Атомная физика (стр. 16 )

Считаем, что движение электрона происходит в плоскости ХУ, поэтому момент количества движения (4.8) направлен вдоль координатной оси Z. Его z-я компанента Lz равна

.

Если перейти в полярную систему координат, которая связана с декартовой системой следующим образом:

то Lz можно записать в виде

.

Основываясь на этом выражении и втором постулате Бора (4.9), напишем равенство

.

Отсюда находим выражение для скорости v электрона:

.

Подставив это выражение в уравнение для определения радиуса R орбиты, получим дискретный ряд радиусов Rn орбит, на которых может находиться электрон в водородоподобном атоме:

. (4.11)

Подставив это равенство в выражение для скорости v, найдем скорости vn электронов на разрешенных орбитах:

. (4.12)

Наконец, подставив выражение для Rn (4.11) в формулу для полной энергии Е электрона в модели Резерфорда, найдем значения энергии Еn электрона на n-й стационарной орбите водородоподобного атома:

. (4.13)

Число n, характеризующее определенный энергетический уровень En атома, называется главным квантовым числом. Состояние атома с n = 1 называется невозбужденным (основным) состоянием, все остальные состояния атома с n > 1 называются возбужденными состояниями.

Для атома водорода, у которого z = 1:

Первая орбита (n = 1) имеет радиус R1:

.

Эта величина называется первым боровским радиусом. Радиус Rn n-й орбиты равен

.

Энергия Е1 электрона на первой орбите

эВ.

Энергия электрона на n-й орбите

.

Схема энергетических уровней для атома водорода представлена на рис.4.11. Введем ряд терминов. Энергией ионизации Еион n-го состояния атома называется энергия, необходимая для того, чтобы оторвать электрон с n-й орбиты атома и удалить его на бесконечность: Еион = Е∞ – Еn. Энергия связи Есв электрона, находящегося на n-й орбите атома, равна значению энергии электрона Еn на этой орбите: Есв = Еn. Например, для атома водорода энергия ионизации Еион основного состояния атома равна 13,59 эВ, а энергия связи Есв электрона, находящегося на первой орбите атома, равна -13,59 эВ.

Используя третий постулат Бора (4.10) и формулу (4.13) для вычисления энергии Еn электрона, находящегося на стационарных орбитах водородоподобных атомов, найдем частоту ν фотонов, которые излучаются атомами при переходах электронов с n-й на k-ю орбиты (n > k):

.

Тогда для волновых чисел спектральных линий получим формулу

. (4.14)

Следовательно, для атома водорода пришли к формуле, аналогичной обобщенной формуле Бальмера (4.2), которая была найдена эмпирически:

,

где постоянная Ридберга = 109735,7 см-1 (теоретическое значение).

Достаточно хорошее совпадение постоянной Ридберга, полученной из теории Бора, с ее экспериментальным значением, а также объяснение закономерностей, наблюдаемых в спектре атома водорода, т. е. получение теоретическим путем обобщенной формулы Бальмера, были первым успехом теории Бора о строении атома.

4.6. Учет движения ядра в теории Бора

Рассматривая теорию водородоподобного атома по Бору, предполагали, что электрон вращается вокруг неподвижного ядра. Такое допущение было бы оправдано, если бы масса ядра M была бесконечно большой по сравнению с массой m электрона. В действительности же отношение массы ядра атома водорода к массе электрона равно M/m =1836,15 и движение ядра c электроном происходит около их общего центра инерции.

Это обстоятельство приводит к небольшим неточностям в теоретических результатах, полученных в теории Бора, в частности в значении постоянной Ридберга. Однако нетрудно внести поправку, учитывающую помимо движения электрона еще и движение ядра. Суть того, как ее внести, заключается в том, что движение двух частиц – ядра и электрона – рассматривается в системе центра инерции. При этом движение двух частиц сводится к движению одной фиктивной частицы около неподвижного центра по окружности с радиусом r, равным расстоянию между данными частицами, и эта частица обладает массой μ, связанной с массами ядра M и электрона m.

Рассмотрим изложенный подход более подробно. Действительное движение ядра с массой М и электрона с массой m в атоме около точки О, взятой за начало координат, показано на рис. 4.12. Положение ядра характеризует радиус-вектор , а положение электрона радиус-вектор , расстояние между ними определяет вектор:

= – . (4.15)

Во всякой системе двух частиц существует замечательная точка С,

называемая центром инерции, радиус-вектор которой определяется следующим образом:

. (4.16)

Свойства центра инерции:

1) центр инерции находится на прямой, соединяющей обе частицы;

2) центр инерции делит прямую, соединяющую обе частицы на отрезки, отношение длин которых обратно отношению масс частиц:

;

3) центр инерции движется равномерно и прямолинейно.

Из (4.15) и (4.16) выразим радиус-векторы и через векторы и :

Запишем полную энергию Е системы двух частиц в системе координат с началом в точке О:

.

Проведем замену векторов и на векторы и , тогда

.

Теперь перейдем в систему координат с началом в центре инерции: = 0, т. е. в систему центра инерции. В этой системе полный импульс всех частиц системы равен нулю (= 0) и не рассматривается движение системы частиц как целого, а учитывается только относительное движение частиц внутри системы.

В системе центра инерции полная энергия Е двух частиц равна

Eци ,

где – приведенная масса ядра и электрона. Видно, что при стремлении массы М к бесконечности (M → ∞) приведенная масса μ стремится к массе m электрона, а центр инерции совпадает с центром ядра.