Атомная физика (стр. 7 )

Отметим, что в практической спектроскопии часто в качестве одного из аргументов функции ε используют не частоту ν излучения, а его длину волны λ: νλ = c. В этом случае закон смещения Вина записывается в виде:

, (2.4б)

где b/=2,9·10-3 м·К (в СИ).

В 1896 г. Вин написал следующую эмпирическую формулу для своего термодинамического закона (2.3):

, (2.5)

где А и В – постоянные величины. Отметим, что при получении данной формулы Вин предположил, что распределение энергии излучения в спектре абсолютно черного тела по частотам аналогично Максвеловскому распределению молекул газа по скоростям. В 1897 г. Люммер и Прингсгейм экспериментально проверили ее и установили, что формула хорошо описывает распределение энергии теплового излучения только в области высоких частот.

2.4. Формула Рэлея – Джинса. «Ультрафиолетовая катастрофа»

Более строгая попытка теоретического вывода формулы для спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела была сделана Рэлеем. Он впервые воспользовался теоремой классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в замкнутой полости при вычислении спектральной объемной плотности u(ν,Т), которая связана со спектральной испускательной способностью ε(ν,Т) абсолютно черного тела равенством:

.

Рассмотрим его подход более подробно. Рэлей представлял тепловое равновесное излучение в замкнутой полости как электромагнитное поле, которое можно разложить на систему стоячих волн различной частоты и направления. Затем определялось число независимых стоячих волн dn(ν) в данном интервале частот dν в единице объема. К этим волнам применялась теорема о равномерном распределении энергии, согласно которой на каждую стоячую волну приходится средняя энергия ‹Е›, равная kbТ, где kb – постоянная Больцмана. Эта энергия складывается из средних энергий электрического и магнитного полей, по отдельности равных 0,5kbТ. Для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля в интервале частот dν справедливо соотношение

.

Вычисление спектральной объемной плотности энергии поля было сделано Джинсом по методу, указанному Рэлеем. При этом было получено выражение для dn(ν) с учетом обоих направлений поляризации стоячей волны:

.

Рассмотрим, как можно вычислить среднюю энергию стоячей волны при классическом предположении, что излучение испускается непрерывно (подход электромагнитной теории света), т. е. энергия стоячей волны может принимать любое значение. Если исходить из статистического подхода, то по определению

.

Здесь dW(Е) – это вероятность того, что значение энергии Е стоячей волны принадлежит интервалу [Е; Е+ dЕ]. Эта величина определяется по формуле , где нормировочный множитель А находится из условия . В связи с этим

.

При вычислении ‹Е› провели интегрирование по частям интеграла, стоящего в числителе дроби: .

Итак, для спектральной объемной плотности энергии электромагнитного поля получается выражение

.

Учитывая связь u(ν,Т) с ε(ν,Т), для последней находим следующую формулу:

, (2.6)

которая называется формулой Рэлея – Джинса. Проанализируем ее.

1. Формула удовлетворяет термодинамическому закону Вина (2.3).

2. Она не дает максимума в спектре излучения.

3. Приводит к абсурдному результату: интегральная испускательная способность равна бесконечности ε(Т) = ∞. Этот результат находится в противоречии с опытом, поскольку равновесие между излучением и телом устанавливается при конечных значениях ε(Т).

4. Согласно формуле, в спектре теплового излучения большая часть энергии находится в высокочастотной области. Этот результат назвали «ультрафиолетовая катастрофа».

5. Кроме того, было установлено, что формула Рэлея – Джинса хорошо описывает только низкочастотную область спектра теплового излучения.

Расхождение формулы Рэлея – Джинса с результатами опыта указывало на то, что классическая электромагнитная теория света неприменима для описания коротковолнового (высокочастотного) теплового излучения. При теоретическом изучении теплового излучения необходимо учитывать какие-либо другие закономерности, не совместимые с представлениями классической физики.

2.5. Гипотеза квантов энергии. Формула Планка

и следствия, вытекающие из нее

С классической точки зрения вывод формулы Рэлея – Джинса (2.6) является безупречным. Однако она не давала максимума в спектре теплового излучения и хорошо описывала его только в области низких частот. Эмпирическая формула Вина (2.5), полученная также с использованием принципов классической физики, давала максимум в спектре теплового излучения, но хорошо согласовывалась с результатами эксперимента только в области высоких частот. Таким образом, к концу XIX века существовали две формулы для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела, которые соответствовали экспериментальным данным на ограниченных спектральных участках.

В 1900 г. Планку удалось вначале эмпирически найти формулу для ε(ν,Т), хорошо описывающую тепловое излучение на всем частотном интервале от 0 до ∞, а затем вывести ее теоретически. Однако для этого ему пришлось сделать предположение, противоречащее классическим волновым представлениям об излучении, а именно допустить, что электромагнитное излучение испускается (поглощается) не непрерывно, как считалось при выводе формулы Рэлея – Джинса, а дискретно, в виде отдельных порций с энергией ∆Е кратной некоторой величине Е, которая, в свою очередь, прямо пропорциональна частоте ν излучения (поглощения) Е = hν, где коэффициент пропорциональности h – это универсальная постоянная, называемая постоянной Планка. Ее значение равно h = 6,626·10-34 Дж·с (в СИ).

Рассмотрим подход Планка более подробно. При выводе своей формулы Планк рассматривал излучающие центры абсолютно черного тела как линейные гармонические осцилляторы с электрическим зарядом, которые могут обмениваться энергией с окружающим их электромагнитным полем. Гипотеза, которую Планк использовал при выводе формулы, формулируется так: осцилляторы могут находиться только в определенных состояниях n, в которых их энергия Еn кратна величине Е = hν , т. е. Еn = nhν (n = 0,1,2,…). При испускании (поглощении) излучения осцилляторы переходят скачком из состояния n в другое состояние n/, при этом изменяется их энергия на величину ∆Е = (n – n/)hν. Важно отметить, что по Планку излучение испускается (поглощается) дискретно, порциями с энергией ∆Е, но оно непрерывно внутри этих порций.

На основании этой гипотезы, пользуясь статистическим методом, Планк вывел формулу для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела. По определению среднее значение энергии ‹Е› излучения, с учетом того, что излучение дискретно, равно

,

где Wn – это вероятность того, что осцилляторы находятся в состоянии n с энергией Еn, определяется по Больцману как . Нормировочный множитель А находится из условия . Следовательно, среднее значение энергии ‹Е› излучения на частоте ν равно

.

Под знаком логарифма стоит сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом, равным единице, и знаменателем, равным е-x, который меньше единицы. Эта сумма равна , поэтому

.

Отметим, что при стремлении h к нулю, т. е. это случай, когда излучение предполагается непрерывным, среднее значение энергии ‹Е› равняется kbТ, что и получалось при выводе формулы Рэлея – Джинса.

Заменив в формуле Рэлея – Джинса среднее значение энергии ‹Е› на выражение, записанное выше, приходим к формуле Планка для вычисления спектральной испускательной способности ε(ν,Т) абсолютно черного тела:

. (2.7а)

Рассмотрим следствия, вытекающие из формулы Планка.

1. Из этой формулы видно, что для фиксированной частоты ν с ростом температуры Т знаменатель дроби убывает, а сама дробь возрастает, следовательно, возрастает и спектральная испускательная способность ε(ν,Т) абсолютно черного тела (рис. 2.2).