Атомная физика (стр. 24 )

. (6.18)

Векторная диаграмма всех моментов, связанных с электроном в атоме, представлена на рис. 6.5. Вектор непараллелен вектору . Это обусловлено тем, что

.

Величина проекции вектора на прямую, на которой лежит вектор , вычисляется по формуле

.

Соответствующий этой проекции вектор называется эффективным магнитным моментом электрона и характеризует его поведение в магнитных полях. Эффективный магнитный момент связан с полным моментом количества движения :

, (6.19)

где – это фактор (множитель) Ланде.

Причем выполняются следующие равенства:

, (6.20)

. (6.21)

Найдем фактор Ланде . Исходим из того, что для эффективного магнитного момента справедливо выражение

.

Учитывая (6.18), (6.12) и (6.5), запишем

,

поэтому

.

Сравнивая это выражение с (6.19), видим, что

.

Учитывая (6.15), приведем к виду

.

Поскольку из (6.15) следует, что

,

то для получим

.

Заменяя квадраты векторов их значениями (6.3), (6.10), (6.16), придем к окончательному результату:

. (6.22)

Из полученного выражения видно, что фактор Ланде зависит от квантовых чисел j, l и s.

6.4. Спин-орбитальное взаимодействие. Тонкая структура спектра

Ранее было показано, что собственными значениями уравнения Шредингера (5.4) для водородоподобного атома являются значения Еn, зависящие только от главного квантового числа n. При этом необходимо отметить, что уравнение Шредингера, во-первых, является нерелятивистским, во-вторых, не учитывает наличие спина у электрона.

Уравнение, учитывающее релятивистскую зависимость массы электрона от скорости и наличие у него спина , было предложено в 1928 г. Дираком. Уравнение Дирака дает более сложную формулу для энергии Еnj электрона водородоподобного атома, которая зависит как от главного квантового числа n, так и от внутреннего квантового числа j. Это происходит за счет того, что к энергии Еn прибавляются дополнительные слагаемые ΔЕnl и ΔЕnjls. Вклад ΔЕnl учитывает изменение массы электрона в зависимости от его скорости, а вклад ΔЕnjls – наличие у электрона спина :

.

Энергетические уровни Еnj называются уровнями тонкой структуры. Квантовые переходы между такими уровнями определяют в спектрах излучения или поглощения структуру, называемую тонкой структурой спектра.

Рассмотрим, как изменится энергия электрона водородоподобного атома только за счет учета у него спина , т. е. найдем значение ΔЕnjls. Это значение найдем из следующих полуклассических соображений. В системе отсчета, связанной с электроном, ядро, вращаясь вокруг электрона, создает магнитное поле с напряженностью l. С этим магнитным полем, обусловленным орбитальным движением ядра вокруг электрона, взаимодействует магнитный спиновый момент электрона. Это взаимодействие называется спин-орбитальным взаимодействием. Энергия , которую электрон приобретает за счет спин-орбитального взаимодействия, вычисляется по формуле

.

Напряженность l магнитного поля в месте нахождения электрона равна

l ,

где и – это скорость и импульс электрона соответственно. Напряженность электрического поля , создаваемого ядром на электроне, выражается через силу , действующую на электрон со стороны ядра или потенциальную энергию U электрона:

.

Следовательно,

. (6.23)

Из этой формулы видно, что спин-орбитальное взаимодействие можно трактовать как взаимодействие спинового и орбитального моментов. Энергия спин-орбитального взаимодействия зависит от ориентации магнитного спинового момента s электрона относительно напряженности магнитного поля l или ориентации спина электрона относительно его орбитального момента количества движения , которую характеризует магнитное спиновое квантовое число ms. У энергетических уровней , вырожденных по квантовому числу ms, спин-орбитальное взаимодействие снимает это вырождение. Оно изменяет энергию электрона и является причиной расщепления этих энергетических уровней.

Формула (6.23) получена для неинерциальной системы, связанной с ускоренно двигающимся электроном. В 1926 г. Томас и Френкель показали, что при переходе к системе отсчета, связанной с ядром, в выражении для Usl появляется множитель 1/2. Кроме того, если считать, что движение электрона осуществляется в кулоновском поле ядра с зарядом +ze водородоподобного атома и его потенциальная энергия равна

,

следовательно,

,

а также учесть, что

,

то выражение для энергии спин-орбитального взаимодействия можно преобразовать к виду

. (6.24)

Наблюдаемая в эксперименте величина ΔЕnjls, на которую изменяется энергия электрона за счет спин-орбитального взаимодействия, равна среднему значению <Usl> энергии спин-орбитального взаимодействия в состоянии, описываемом волновой функцией Ψnlm: