Атомная физика (стр. 3 )

= (Е,0,0) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .

Следовательно, уравнение движения частицы, записанное для декартовых компонент, имеет вид

(1.7)

Из (1.7) получим систему уравнений, которая описывает изменение декартовых компонент частицы со временем t (с учетом начальных условий):

(1.8)

Итак, в заданном электростатическом поле частица будет двигаться прямолинейно и равноускоренно.

Принимая во внимание, что

,

для момента времени t = 0 первое уравнение системы (1.7), умножив его на mvo, можно преобразовать к виду

,

откуда следует равенство . Это равенство означает, что . Таким образом, пришли к закону сохранения энергии. Первое слагаемое – это кинетическая энергия, второе слагаемое – это потенциальная энергия частицы в начальный момент времени t = 0.

Предположим, что частица переместилась из точки с потенциалом электрического поля в точку с потенциалом (рис. 1.3), тогда, введя разность потенциалов как V = –, получим выражение

(в системе CГСЭ и СИ). (1.9а)

Если разность потенциалов V измеряется в вольтах (В), а m, v и q в единицах системы CГСЭ, то применяется следующая формула:

. (1.9б)

Пусть частица движется в электростатическом поле, силовые линии которого перпендикулярны вектору начальной скорости частицы . Считаем, что направление координатной оси х совпадает с направлением вектора , а начало координат совпадает с точкой влета частицы в поле (рис. 1.4). Тогда

= (0,Е,0) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .

Для этого случая имеем три скалярных уравнения:

Если их дважды проинтегрировать по времени t, то получим следующие уравнения (с учетом начальных условий):

Из первых двух уравнений этой системы легко найдем уравнение траектории частицы в плоскости у(х):

. (1.10)

Видно, что траекторией является парабола.

Исследуем движение заряженной частицы в магнитном поле. В этом случае = 0, а уравнение движения для нее имеет вид

. (1.11)

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех скалярных уравнений:

(1.12)

Интегрирование данной системы уравнений в большинстве случаев представляет трудную математическую задачу, поэтому рассмотрим простой случай: поперечное магнитное поле относительно начальной скорости частицы .

Пусть вектор индукции магнитного поля, в котором движется частица, направлен вдоль оси z декартовой системы координат, а вектор начальной скорости частицы перпендикулярен вектору и направлен вдоль координатной оси x. Причем частица начинает двигаться из начала координат (рис. 1.5). Можно написать

= (0,0,В) ,

= (,0,0) ,

= (0,0,0) .

Отметим, что на частицу с зарядом q будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца , направление которой можно определить по правилу левой руки.

Для заряженной частицы верна следующая система уравнений:

(1.13)

где ввели обозначение , которое называется циклотронной частотой. Из третьего уравнения системы (1.13) с учетом начальных условий следует, что z-я компонента скорости vz равна нулю.

Дифференцируя по времени t два первых уравнения системы (1.13), получим систему однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Решение этих уравнений ищем в виде vx = ekt и vy = ekt соответственно. Тогда для них имеем k1,2 = ±iωc, поэтому получается следующая система уравнений:

.

Учитывая первые два уравнения системы (1.13), находим, что С2 = С3 = 0, С1 = –С4. Из начальных условий следует, что С1 = vo. Таким образом, имеем

Интегрирование этих уравнений по времени t позволяет прийти к системе параметрических уравнений, определяющих положение частицы в пространстве в зависимости от времени t (с учетом начальных условий):

Данная система задает окружность, по которой движется частица, радиуса на плоскости у(х) (рис. 1.5).

Рассмотрим случай малого отклонения частицы, т. е. R >> (y(t),х(t)), и найдем уравнение траектории частицы на плоскости у(х). Можно написать, что

,

где первое слагаемое возникает из-за того, что = (0,0,0). Разложим квадратный корень в ряд Маклорена по степеням x2 до второго члена:

.

Из рис. 1.5 видно, что верным является нижнее решение, следовательно, траекторией будет парабола

. (1.14)

.

1.3. Определение электрического заряда электрона

Исторически первым было определено отношение заряда электрона к его массе, а не сама величина заряда электрона, поэтому рассмотрим вначале экспериментальный метод, использовавшийся в опыте Томсона для определения удельного заряда электрона.

Опыт Томсона учитывает закономерности движения электрона в электрическом и магнитном полях. Отметим, что отклонение частицы в поперечном электрическом поле зависит не только от отношения ее заряда q к массе m, но и от квадрата величины ее скорости v2 – см. (1.10), а в поперечном магнитном поле – от величины скорости v – см. (1.14). Поэтому измерение отклонения в каком-либо одном поле не позволяет найти отношение заряда q к массе m частицы.

В опыте Томсона измеряли отклонение узкого пучка катодных лучей (электронов), коллимированных диафрагмой D и проходящих через скрещенные поперечные электрическое и магнитное поля (рис. 1.6). Электроны, попадая на стекло, вызывают люминесценцию, видимую глазом. Отметим, что отклонение, связанное с этими электрическим и магнитным полями, будет происходить вдоль одного направления.