Атомная физика (стр. 21 )

С учетом полученных решений для функций R(r), Θ(θ) и Ф(φ), волновая функция = для электрона водородободобного атома, соответствующая стационарным состояниям, записывается в виде

. (5.20)

Следовательно, различные стационарные состояния электрона в атоме характеризуются тремя квантовыми числами: n, l и ml.

Главное квантовое число n характеризует номер стационарной орбиты, т. е. положение электрона вокруг ядра, зависящее от расстояния r, при котором вероятность обнаружения электрона максимальна. Орбитальное квантовое число l характеризует форму стационарной орбиты: l = 0 – круговая орбита, l = 1 – эллиптическая орбита, l = 2 – гантелеобразная орбита, … В атомной физике приняты такие буквенные обозначения: если l = 0, то это соответствует s-состоянию электрона, l = 1 – p-состоянию электрона, l = 2 – d-состоянию электрона, …. Магнитное орбитальное квантовое число ml характеризует ориентацию плоскости стационарной орбиты в пространстве относительно выбранного направления. В атомной физике для того, чтобы указать состояние электрона, используют следующее обозначение: .

Из формулы (5.19) для энергии Еn электрона, находящегося в кулоновском поле водородоподобного атома, видно, что все энергетические уровни электрона c определенным значением числа n, за исключением n = 1, являются вырожденными. Каждый n-й уровень вырожден по квантовому числу l с кратностью n, а каждый l-й уровень вырожден по квантовому числу ml с кратностью (2l + 1). Общая кратность вырождения энергетического уровня с квантовым числом n равна

.

Это означает, что электрон в состояниях с одинаковым значением n и различными значениями l и ml имеет одинаковое значение энергии Еn. Для луч-

шего понимания того, о чем было сказано, на рис. 5.7 схематически пред-

ставлены несколько энергетических уровней электрона в водородоподобном атоме.

Испускание и поглощение излучения атомом происходит с изменением его стационарного состояния, т. е. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. На эти переходы различные законы сохранения накладывают некоторые ограничения. Следовательно, и на изменение кван-

 

товых чисел, описывающих стационарные состояния атома, накладываются ограничения, называемые правилами отбора.

Правило отбора для главного квантового числа n вытекает из закона сохранения энергии. Атом испускает и поглощает фотон, энергия которого hν соответствует разности любых двух энергетических уровней (энергий стационарных состояний) атома, поэтому Δn – любое.

Правило отбора для орбитального квантового числа l является следствием закона сохранения момента количества движения. Фотон обладает собственным моментом количества движения, равным 1ħ, который добавляется или вычитается из момента атома при поглощении или испускании фотона, поэтому Δl = ± 1.

Правило отбора для магнитного орбитального квантового числа ml: Δml = 0, ± 1.

Глава 6. Орбитальный, спиновый и полный

механический и магнитный моменты электрона в атоме

6.1. Орбитальный момент количества движения,

магнитный орбитальный момент

В квантовой механике при изучении движения в сферически-симметричном поле, например вращения электрона вокруг ядра, важную роль играет оператор орбитального момента количества движения =. Одним из свойств этого оператора является то, что оператор квадрата момента количества движения коммутирует с оператором каждой из проекций , и момента количества движения, например – = 0. Данное равенство означает, что операторы и имеют общие собственные функции, а их собственные значения могут одновременно иметь определенные значения. Вместе с тем операторы проекций , и не коммутируют друг с другом, а это значит, что проекции , и не могут одновременно иметь строго определенные значения.

Рассмотрим два оператора и , которые в сферической системе координат (r, θ, φ) имеют вид

,

.

Запишем для них уравнения на собственные значения и собственные функции:

Ψ = Ψ , (6.1)

Ψ = Ψ . (6.2)

Из сравнения уравнения (6.1) и уравнения (5.13), полученного ранее для сферической функции Y(θ, φ), следует, что эти уравнения совпадают, если собственными функциями Ψ оператора будут сферические функции Y(θ, φ) (5.17): Ψ = Y(θ, φ), а его собственные значения определяются как

= ,

где l – это орбитальное квантовое число: l = 0, 1, 2,…(n – 1). Из этого равенства следует, что абсолютная величина момента количества движения , равная значению ll, может вычисляться по формуле

= . (6.3)

Таким образом, орбитальное квантовое число l определяет абсолютную величину момента количества движения, или, другими словами, длину вектора , которая является квантованной величиной.

Если в уравнение на собственные значения и собственные функции оператора проекции момента количества движения на ось z подставить собственные функции Ψ в виде сферических функций Y(θ, φ) (5.17), то получим собственные значения , для которых справедливо равенство

= ħml , (6.4)

где ml – это магнитное орбитальное квантовое число: ml = 0, ±1, ±2, …±l. Следовательно, проекция орбитального момента на ось z является квантованной величиной и кратна постоянной Планка ħ. Магнитное орбитальное квантовое число ml определяет ориентацию вектора относительно оси z и возможные значения его проекции на ось z.

Представленное выше квантование (6.3) и (6.4) длины и проекции орбитального момента количества движения называется пространственным квантованием. Из квантования проекции следует, что вектор может составлять с осью z только определенные углы α (рис. 6.1):