Атомная физика (стр. 18 )

Запишем несколько операторов, широко используемых в квантовой механике. Оператор Гамильтона :

;

оператор проекции импульса на ось х:

;

оператор импульса :

,

где – оператор градиента («набла»);

оператор кинетической энергии кин (нерелятивистский случай):

кин ,

где – оператор Лапласа.

Зная волновую Ψ-функцию, можно вычислить значение fo физической величины f в состоянии, описываемом этой Ψ-функцией. Причем, согласно принципу неопределенности, fo является неким средним значением <f>, которое в координатном представлении находится по формуле

, (5.2)

где звездочка «*» означает комплексное сопряжение.

5.2. Волновое уравнение Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера

Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера. Его используют для определения Ψ-функций в любой момент времени t. Подобно тому, как уравнения движения Ньютона в классической механике или уравнения Максвелла в классической электродинамике не могут быть выведены теоретически из каких-либо соотношений, а представляют собой обобщение большого числа экспериментальных фактов, уравнение Шредингера в квантовой механике также нельзя строго вывести из известных ранее соотношений. Его следует рассматривать как исходное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с опытными фактами.

К уравнению Шредингера можно прийти путем следующих рассуждений, учитывая, что оно является уравнением нерелятивистским. Согласно гипотезе де Бройля, свободно двигающейся частице соответствует плоская гармоническая волна с частотой ω = Е/ħ и волновым вектором , поэтому для этой частицы волновую Ψ-функцию можно записать в виде (комплексная форма)

.

Продифференцировав Ψ-функцию по времени t, получим равенство

,

которое приведем к виду

.

Данная запись представляет собой уравнение на собственные функции и собственные значения оператора Гамильтона .

Дважды продифференцировав Ψ-функцию по координатам , получим соотношение

,

которое запишем в виде

.

Это есть уравнение на собственные функции и собственные значения оператора кинетической энергии кин.

Из классической физики известно, что в нерелятивистском случае для свободной частицы справедливо равенство , т. е. полная энергия равна кинетической энергии частицы. Следовательно, для операторов и кин выполняется равенство =кин. Таким образом, для свободной частицы можно записать уравнение

, (5.3)

которое называется уравнением Шредингера для свободной частицы.

Если частица двигается в силовом поле U(r,t), то ее полная энергия Е равна сумме кинетической энергии Ткин частицы и энергии U(r,t):

Е = Ткин + U(r,t) .

Оператор Гамильтона в этом случае равен сумме операторов кинетической кин энергии и энергии силового поля :

= кин + =кин + ,

где учтено, что оператор функции координат равен самой функции. Следовательно, получаем следующее уравнение:

, (5.4)

называемое уравнением Шредингера.

Замечания по уравнению Шредингера.

1. Это уравнение позволяет найти волновую функцию ,t) для любого момента времени t, если известно ее значение в начальный момент времени to.

2. Несмотря на то что уравнение содержит только первую производную по времени t, из-за наличия мнимой единицы оно имеет периодические решения, поэтому уравнение Шредингера называют волновым уравнением.

3. Поскольку уравнение содержит первую производную по времени t и вторую производную по координатам, его решения будут комплексными (это отличает его от классического волнового уравнения, имеющего вторую производную по времени t, решениями которого являются действительные числа).

4. Уравнение является дифференциальным уравнением в частых производных. Такие уравнения чаще всего аналитически не решаются. В связи с этим в квантовой физике существует очень узкий круг задач, решаемых в аналитическом виде.

Если оператор Гамильтона не зависит явно от времени t или, что равносильно, энергия силового поля U(r) не зависит явно от времени t (потенциальное поле), то полная энергия Е является постоянной величиной, и это соответствует случаю стационарных состояний. Волновая функция ,t) стационарного состояния представляется стоячей монохроматической волной

и записывается в виде произведения двух функций, из которых одна есть функция только координат , а другая – времени t:

.

Из уравнения Шредингера (5.3) для свободной частицы, находящейся в стационарных состояниях, вытекает уравнение, позволяющее найти решения , зависящие только от координат :

, (5.5)

которое называется стационарным уравнением Шредингера свободной частицы.

Для стационарных состояний с учетом наличия силовых полей имеем уравнение

, (5.6)

называемое стационарным уравнением Шредингера.

5.3. Применение квантовой механики к простейшим задачам

о стационарных состояниях частицы

Рассмотрим простые системы, для которых можно строго решить стационарное уравнение Шредингера (5.6). Хотя такие системы являются идеализацией физических систем, встречающихся в природе, во-первых, их исследование позволяет более полно понять методы квантовой механики, во-вторых, полученные результаты в некотором приближении отражают свойства реальных систем.

Точные аналитические решения стационарного уравнения Шредингера могут быть получены для систем, в которых потенциальная энергия U(r) имеет определенный вид, например:

а) имеет постоянное значение во всем пространстве,

б) имеет различные постоянные значения в отдельных областях пространства, переходя скачком от одного значения к другому на поверхностях, разделяющих такие области. Причем на этих поверхностях на волновую Ψ-функцию накладываются следующие граничные условия: 1) она должна быть непрерывной, 2) если скачок потенциальной энергии U(r) конечный, то и grad Ψ тоже должен быть непрерывный.