Iпр, прошедшей сквозь барьер, к интенсивности Iпад, падающей на барьер волны де Бройля:

D = Iпр / Iпад.

Коэффициент отражения Rотр – это вероятность того, что частица испытает отражение от потенциального барьера, он равен отношению интенсивности Iотр, отраженной от барьера, к интенсивности Iпад, падающей на барьер волны де Бройля:

Rотр = Iотр / Iпад.

Причем выполняется такое равенство:

D + Rотр = 1 ,

так как сумма D и Rотр дает вероятность достоверного события: частица либо пройдет через барьер, либо отразится от барьера.

Для того чтобы найти коэффициенты D и Rотр, нужно решить стационарное уравнение Шредингера:

.

Учитывая, что потенциальная энергия U(х) является разрывной функцией, необходимо решить данное стационарное уравнение Шредингера для каждой области 1, 2 и 3, т. е. найти волновые функции Ψ1, Ψ2 и Ψ3, описывающие состояние частицы в этих областях.

Из условия непрерывности Ψ-функции и ее первой производной Ψ/ по координате х на границах областей, где происходит конечный скачок функции U(х), получаются следующие граничные условия:

и (5.10)

Считая, что Е > Uo, напишем стационарное уравнение Шредингера для

области 1:

, где ;

для области 2:

, где ;